Eksponen

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari

Eksponen adalah perkalian yang diulang-ulang. Orang menulis eksponen dengan indeks di atas, yang akan terlihat sebagai berikut: x^y. Terkadang hal itu tak mungkin. Kemudian orang menulis eksponen menggunakan tanda ^: 2^3 berarti 2^3.

Latar belakang dan terminologi[sunting | sunting sumber]

Ekspresi b2 = b·b disebut square dari b karena area suatu bujursangkar dengan panjang sisi b adalah b2. Diucapkan "b kuadrat" atau "b pangkat dua" (bahasa Inggris: b squared).

Ekspresi b3 = b·b·b disebut cube dari b karena volume suatu kubus dengan panjang sisi b adalah b3. Diucapkan "b pangkat tiga" (bahasa Inggris: b cubed).

Eksponen menyatakan berapa banyak salinan dari basis yang dilipatgandakan atau dikalikan bersama-sama. Misalnya, 35 = 3·3·3·3·3 = 243. Basis 3 muncul 5 kali dalam perkalian berulang, karena eksponennya adalah 5. Di sini, 3 adalah basis, 5 adalah eksponen, dan 243 adalah (hasil) pangkat atau, lebih spesifik, pangkat lima dari 3, 3 dipangkatkan lima atau 3 pangkat lime (bahasa Inggris: 3 to the power of 5).

Kata "dipangkatkan" biasanya disingkat hanya menjadi "pangkat", sehingga 35 biasanya diucapkan "tiga pangkat lima" (bahasa Inggris: three to the fifth atau three to the five). Eksponensiasi bn dapat dibaca b dipangkatkan n kali, atau b dipangkatkan n, atau b dipangkatkan dengan eksponen n, atau singkatnya b pangkat n (bahasa Inggris: b to the n).

Eksponensiasi dapat digeneralisasi dari eksponen integer ke jenis-jenis umum bilangan lainnya.

Kata "eksponen" (exponent) diperkenalkan pada tahun 1544 oleh Michael Stifel.[1]

Notasi eksponensiasi modern diperkenalkan oleh René Descartes dalam karyanya Géométrie pada tahun 1637.[2][3]

Eksponen integer[sunting | sunting sumber]

Bilangan x disebut bilangan pokok, dan bilangan y disebut eksponen. Sebagai contoh, pada 2^3, 2 adalah bilangan pokok dan 3 eksponen.

Untuk menghitung 2^3 seseorang harus mengalikan 3 kali terhadap angka 2. Sehingga 2^3=2 \cdot 2 \cdot 2. Hasilnya adalah 2 \cdot 2 \cdot 2=8. Apa yang dikatakan persamaan bisa juga dikatakan dengan cara ini: 2 pangkat 3 sama dengan 8.

Contoh:

  • 5^3=5\cdot{} 5\cdot{} 5=125
  • x^2=x\cdot{} x
  • 1^x = 1 untuk setiap bilangan x

Jika eksponen sama dengan 2, maka disebut persegi karena area persegi dihitung menggunakan a^2. Sehingga

x^2 adalah persegi dari x

Jika eksponen sama dengan 3, maka disebut kubik karena volume kubus dihitung dengan a^3. Sehingga

x^3 adalah kubik x

Jika eksponen sama dengan -1 orang harus menghitung invers bilangan pokok. Sehingga:x^{-1}=\frac{1}{x} Jika eksponen adalah integral dan kurang dari 0, orang harus membalik bilangan dan menghitung pangkat. Sebagai contoh:

2^{-3}=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}

Jika eksponen sama dengan \frac{1}{2} hasilnya adalah akar persegi bilangan pokok. Sehingga x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}. Contoh:

4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2

Dengan cara yang sama, jika eksponen \frac{1}{n} hasilnya adalah akar ke-n, sehingga:

a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}

Jika eksponen merupakan bilangan rasional \frac{p}{q}, hasilnya adalah akar ke-q bilangan pokok yang dipangkatkan p, sehingga:

a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}

Eksponen bisa juga tak rasional. Untuk menjadikan bilangan pokok a menjadi pangkat ke-x yang tak rasional, kita menggunakan rangkaian ketidakterhinggaan bilangan rasional (xi), yang limitnya adalah x:

x=\lim_{n\to\infty}x_n

seperti ini:a^x=\lim_{n\to\infty}a^{x_n}

Ada beberapa aturan yang membantu menghitung pangkat:

  • \left(a\cdot b\right)^n = a^n\cdot{}b^n
  • \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n},\quad b\neq 0
  • a^r \cdot{} a^s = a^{r+s}
  • \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s},\quad a\neq 0
  • a^{-n} = \frac{1}{a^n},\quad a\neq 0
  • \left(a^r\right)^s = a^{r\cdot s}
  • a^0 = 1,\quad a\neq 0: Bila bilangan pokok lebih besar daripada 1 dan eksponen 0, jawabannya 1. Jika bilangan pokok dan pangkat sama dengan 0, jawabannya tak terdefinisikan.

Ekponen matriks bisa pula dihitung. Matriks itu harus persegi. Sebagai contoh: I^2=I \cdot I=I.

Daftar eksponensial bilangan bulat[sunting | sunting sumber]

n n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1,024
3 9 27 81 243 729 2,187 6,561 19,683 59,049
4 16 64 256 1,024 4,096 16,384 65,536 262,144 1,048,576
5 25 125 625 3,125 15,625 78,125 390,625 1,953,125 9,765,625
6 36 216 1,296 7,776 46,656 279,936 1,679,616 10,077,696 60,466,176
7 49 343 2,401 16,807 117,649 823,543 5,764,801 40,353,607 282,475,249
8 64 512 4,096 32,768 262,144 2,097,152 16,777,216 134,217,728 1,073,741,824
9 81 729 6,561 59,049 531,441 4,782,969 43,046,721 387,420,489 3,486,784,401
10 100 1,000 10,000 100,000 1,000,000 10,000,000 100,000,000 1,000,000,000 10,000,000,000


Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ See:
    • Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
    • Michael Stifel, Arithmetica integra (Nuremberg ("Norimberga"), (Germany): Johannes Petreius, 1544), Liber III (Book 3), Caput III (Chapter 3): De Algorithmo numerorum Cossicorum. (On algorithms of algebra.), page 236. Stifel was trying to conveniently represent the terms of geometric progressions. He devised a cumbersome notation for doing that. On page 236, he presented the notation for the first eight terms of a geometric progression (using 1 as a base) and then he wrote: "Quemadmodum autem hic vides, quemlibet terminum progressionis cossicæ, suum habere exponentem in suo ordine (ut 1ze habet 1. 1ʓ habet 2 &c.) sic quilibet numerus cossicus, servat exponentem suæ denominationis implicite, qui ei serviat & utilis sit, potissimus in multiplicatione & divisione, ut paulo inferius dicam." (However, you see how each term of the progression has its exponent in its order (as 1ze has a 1, 1ʓ has a 2, etc.), so each number is implicitly subject to the exponent of its denomination, which [in turn] is subject to it and is useful mainly in multiplication and division, as I will mention just below.) [Note: Most of Stifel's cumbersome symbols were taken from Christoff Rudolff, who in turn took them from Leonardo Fibonacci's Liber Abaci (1202), where they served as shorthand symbols for the Latin words res/radix (x), census/zensus (x2), and cubus (x3).]
  2. ^ René Descartes, Discourse de la Méthode … (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: La Géométrie, book one, page 299. From page 299: " … Et aa, ou a2, pour multiplier a par soy mesme; Et a3, pour le multiplier encore une fois par a, & ainsi a l'infini ; … " ( … and aa, or a2, in order to multiply a by itself; and a3, in order to multiply it once more by a, and thus to infinity ; … )
  3. ^ Cajori, Florian (1991) [1893]. A History of Mathematics (ed. 5th). AMS. hlm. 178. ISBN 0821821024. 

Pranala luar[sunting | sunting sumber]