Matriks Hesse: Perbedaan antara revisi

← Revisi sebelumnya Revisi selanjutnya →

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi per 11 Mei 2019 17.21

Dalam matematika, Matriks Hesse atau Hesse adalah matriks persegi dari turunan parsial orde kedua dengan fungsi bernilai skalar, atau medan skalar. Matriks ini mendeskripsikan kelengkungan lokal dari fungsi banyak peubah. Matriks Hesse dikembangkan pada abad ke-19 oleh matematikawan berkebangsaan Jerman, Ludwig Otto Hesse, dan kemudian dinamai dengan namanya. Hesse semula menggunakan istilah "determinan fungsional".

Definisi dan sifat

Misal $f : ℝ n \to ℝ$ adalah fungsi yang mengambil masukan sebuah vektor $x \in ℝ n$ dan menghasilkan skalar $f (x) \in ℝ$ ; jika semua turunan parsial kedua $f$ ada dan kontinu di dalam domain fungsi, maka matriks Hesse $H$ dari $f$ merupakan matriks persegi $n \times n$ , biasanya didefinisikan dan disusun sebagai berikut:

\mathbf {H} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n}}}\\[2.2ex]\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}.

atau, dengan menyatakan sebuah persamaan untuk koefisien menggunakan indeks i dan j:

\mathbf {H} _{i,j}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.

Determinan matriks di atas juga terkadang mengacu pada Hesse.^[1]

Matriks Hesse berkaitan dengan matriks Jacob melalui $H (f (x)) = J (\nabla f (x)) T$ .

Turunan parsial campuran f merupakan penyusun diagonal utama pada Hesse. Dengan mengasumsikan bahwa f kontinu pada lingkungan titik yang diberikan, urutan diferensiasi tidak berpengaruh (Teorema Schwarz). Sehingga,

{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right).

Dalam pernyataan formal: jika turunan parsial kedua $f$ semua kontinu dalam lingkungan $D$ dari titik yang diberikan, maka Hesse dari $f$ merupakan matriks simetris di seluruh $D$ ; lihat simetri turunan kedua.

Aplikasi

Uji turunan kedua

Matriks Hesse dari fungsi cembung merupakan semidefinit positif. Memanfaatkan sifat ini menyediakan kita suatu uji apakah titik kritis $x$ merupakan maksimum lokal, minimum lokal, atau titik pelana, dengan memenuhi:

Jika matriks Hesse definit positif di $x$ , maka $f$ mencapai minimum lokal terpencil di $x$ . Jika matriks Hesse definit negatif di $x$ , maka $f$ mencapai maksimum lokal terpencil di $x$ . Jika matriks Hesse memiliki nilai eigen positif dan negatif, maka $x$ adalah titik pelana untuk $f$ . Selain daripada itu, uji ini tidak dapat menyimpulkan apa pun. Kondisi ini dipenuhi pada minimum lokal, matriks Hesse merupakan semidefinit positif, dan pada maksimum lokal, matriks Hesse merupakan semidefinit negatif.

Perhatikan bahwa untuk matriks Hesse semidefinit positif dan semidefinit negatif, uji ini tidak dapat menyimpulkan apapun (titik kritis tempat matriks Hesse semidefinit, tetapi bukan definit, titik tersebut mungkin merupakan ekstremum lokal atau titik pelana). Akan tetapi, lebih banyak yang dapat dibicarakan dari sudut pandang teori Morse.

Uji turunan kedua fungsi satu dan dua peubah sederhana. Pada fungsi satu peubah, matriks Hesse hanya memuat satu turunan kedua; jika positif maka $x$ adalah minimum lokal, dan jika negatif maka $x$ adalah maksimum lokal; jika nol maka uji tidak dapat menyimpulkan apapun. Pada fungsi dua peubah determinan dapat digunakan karena determinan merupakan hasil kali nilai eigen. Jika determinan positif maka kedua nilai eigen sama-sama positif atau negatif. Jika determinan bernilai negatif, maka kedua nilai eigen berbeda tanda. Jika determinan bernilai nol, maka uji turunan kedua tidak dapat memyimpulkan apapun.

Setara dengan itu, kondisi orde kedua yang minimum atau maksimum lokalnya dapat cukup diekspresikan dalam barisan minor (determinan submatriks) utama (ujung kiri atas) matriks Hesse; kasus ini terjadi ketika jumlah kendala sama dengan nol. Secara khusus, kondisi cukup untuk minimum adalah ketika semua minor utama bernilai positif, sedangkan kondisi cukup untuk maksimum adalah minor berbeda tanda dengan minor 1×1 bertanda negatif.

