Geometri diskret

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian
Kumpulan lingkaran dan grafik satuan disk yang sesuai

Geometri diskrit dan Geometri kombinatorial adalah cabang dari geometri yang mempelajari properti kombinatorial dan metode konstruktif dari diskrit objek geometris. Sebagian besar pertanyaan dalam geometri diskrit melibatkan hingga atau diskrit himpunan objek geometris dasar, seperti titik, garis, bidang, lingkaran, bola, polygon, dan lain sebagainya. Subjek berfokus pada properti kombinatorial dari objek-objek ini, seperti bagaimana mereka berpotongan satu sama lain, atau bagaimana mereka dapat disusun untuk menutupi objek yang lebih besar.

Geometri diskrit memiliki banyak tumpang tindih dengan geometri cembung dan geometri komputasi, dan terkait erat dengan subjek seperti geometri hingga, optimasi kombinatorial, geometri digital, geometri diferensial diskrit, teori grafik geometri, geometri torik, dan topologi kombinatorial.

Sejarah[sunting | sunting sumber]

Meskipun polihedra dan tessellasi telah dipelajari selama bertahun-tahun oleh orang-orang seperti Kepler dan Cauchy, geometri diskrit modern berawal pada akhir abad ke-19. Topik awal yang dipelajari adalah: kepadatan pengepakan lingkaran oleh Thue, konfigurasi proyektif oleh Reye dan Steinitz, geometri bilangan oleh Minkowski, dan pewarnaan peta oleh Tait, Heawood, dan Hadwiger.

László Fejes Tóth, H.S.M. Coxeter dan Paul Erdős, meletakkan dasar-dasar geometri diskrit.[1][2][3]

Topik[sunting | sunting sumber]

Polihedra dan politop[sunting | sunting sumber]

Politop adalah benda geometris dengan sisi datar, yang ada dalam sejumlah dimensi umum. Poligon adalah politop dalam dua dimensi, polihedron dalam tiga dimensi, dan seterusnya dalam dimensi yang lebih tinggi (seperti 4-politop dalam empat dimensi). Beberapa teori lebih lanjut menggeneralisasi ide untuk memasukkan objek seperti poltopes tak terbatas (apeirotop dan tessellasi), dan politop abstrak.

Berikut ini adalah beberapa aspek dari polytopes yang dipelajari dalam geometri diskrit:

Pengemasan, penutup dan ubin[sunting | sunting sumber]

Pengemasan, penutup, dan kemiringan adalah cara-cara untuk menyusun objek yang seragam (biasanya lingkaran, bola, atau ubin) secara teratur pada suatu permukaan atau manifold).

Pengepakan bola adalah susunan bola yang tidak tumpang tindih dalam ruang penampung. Bola yang dipertimbangkan biasanya semuanya berukuran identik, dan ruangnya biasanya tiga dimensi dalam ruang Euklides. Namun, bidang masalah pengepakan dapat digeneralisasikan untuk mempertimbangkan bidang yang tidak sama, n ruang Euklidean berdimensi (di mana masalahnya menjadi pengepakan lingkaran dalam dua dimensi, atau hiperbola mengemas dalam dimensi yang lebih tinggi) atau ke ruang non-Euklided seperti ruang hiperbolik.

Tessellasi permukaan datar adalah petak dari sebuah bidang menggunakan satu atau lebih bentuk geometris, yang disebut ubin, tanpa tumpang tindih dan tanpa celah. In mathematics, tessellasi dapat digeneralisasikan ke dimensi yang lebih tinggi.

Topik khusus di bidang ini meliputi:

Kekakuan dan fleksibilitas struktural[sunting | sunting sumber]

Grafik digambar sebagai batang yang dihubungkan dengan engsel yang berputar. Grafik siklus C4 digambar sebagai persegi dapat dimiringkan oleh gaya biru menjadi jajar genjang, jadi ini adalah grafik yang fleksibel. K3, digambar sebagai segitiga, tidak dapat diubah oleh gaya apa pun yang diterapkan padanya, jadi ini adalah grafik yang kaku.

Kekakuan struktural adalah teori kombinatorial untuk memprediksi kombinasi dari ensemble yang dibentuk oleh rigidbody dihubungkan oleh linkage atau engsel yang fleksibel.

Topik di bidang ini meliputi:

Struktur insiden[sunting | sunting sumber]

Tujuh titik adalah elemen dari tujuh garis di bidang Fano, contoh struktur insiden.

Struktur insiden menggeneralisasi bidang (seperti affine, proyektif, dan bidang Möbius) seperti yang dapat dilihat dari definisi aksiomatiknya. Struktur insiden juga menggeneralisasi analog berdimensi lebih tinggi dan struktur hingga terkadang disebut geometri hingga.

Secara formal, struktur insiden adalah triple

di mana P adalah satu set "poin", L adalah satu set "baris" dan adalah relasi insiden. Elemen dari disebut bendera. If

kami mengatakan bahwa titik p "terletak pada" baris .

Topik di bidang ini meliputi:

Matroid berorientasi[sunting | sunting sumber]

Sebuah matroid berorientasi adalah struktur matematika yang mengabstraksi properti grafik berarah dan pengaturan vektor dalam ruang vektor di atas bidang terurut (terutama untuk ruang vektor terurut sebagian).[4] Sebagai perbandingan, matroid biasa (yaitu, non-orientasi) mengabstraksi properti ketergantungan yang umum baik untuk grafik, yang belum tentu diarahkan , dan ke pengaturan vektor di atas bidang, yang tidak harus diurutkan .[5][6]

Kombinatorik topologi[sunting | sunting sumber]

Disiplin topologi kombinatorial menggunakan konsep kombinatorial dalam topologi dan pada awal abad ke-20 berubah menjadi bidang topologi aljabar.

Pada tahun 1978, situasinya terbalik - metode dari topologi aljabar digunakan untuk memecahkan masalah dalam kombinatorik - ketika László Lovász membuktikan dugaan Kneser, sehingga memulai studi baru tentang kombinatorik topologi. Bukti Lovász menggunakan teorema Borsuk-Ulam dan teorema ini mempertahankan peran penting dalam bidang baru ini. Teorema ini memiliki banyak versi dan analog yang setara dan telah digunakan dalam studi masalah pembagian wajar.

Topik di bidang ini meliputi:

Topik di bidang ini meliputi:

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Pach, János; et al. (2008), Intuitive Geometry, in Memoriam László Fejes Tóth, Alfréd Rényi Institute of Mathematics 
  2. ^ Katona, G. O. H. (2005), "Laszlo Fejes Toth – Obituary", Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, 42 (2): 113 
  3. ^ Bárány, Imre (2010), "Discrete and convex geometry", dalam Horváth, János, A Panorama of Hungarian Mathematics in the Twentieth Century, I, New York: Springer, hlm. 431–441, ISBN 9783540307211 
  4. ^ Rockafellar 1969. Björner et alia, Chapters 1-3. Bokowski, Chapter 1. Ziegler, Chapter 7.
  5. ^ Björner et alia, Chapters 1-3. Bokowski, Chapters 1-4.
  6. ^ Karena matroid dan matroid berorientasi adalah abstraksi dari abstraksi matematika lainnya, hampir semua buku yang relevan ditulis untuk ilmuwan matematika daripada untuk masyarakat umum. Untuk mempelajari tentang matroid berorientasi, persiapan yang baik adalah dengan mempelajari buku teks tentang optimasi linier oleh Nering dan Tucker, yang diinfuskan dengan ide-ide berorientasi-matroid, dan kemudian melanjutkan ke kuliah Ziegler tentang polytopes.