Lompat ke isi

Matriks terbalikkan

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
(Dialihkan dari Matriks invers)

Dalam aljabar linear, sebuah matriks persegi berukuran terbalikkan (invertible) atau tidak singular, jika terdapat matriks persegi dengan ukuran yang sama dengan , dan memenuhi hubungan:

dengan melambangkan matriks identitas berukuran , dan perkalian yang dilakukan merupakan perkalian matriks yang umum. Jika hubungan tersebut berlaku, maka matriks disebut sebagai balikan atau invers (multiplikatif) dari matriks , dan diberi lambang .

Matriks persegi tidak dapat dibalik disebut dengan matriks singular. Matriks persegi bersifat singular jika dan hanya jika nilai determinannya 0. Matriks yang bukan matriks persegi (berukuran dan ) tidak memiliki invers. Namun dalam beberapa kasus, matriks tersebut mungkin memiliki invers kiri atau invers kanan. Jika matriks berukuran dengan rank (nilai ), maka memiliki invers kiri. Invers kiri ini adalah sebuah matriks berukuran yang memenuhi hubungan Sedangkan jika rank matriks adalah (nilai ), maka memiliki invers kanan; yakni sebuah matriks berukuran yang memenuhi hubungan

Teorema matriks terbalikkan

[sunting | sunting sumber]

Sifat keterbalikkan sebuah matriks berhubungan erat dengan banyak sifat lain yang dimiliki matriks tersebut. Misalkan adalah matriks persegi berukuran , dengan entri-entri adalah elemen dari suatu lapangan (misalnya, lapangan bilangan real ). Semua pernyataan berikut ekuivalen, dalam artian antara matriks memenuhi semua pernyataan, atau matriks tidak memenuhi satupun pernyataan yang ada.[1][2]

  • Matriks terbalikkan. Dengan kata lain, matriks memiliki sebuah invers (atau tidak singular).
  • Ada sebuah matriks berukuran yang memenuhi
  • Matriks dapat diubah menjadi matriks identitas lewat serangkaian operasi baris elementer, atau lewat serangkaian operasi kolom elementer.
  • Matriks dapat dinyatakan sebagai perkalian (dengan jumlah terhingga) matriks-matriks elementer
  • Matriks memiliki posisi pivot. Posisi pivot adalah nilai 1 pertama sebuah baris pada matriks bentuk eselon baris tereduksi (reduced row echelon form).
  • Persamaan hanya memiliki solusi trivial, yakni
  • Persamaan tepat memiliki satu solusi, untuk semua
  • Transformasi linear adalah sebuah bijeksi dari ke
  • Kernel dari trivial; dengan kata lain hanya mengandung vektor nol sebagai elemennya, sehingga
  • Determinan dari sama dengan 0.
  • Bilangan 0 bukan nilai eigen dari matriks
  • Rank penuh; dengan kata lain,
  • Kolom-kolom dari saling bebas linear. Ini mengartikan tidak mungkin menyatakan sebuah kolom matriks sebagai kombinasi penjumlahan kolom-kolom yang lain.
  • Span dari kolom-kolom matriks adalah . Artinya, himpunan semua kombinasi linear dari kolom-kolom akan sama dengan
  • Ruang kolom dari matriks adalah . Ruang kolom adalah ruang vektor yang dibentuk oleh kolom-kolom matriks
  • Kolom-kolom matriks membentuk sebuah basis bagi
  • Transpos dari , yakni matriks juga terbalikkan. Hal ini mengartikan baris-baris dari matriks juga memenuhi sifat-sifat yang sama dengan kolom-kolom matriks.
  • Matriks memiliki invers kiri (yakni matriks sehingga ) dan invers kanan (yakni matriks sehingga ). Lebih lanjut, nilai kedua invers tersebut sama,

Hubungan dengan adjugat

[sunting | sunting sumber]

Adjugat dari suatu matriks dapat digunakan untuk mencari invers dari , dengan menggunakan hubungan:

Jika memiliki invers, maka

Sifat-sifat lain

[sunting | sunting sumber]

Selain sifat-sifat pada bagian-bagian sebelumnya, matriks berukuran yang terbalikkan juga memiliki beberapa sifat berikut:

  • ;
  • untuk sembarang skalar yang tidak sama dengan 0;
  • ;
  • ;
  • Untuk sembarang matriks yang dapat dibalik dan yang berukuran sama dengan , akan berlaku . Hal ini dapat diperumum untuk kasus matriks-matriks berukuran dan dapat dibalik, yang akan memiliki hubungan
  • Jika memiliki kolom-kolom yang saling ortonormal, maka ; dengan menyatakan invers Moore–Penrose dan adalah vektor;

Referensi

[sunting | sunting sumber]
  1. ^ Weisstein, Eric W. "Invertible Matrix Theorem". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-09-08. 
  2. ^ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. hlm. 14. ISBN 978-0-521-38632-6. .

Pranala luar

[sunting | sunting sumber]