Titik kritis

Jika gradien (vektor turunan parsial) dari fungsi $f$ nol pada suatu titik $x$ , maka $f$ memiliki titik kritis (atau titik stasioner) di $x$ . Determinan matriks Hesse di $x$ kemudian disebut diskriminan. Jika determinan ini bernilai nol, maka $x$ disebut titik kritis merosot $f$ , atau titik kritis non-Morse $f$ . Di luar itu, titik kritis tersebut takmerosot, dan disebut titik kritis Morse $f$ .

Matriks Hesse memainkan peran penting dalam teori Morse dan teori katastrofe karena kernel dan nilai eigennya memberikan klasifikasi titik kritis.^[2]^[3]^[4]

Lihat pula

Determinan matriks Hesse merupakan kovarian; lihat Invarian bentuk biner
Identitas polarisasi, berguna untuk menghitung dengan cepat yang melibatkan Hesse.
Matriks Jacob
Persamaan Hesse

Catatan

^ Binmore, Ken; Davies, Joan (2007). Calculus Concepts and Methods. Cambridge University Press. hlm. 190. ISBN 978-0-521-77541-0. OCLC 717598615.
^ Callahan, James J. (2010). Advanced Calculus: A Geometric View (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. hlm. 248. ISBN 978-1-4419-7332-0.
^ Casciaro, B.; Fortunato, D.; Francaviglia, M.; Masiello, A., ed. (2011). Recent Developments in General Relativity (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. hlm. 178. ISBN 9788847021136.
^ Domenico P. L. Castrigiano; Sandra A. Hayes (2004). Catastrophe theory. Westview Press. hlm. 18. ISBN 978-0-8133-4126-2.

Bacaan lanjutan

Lewis, David W. (1991). Matrix Theory. Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-02-0689-5.
de Bondt, Michiel; Essen, Arno van den (2005-01-01). "Hesse and the Jacobian conjecture". Affine Algebraic Geometry: Special Session on Affine Algebraic Geometry at the First Joint AMS-RSME Meeting, Seville, Spain, June 18-21, 2003. Contemporary Mathematics. 369. hlm. 63–76. doi:10.1090/conm/369/06804. ISBN 978-0-8218-3476-3. ISSN 1098-3627.
de Bondt, Michiel; van den Essen, Arno (2004). "Singular Hessians". Journal of Algebra. 282 (1): 195–204. doi:10.1016/j.jalgebra.2004.08.026.

Pranala luar

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Hessian of a function", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Hessian". MathWorld.

[1] Binmore, Ken; Davies, Joan (2007). Calculus Concepts and Methods. Cambridge University Press. hlm. 190. ISBN 978-0-521-77541-0. OCLC 717598615.

[2] Callahan, James J. (2010). Advanced Calculus: A Geometric View (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. hlm. 248. ISBN 978-1-4419-7332-0.

[3] Casciaro, B.; Fortunato, D.; Francaviglia, M.; Masiello, A., ed. (2011). Recent Developments in General Relativity (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. hlm. 178. ISBN 9788847021136.

[4] Domenico P. L. Castrigiano; Sandra A. Hayes (2004). Catastrophe theory. Westview Press. hlm. 18. ISBN 978-0-8133-4126-2.

