Kombinasi linear

Misalkan $V$ adalah ruang vektor atas bidang $F$ dan ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}$ adalah dua vektor dalam $V$. Kombinasi linear dari ${\vec {v}}_{1}$ dan ${\vec {v}}_{2}$ adalah vektor-vektor yang diperoleh melalui operasi perkalian skalar dan penjumlahan terhadap kedua vektor tersebut. Pada ruang vektor $V$ berlaku operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Artinya vektor ${\vec {v}}_{1}$ dan ${\vec {v}}_{2}$ dapat dikalikan dengan skalar $k,m\in F$, sehingga terbentuk $k{\vec {v}}_{1}$ dan $m{\vec {v}}_{2}$. Dengan menjumlah kedua vektor, diperoleh $k{\vec {v}}_{1}+m{\vec {v}}_{2}$. Vektor inilah yang disebut sebagai kombinasi linear dari ${\vec {v}}_{1}$ dan ${\vec {v}}_{2}$.

Definisi

Misalkan $F$ adalah bidang dan $V$ adalah ruang vektor atas lapangan $F$. Anggota-anggota $V$ disebut vektor dan anggota-anggota $F$ disebut skalar. Kombinasi linear dari vektor-vektor ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\ldots ,{\vec {v}}_{n}$ adalah vektor-vektor yang dapat ditulis sebagai

$k_{1}{\vec {v}}_{1}+k_{2}{\vec {v}}_{2}+\ldots +k_{n}{\vec {v}}_{n}$

untuk suatu skalar $k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\in F$.

Contoh

Ruang Vektor Euclidean

Himpunan $\mathbb {R} ^{2}$ adalah ruang vektor atas lapangan $\mathbb {R}$. Vektor $(2,7)$ merupakan kombinasi linear dari ${\vec {e}}_{1}=(1,0)$ dan ${\vec {e}}_{2}=(0,1)$, sebab terdapat skalar $2,7\in \mathbb {R}$ sehingga

$(2,7)=2(1,0)+7(0,1)=2{\vec {e}}_{1}+7{\vec {e}}_{2}$

Lebih lanjut, setiap vektor dalam $\mathbb {R} ^{2}$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari $e_{1}$ dan $e_{2}$. Ini terjadi karena sebarang vektor $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ dapat ditulis sebagai

${\begin{aligned}(x,y)&=(x,0)+(0,y)\\&=x(1,0)+y(0,1)\\&=x{\vec {e}}_{1}+y{\vec {e}}_{2}\end{aligned}}$

Polinomial

Himpunan $P_{2}$ merupakan ruang vektor atas lapangan $\mathbb {R}$. Himpunan ini berisi polinomial-polinomial berderajat kurang dari atau sama dengan 2, di mana koefisiennya diambil dari $\mathbb {R}$. Misalkan $p_{1}=1+x^{2}$ dan $p_{2}=2x^{2}$. Apakah polinomial $1+x$ merupakan kombinasi linear dari $p_{1}$ dan $p_{2}$? Untuk menjawabnya, perlu diperiksa apakah terdapat skalar $k_{1},k_{2}\in \mathbb {R}$ yang memenuhi persamaan

$1+x=k_{1}(1+x^{2})+k_{2}(2x^{2})$

Persamaan di atas dapat ditulis sebagai

$1+1x+0x^{2}=k_{1}+0x+(k_{1}+2k_{2})x^{2}$

Dua polinomial bernilai sama jika dan hanya jika koefisien suku-suku yang bersesuaian bernilai sama. Perhatikan bahwa koefisien suku yang memuat $x$ pada ruas kiri adalah 1, sedangkan koefisien pada ruas kanan adalah 0. Akibatnya, kedua polinomial tidak mungkin bernilai sama. Artinya, tidak ada skalar $k_{1},k_{2}\in \mathbb {R}$ yang memenuhi persamaan

$1+x=k_{1}(1+x^{2})+k_{2}(2x^{2})$

Dengan demikian, $1+x$ bukan kombinasi linear dari $p_{1}$ dan $p_{2}$.

Pranala luar

• (Inggris)Kombinasi Linear di MathWorld