Kaidah Cramer

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian
Persamaan untuk z dari Halaman 657 dari buku Gabriel Cramer "Introduction a l’analyse de lignes courbes algébriques".

Dalam aljabar linear, kaidah Cramer adalah rumus yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan banyak persamaan sama dengan banyak variabel, dan berlaku ketika sistem tersebut memiliki solusi yang tunggal. Rumus ini menyatakan solusi dengan menggunakan determinan matriks koefisien (dari sistem persamaan) dan determinan matriks lain yang diperoleh dengan mengganti salah satu kolom matriks koefisien dengan vektor yang berada sebelah kanan persamaan. Metode ini dinamai dari matematikawan Swiss Gabriel Cramer (1704–1752), yang pada tahun 1750 menerbitkan kaidah ini untuk sebarang banyaknya variabel,[1][2] walau Colin Maclaurin juga menerbitkan kasus khusus dari kaidah ini pada tahun 1748[3] (dan mungkin ia sudah mengetahuinya sejak 1729).[4][5][6]

Kaidah Cramer yang digunakan dengan naif (apa adanya) tidak efisien secara komputasi untuk sistem dengan lebih dari dua atau tiga persamaan.[7] Untuk kasus dengan n persamaan dalam n variabel, rumus ini perlu menghitung n + 1 nilai determinan, sedangkan eliminasi Gauss menghasilkan solusi yang sama dengan kompleksitas komputasi yang setara dengan menghitung satu nilai determinan.[8][9] Kaidah Cramer juga dapat tidak stabil secara numerik bahkan untuk sistem ukuran 2×2.[10] Namun, belakangan ini berhasil dibuktikan bahwa kaidah Cramer dapat diterapkan dalam kompleksitas waktu O(n3).[11] Hal ini membuatnya dapat disandingkan dengan metode-metode yang lebih umum untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (seperti eliminasi Gauss), dan juga dapat disandingkan dalam hal kestabilan numerik pada kebanyakan kasus.

Kasus umum[sunting | sunting sumber]

Pertimbangkan sistem persamaan linear dengan variabel, yang direpresentasikan dalam bentuk perkalian matriks sebagai:

dengan matriks berukuran memiliki determinan bukan nol, dan vektor adalah vektor kolom dari variabel. Teorema menyatakan bahwa sistem memiliki solusi unik dalam keadaan ini, dengan nilai untuk setiap variabel diberikan oleh:

dimana adalah matriks yang dibentuk dengan mengganti kolom ke- dari dengan vektor kolom .

Versi yang lebih umum dari kaidah Cramer[12] mempertimbangkan persamaan matriks

Dimana A adalah matriks yang memiliki determinan bukan nol, sedangkan dan adalah matriks . Untuk sebuah barisan dan , misalkan sebagai submatriks ukuran yang berisi baris dan kolom dari matriks . Misalkan pula sebagai matriks yang dibentuk dengan mengganti kolom ke- matriks dengan kolom ke- matriks , untuk semua . Kemudian

Dalam kasus , persamaan tersebut adalah kaidah Cramer yang normal.

Kaidah Cramer berlaku untuk sistem persamaan dengan koefisien dan variabel di sebarang lapangan, tidak hanya di bilangan real.

Contoh[sunting | sunting sumber]

Berikut adalah sistem persamaan linear:

Matriks persamaan ini adalah:

Apabila a1b2b1a2 bukan nol, maka x dan y dapat dicari dengan menggunakan determinan matriks tersebut:

Untuk matriks 3 × 3, caranya sama:

Persamaan ini dalam bentuk matriks adalah sebagai berikut:

Kemudian nilai x, y dan z dapat dicari dengan rumus berikut:

Bukti[sunting | sunting sumber]

Bukti untuk kaidah Cramer didasarkan pada sifat dari determinan: linearitas terhadap setiap kolom, dan fakta bahwa determinan bernilai nol jika terdapat dua kolom yang sama (tersirat dari sifat tanda determinan yang berubah ketika terjadi penukaran dua kolom matriks).

Pilih sebarang kolom ke-j dari sebuah matriks. Linearitas mengartikan jika kita menganggap hanya kolom ke-j sebagai variabel,[13] fungsi yang dihasilkan (dengan asumsi elemen matriks adalah anggota ) dapat ditulis sebagai perkalian sebuah matriks, dengan satu baris dan n kolom, dengan kolom ke-j. Faktanya, ini yang dilakukan oleh ekspansi Laplace, yang menyatakan dengan koefisien [14] bergantung pada kolom-kolom matriks selain kolom ke-j. Nilai juga dapat ditulis sebagai perkalian matriks satu-baris dengan kolom ke-j dari . Jika dikalikan dengan kolom lain dari , misal kolom ke-k, hal ini sama mengganti kolom ke-j dengan kolom ke-k. Pada kasus ini determinan akan bernilai 0 (sifat determinan jika terdapat dua kolom yang sama).