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Baris 26: / Baris 26: @@
 Dalam pernyataan formal: jika turunan parsial kedua {{math|''f''}} semua [[fungsi kontinu|kontinu]] dalam [[Lingkungan (matematika)|lingkungan]] {{math|''D''}} dari titik yang diberikan, maka Hesse dari {{math|''f''}} merupakan [[matriks simetris]] di seluruh {{math|''D''}}; lihat [[simetri turunan kedua]].
+== Aplikasi ==
+=== Uji turunan kedua ===
+{{Main|Uji turunan parsial kedua}}
+Matriks Hesse dari [[fungsi cembung]] merupakan [[matriks semidefinit positif|semidefinit positif]]. Memanfaatkan sifat ini menyediakan kita suatu uji apakah [[titik kritis (matematika)|titik kritis]] {{math|''x''}} merupakan maksimum lokal, minimum lokal, atau titik pelana, dengan memenuhi:
+Jika matriks Hesse [[kedefinitan matriks|definit positif]] di {{math|''x''}}, maka {{math|''f''}} mencapai minimum lokal terpencil di {{math|''x''}}. Jika matriks Hesse [[Kedefinitan matriks|definit negatif]] di {{math|''x''}}, maka {{math|''f''}} mencapai maksimum lokal terpencil di {{math|''x''}}. Jika matriks Hesse memiliki [[nilai dan vektor Eigen|nilai eigen]] positif dan negatif, maka {{math|''x''}} adalah [[titik pelana]] untuk {{math|''f''}}. Selain daripada itu, uji ini tidak dapat menyimpulkan apa pun. Kondisi ini dipenuhi pada minimum lokal, matriks Hesse merupakan semidefinit positif, dan pada maksimum lokal, matriks Hesse merupakan semidefinit negatif.
+Perhatikan bahwa untuk matriks Hesse semidefinit positif dan semidefinit negatif, uji ini tidak dapat menyimpulkan apapun (titik kritis tempat matriks Hesse semidefinit, tetapi bukan definit, titik tersebut mungkin merupakan ekstremum lokal atau titik pelana). Akan tetapi, lebih banyak yang dapat dibicarakan dari sudut pandang [[teori Morse]].
+[[Uji turunan kedua]] fungsi satu dan dua peubah sederhana. Pada fungsi satu peubah, matriks Hesse hanya memuat satu turunan kedua; jika positif maka {{math|''x''}} adalah minimum lokal, dan jika negatif maka {{math|''x''}} adalah maksimum lokal; jika nol maka uji tidak dapat menyimpulkan apapun. Pada fungsi dua peubah [[determinan]] dapat digunakan karena determinan merupakan hasil kali nilai eigen. Jika determinan positif maka kedua nilai eigen sama-sama positif atau negatif. Jika determinan bernilai negatif, maka kedua nilai eigen berbeda tanda. Jika determinan bernilai nol, maka uji turunan kedua tidak dapat memyimpulkan apapun.
+Setara dengan itu, kondisi orde kedua yang minimum atau maksimum lokalnya dapat cukup diekspresikan dalam barisan [[minor (aljabar linear)|minor]] (determinan submatriks) utama (ujung kiri atas) matriks Hesse; kasus ini terjadi ketika jumlah kendala sama dengan nol. Secara khusus, kondisi cukup untuk minimum adalah ketika semua minor utama bernilai positif, sedangkan kondisi cukup untuk maksimum adalah minor berbeda tanda dengan minor 1×1 bertanda negatif.
+=== Titik kritis ===
+Jika [[gradien]] (vektor turunan parsial) dari fungsi {{math|''f''}} nol pada suatu titik {{math|'''x'''}}, maka {{math|''f''}} memiliki ''[[titik kritis (matematika)|titik kritis]]'' (atau ''[[titik stasioner]]'') di {{math|'''x'''}}. [[Determinan]] matriks Hesse di {{math|'''x'''}} kemudian disebut [[diskriminan]]. Jika determinan ini bernilai nol, maka {{math|'''x'''}} disebut ''titik kritis merosot'' {{math|''f''}}, atau ''titik kritis non-Morse'' {{math|''f''}}. Di luar itu, titik kritis tersebut takmerosot, dan disebut ''titik kritis Morse'' {{math|''f''}}.
+Matriks Hesse memainkan peran penting dalam [[teori Morse]] dan [[teori katastrofe]] karena [[kernel (aljabar linear)|kernel]] dan [[nilai dan vektor Eigen|nilai eigen]]nya memberikan klasifikasi titik kritis.<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=geruGMKT9_UC&pg=PA248|title=Advanced Calculus: A Geometric View|last=Callahan|first=James J.|date=2010|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4419-7332-0|page=248|language=en}}</ref><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=Tcn3CAAAQBAJ&pg=PA178|title=Recent Developments in General Relativity|editor-last=Casciaro|editor-first=B.|editor-last2=Fortunato|editor-first2=D.|editor-last3=Francaviglia|editor-first3=M.|editor-last4=Masiello|editor-first4=A.|date=2011|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9788847021136|page=178|language=en}}</ref><ref>{{cite book|author1=Domenico P. L. Castrigiano|author2=Sandra A. Hayes|title=Catastrophe theory|year=2004|publisher=Westview Press|isbn=978-0-8133-4126-2|page=18}}</ref>
 == Lihat pula ==