Ruang metrik kompleks

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Dalam analisis matematika, sebuah ruang metrik M disebut kompleks (atau ruang Cauchy) jika setiap Urutan Cauchy titik di M memiliki batas yang juga ada di M atau, sebagai alternatif, jika setiap urutan Cauchy pada M dengan M.

Secara intuitif, ruang komplek jika tidak ada "titik yang hilang" darinya (di dalam atau di perbatasan). Misalnya, himpunan bilangan rasional tidak lengkap, karena yaitu adalah "hilang" darinya, meskipun seseorang dapat membuat urutan bilangan rasional Cauchy yang menyatu dengannya (lihat contoh lebih lanjut di bawah). Itu selalu mungkin untuk "mengisi semua lubang", yang mengarah ke "penyelesaian" dari ruang tertentu, seperti yang dijelaskan di bawah ini.

Definisi[sunting | sunting sumber]

Definisi: Sebuah urutan x1, x2, x3, ... dalam ruang metrik (X, d) disebut Cauchy jika untuk setiap positif bilangan riil r > 0 ada integer N positif sehingga untuk semua bilangan bulat positif m, n > N,
d(xm, xn) < r.
Definisi:[1] Konstanta ekspansi dari ruang metrik adalah infimum dari semua konstanta maka , bagian tidak kosong.
Definisi: Ruang metrik (X, d) adalah komplek jika salah satu kondisi setara berikut terpenuhi:
  1. Setiap Urutan Cauchy titik di X memiliki batas yang juga ada di X
  2. Setiap urutan Cauchy di X berkumpul di X (yaitu, ke beberapa titik X).
  3. Konstanta ekspansi (X, d) adalah ≤ 2.[1]
  4. Setiap urutan penurunan tidak kosong ditutup himpunan bagian dari X, dengan diameter ke 0, memiliki bagian yang tidak kosong: if Fn tertutup dan tidak kosong, Fn+1Fn untuk n, dan diam(Fn) → 0, maka xX umum untuk semua himpunan Fn.

Contoh[sunting | sunting sumber]

Ruang Q dari bilangan rasional, dengan metrik standar yang diberikan oleh nilai absolut dari selisih, kompleks. Pertimbangkan misalnya urutan yang ditentukan oleh x1 = 1 dan Ini adalah deret bilangan rasional Cauchy, tetapi tidak konvergen menuju batas rasional apa pun: Jika deret itu memang memiliki batas x, maka dengan menyelesaikan maka x2 = 2, namun tidak ada bilangan rasional yang memiliki sifat ini. Namun, dianggap sebagai urutan bilangan riil, itu konvergen ke bilangan irasional .

interval terbuka ( 0,1), lagi-lagi dengan metrik nilai absolut, juga tidak lengkap. Urutan ditentukan oleh xn = 1n adalah Cauchy, tetapi tidak memiliki batasan dalam ruang yang diberikan. Namun interval tertutup [ 0,1]; misalnya urutan yang diberikan memang memiliki batas dalam interval ini dan batasnya adalah nol.

Ruang R dari bilangan real dan spasi C dari bilangan kompleks (dengan metrik yang diberikan oleh nilai absolut) lengkap, dan begitu pula ruang Euklides Rn, dengan metrik jarak biasa. Sebaliknya, ruang vektor bernorma berdimensi tak hingga mungkin lengkap atau tidak lengkap; yang lengkap adalah Banach space. Ruang C[a, b] dari fungsi bernilai riil kontinu pada interval tertutup dan terbatas adalah ruang Banach, dan ruang metrik kompleks. Namun norma supremum tidak memberikan norma pada ruang C(a, b) fungsi kontinu (a, b), karena mungkin berisi fungsi tak terbatas. Sebaliknya, dengan topologi konvergensi komplek, C(a, b) dapat diberikan struktur Ruang Fréchet: ruang vektor topologi cembung lokal yang topologinya dapat diinduksi oleh metrik invarian-translasi lengkap.

Ruang Qp of bilangan p-adic selesai untuk semua bilangan prima p. Ruang ini melengkapi Q dengan p -metrik adic dengan cara yang sama seperti R melengkapi Q dengan metrik biasa.

Jika S adalah himpunan arbitrer, maka himpunan tersebut SN dari semua urutan di S menjadi ruang metrik lengkap jika kita menentukan jarak antara urutan (xn) dan (yn) menjadi 1N, dengan N adalah indeks terkecilnya xN adalah berbeda dari yN, atau 0 jika tidak ada indeks seperti itu. Spasi ini homeomorfik ke produk dari terhitung jumlah salinan ruang diskrit S.