Selanjutnya perhatikan sistem n persamaan linear dengan n variabel, dengan sebagai matriks koefisien, dan diasumsikan tidak bernilai nol:

Lalu bentuk persamaan "gabungan" dari menjumlahkan persamaan pertama dikali , dengan persamaan kedua dikali , dan seterusnya, sampai persamaan terakhir dikali . Koefisien untuk variabel pada persamaan ini adalah

sedangkan koefisien untuk variabel lainnya akan bernilai 0; sehingga ekspresi di ruas kiri persamaan hanyalah . Sedangkan, ruas kanan memiliki bentuk , yang sama dengan mengalikan dengan vektor kolom . Faktanya, proses yang kita lakukan sama dengan mengalikan persamaan dengan dari kiri. Membagi kedua ruas dengan akan menghasilkan persamaan berikut:

Bentuk pembilang pada persamaan tersebut sama dengan nilai determinan dari matriks , dengan kolom ke-j yang diganti dengan vektor . Akhirnya, kita mendapatkan ekspresi kaidah Cramer yang juga merupakan syarat perlu untuk solusi. Proses yang sama dapat dilakukan untuk nilai-nilai j lain untuk mendapatkan nilai variabel lainnya.

Hal terakhir yang perlu dibuktikan adalah, apakah (satu-satunya) nilai yang didapatkan dari cara ini memang merupakan solusi dari sistem persamaan. Ketika matriks dapat diinvers dengan matriks invers , maka adalah solusi dari sistem (dan menunjukkan eksistensinya). Untuk menunjukkan dapat diinvers ketika tidak bernilai nol, pertimbangkan matriks ukuran yang dibentuk dengan menumpuk matriks satu-baris secara berurutan untuk j = 1, ..., n (ini adalah matriks adjugat dari ). Dapat ditunjukkan bahwa , dengan berada pada kolom ke-j; dari ini dapat simpulkan . Sehingga didapatkan,

yang melengkapi pembuktian.

Untuk bentuk-bentuk pembuktian yang lain, lihat dibawah.

Menemukan matriks invers[sunting | sunting sumber]

Misalkan adalah matriks dengan entri-entrinya elemen suatu lapangan . Selanjutnya

dengan menunjukkan matriks adjugat dari , adalah determinannya, dan adalah matriks identitas. Jika tidak bernilai nol, maka matriks invers dari adalah

Terlebih lagi, rumus ini berlaku ketika merupakan gelanggang komutatif, asalkan adalah satuan. Jika bukan satuan, maka tidak memiliki invers atas gelanggang tersebut.

Interpretasi geometris[sunting | sunting sumber]

Interpretasi geometris dari kaidah Cramer. Jajar genjang kedua dan ketiga memiliki luas yang sama, sedangkan luas jajar genjang yang kedua adalah kali yang pertama. Dari persamaan ini, kaidah Cramer dapat ditunjukkan.

Kaidah Cramer memiliki interpretasi geometris yang juga dapat dianggap sebagai sebuah bukti atau setidaknya memberikan wawasan tentang sifat geometrisnya. Argumen geometris berikut disajikan untuk kasus dua persamaan dalam dua variabel, dan secara umum dapat diterapkan untuk kasus-kasus lain.

Misalkan kita memiliki sistem persamaan

sistem ini dapat dianggap sebagai persamaan antar vektor

Luas jajar genjang dibentuk oleh dan diberikan oleh determinan:

Secara umum, untuk kasus jumlah persamaan dan variabel yang lebih banyak, determinan dari n vektor dengan panjang n akan memberikan volume dari parallelepiped, yang dibentuk oleh vektor-vektor tersebut dalam dimensi ke- n ruang Euklides.

Oleh karena itu, luas jajar genjang ditentukan oleh dan akan memiliki kali luas dari jajar genjang asalnya, karena salah satu sisinya telah dikalikan dengan faktor ini. Sekarang, jajar genjang terakhir ini, dengan menggunakan prinsip Cavalieri, memiliki luas yang sama dengan jajar genjang yang dibentuk oleh dan

Menyamakan dua cara menghitung luas dari jajar genjang terakhir akan menghasilkan persamaan

yang tidak lain adalah bentuk dari kaidah Cramer.

Aplikasi[sunting | sunting sumber]

Geometri diferensial[sunting | sunting sumber]

Kalkulus Ricci[sunting | sunting sumber]

Kaidah Cramer digunakan dalam kalkulus Ricci dalam berbagai perhitungan yang melibatkan simbol Christoffel jenis pertama dan kedua.[15]

Secara khusus, aturan Cramer dapat digunakan untuk membuktikan bahwa operator divergensi pada manifold Riemannian invarian (tidak bergantung) pada perubahan koordinat. Berikut disajikan bukti langsung pernyataan tersebut, sambil mengurangi pemakaian simbol Christoffel. Misal adalah manifold Riemannian yang dilengkapi dengan koordinat lokal . Misalkan pula sebagai bidang vektor. Bukti ini menggunakan konvensi penjumlahan Einstein.

Teorema.
Divergensi dari ,
bersifat invarian pada perubahan koordinat.
Bukti
Misalkan sebagai transformasi koordinat dengan Jacobian yang tidak singular. Dengan menggunakan hukum transformasi, kita dapat menulis dengan . Serupa dengan itu, jika , maka . Menuliskan hukum transformasi ini dalam bentuk matriks akan menghasilkan , yang mengakibatkan .