Manifold Riemannian kompleks disebut manifold geodesik; kelengkapan mengikuti dari teorema Hopf–Rinow.

Beberapa teorema[sunting | sunting sumber]

Setiap ruang metrik kompleks lengkap, meskipun spasi lengkap tidak perlu kompleks. Faktanya, ruang metrik kompak jika dan hanya jika lengkap dan dibatasi total. Ini adalah generalisasi dari Teorema Heine–Borel, yang menyatakan bahwa setiap subruang tertutup dan berbatas S dari Rn kompleks dan karena itu lengkap.[2]

Maka (X, d) menjadi ruang metrik lengkap. Jika AX adalah himpunan tertutup, maka A.[3] Maka (X, d) menjadi ruang metrik. Jika AX adalah subruang kompleks, maka A tertutup.[4]

Jika X adalah himpunan dan M adalah ruang metrik lengkap, maka himpunan B(X, M) dari semua fungsi terbatas f dari X hingga M adalah ruang metrik lengkap. Di sini kami mendefinisikan jarak dalam B(X, M) dalam hal jarak di M dengan norma supremum

Jika X adalah ruang topologi dan M adalah ruang metrik lengkap, maka himpunan Cb(X, M) terdiri dari semua kontinu fungsi yang dibatasi f dari X hingga M adalah subruang tertutup dari {{math|B(X, M).

Teorema kategori Baire mengatakan bahwa setiap ruang metrik lengkap adalah spasi Baire. Yaitu, penyatuan dari terhitung banyak tempat padat himpunan bagian ruang memiliki interior kosong.

Teorema titik tetap Banach menyatakan bahwa pemetaan kontraksi pada ruang metrik lengkap mengakui titik tetap. Teorema titik tetap sering digunakan untuk membuktikan teorema fungsi invers.

Teorema[5] (C. Ursescu) — Misalkan X menjadi ruang metrik komplek dan maka S1, S2, ... menjadi urutan himpunan bagian dari X.

  • Jika Si ditutup dalam X maka .
  • Jika Si maka X .

Penyelesaian[sunting | sunting sumber]

Untuk setiap ruang metrik M , seseorang dapat membuat ruang metrik lengkap M ′ (yang juga dilambangkan sebagai M), yang berisi M sebagai subruang padat. Ini memiliki sifat universal berikut: jika N adalah spasi metrik lengkap dan f adalah fungsi kontinu seragam dari M hingga N , maka ada unik fungsi kontinu seragam f ' dari M ′ ke N. Ruang M 'ditentukan hingga isometri oleh properti ini (di antara semua ruang metrik lengkap yang secara isometrik mengandung M), dan disebut penyelesaian dari M.

Penyelesaian M dapat dibangun sebagai satu set kelas ekivalen dari urutan Cauchy di M . Untuk dua urutan Cauchy x = (xn) dan y = (yn) di M , kita dapat mendefinisikan jarak mereka sebagai

(Batas ini ada karena bilangan real lengkap.) Ini hanya pseudometrik, belum menjadi metrik, karena dua urutan Cauchy yang berbeda mungkin memiliki jarak 0. Tapi "memiliki jarak 0" adalah relasi ekuivalen pada himpunan semua urutan Cauchy, dan himpunan kelas kesetaraan adalah ruang metrik, penyelesaian dari M . Ruang asli disematkan di ruang ini melalui identifikasi elemen x dari M ' dengan kelas ekivalen urutan dalam M yang menyatu dengan x (yaitu, kelas ekivalen yang berisi urutan dengan nilai konstan x ). Ini mendefinisikan isometri ke subruang padat, seperti yang diperlukan. Perhatikan, bagaimanapun, bahwa konstruksi ini menggunakan secara eksplisit kelengkapan bilangan real, jadi penyelesaian bilangan rasional membutuhkan perlakuan sedikit berbeda.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ a b Grünbaum, B. (1960). "Some applications of expansion constants". Pacific J. Math. 10 (1): 193–201. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2016-03-04. 
  2. ^ Sutherland, Wilson A. Introduction to Metric and Topological Spaces. ISBN 978-0-19-853161-6. 
  3. ^ "Archived copy". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2007-06-30. Diakses tanggal 2007-01-14. 
  4. ^ "Archived copy". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2007-06-30. Diakses tanggal 2007-01-14. 
  5. ^ Zalinescu, C (2002). Convex analysis in general vector spaces. River Edge, N.J. London: World Scientific. hlm. 33. ISBN 981-238-067-1. OCLC 285163112. 

Referensi[sunting | sunting sumber]