Di sisi lain, bentuk divergensi dari A dapat diubah,

Untuk menunjukkan bahwa bentuk ini sama dengan , kita perlu dan cukup untuk menunjukkan bahwa

setara dengan bentuk

Melakukan diferensiasi di sisi kiri persamaan terakhir, kita mendapatkan:

dimana menandakan matriks yang diperoleh dari dengan menghapus baris ke- dan kolom ke-. Tapi, kaidah Cramer mengatakan bahwa

adalah entri ke dari matriks . Alhasil

menyelesaikan pembuktian kita.

Menghitung turunan secara implisit[sunting | sunting sumber]

Pertimbangkan dua persamaan dan . Jika dan adalah variabel bebas pada sistem, kita dapat mendefinisikan dan Persamaan untuk dapat ditemukan dengan menerapkan aturan Cramer.

Perhitungan

Pertama, hitung turunan pertama dari , , , dan :

Mensubtitusi dan masing-masing ke dan , kita mendapatkan:

Karena dan keduanya independen, koefisien untuk dan untuk harus bernilai nol. Jadi kita bisa menuliskan persamaan berikut yang perlu dipenuhi oleh koefisien:

Sekarang, berdasarkan kaidah Cramer, kita dapatkan:

Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk Jacobian sebagai:

Rumus serupa dapat diturunkan untuk

Pemrograman bilangan bulat[sunting | sunting sumber]

Kaidah Cramer dapat digunakan untuk membuktikan bahwa masalah integer programming, yang matriks pembatasnya bersifat totally unimodular dan yang ruas kanannya berupa bilangan bulat, memiliki solusi bilangan bulat. Hal ini membuat integer program jauh lebih mudah untuk diselesaikan.

Persamaan diferensial biasa[sunting | sunting sumber]

Kaidah Cramer digunakan untuk menurunkan solusi umum ke persamaan diferensial linear yang tidak homogen dengan metode variasi parameter.

Bukti lainnya[sunting | sunting sumber]

Bukti dengan aljabar linier abstrak[sunting | sunting sumber]

Bukti kaidah Cramer dapat dinyataan dalam bahasa yang lebih abstrak.

Pertimbangkan peta dengan adalah matriks yang kolom ke--nya diganti dengan vektor , seperti pada kaidah Cramer. Peta ini bersifat linear karena sifat linearitas determinan pada setiap kolom. Selain itu, karena determinan matriks dengan dua kolom yang sama akan bernilai 0, kolom ke- dari matriks akan dipetakan basis vektor standar ke- (dengan nilai 1 di tempat ke-). Jadi kita memiliki sebuah peta linier yang sama dengan invers dari pada ruang kolom; karenanya peta ini sama dengan pada span dari ruang kolom. Karena dapat diinvers, span dari vektor-vektor kolom adalah , jadi peta kita benar-benar invers dari . Kaidah Cramer mengikuti.

Bukti singkat[sunting | sunting sumber]

Sebuah bukti singkat kaidah Cramer[16] dapat ditunjukkan dengan memperhatikan bahwa adalah determinan dari matriks

Di sisi lain, dengan mengasumsikan matriks dapat diinvers, matriks ini memiliki kolom-kolom , dengan adalah kolom ke-n matriks . Ingat pula bahwa matriks memiliki kolom-kolom , sehingga kita memiliki hubungan . Selanjutnya, dengan menggunakan sifat determinan dari hasil kali matriks sama dengan hasil kali determinan setiap matriks, kita dapatkan

Bukti yang serupa juga dapat ditulis untuk nilai lainnya.

Catatan kaki[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Cramer, Gabriel (1750). "Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques" (dalam bahasa Prancis). Geneva: Europeana. hlm. 656–659. Diakses tanggal 2012-05-18. 
  2. ^ Kosinski, A. A. (2001). "Cramer's Rule is due to Cramer". Mathematics Magazine. 74: 310–312. doi:10.2307/2691101. 
  3. ^ MacLaurin, Colin (1748). A Treatise of Algebra, in Three Parts. 
  4. ^ Boyer, Carl B. (1968). A History of Mathematics (edisi ke-2nd). Wiley. hlm. 431. 
  5. ^ Katz, Victor (2004). A History of Mathematics (edisi ke-Brief). Pearson Education. hlm. 378–379. 
  6. ^ Hedman, Bruce A. (1999). "An Earlier Date for "Cramer's Rule"" (PDF). Historia Mathematica. 26 (4): 365–368. doi:10.1006/hmat.1999.2247. 
  7. ^ David Poole (2014). Linear Algebra: A Modern Introduction. Cengage Learning. hlm. 276. ISBN 978-1-285-98283-0. 
  8. ^ Joe D. Hoffman; Steven Frankel (2001). Numerical Methods for Engineers and Scientists, Second Edition,. CRC Press. hlm. 30. ISBN 978-0-8247-0443-8. 
  9. ^ Thomas S. Shores (2007). Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. Springer Science & Business Media. hlm. 132. ISBN 978-0-387-48947-6. 
  10. ^ Nicholas J. Higham (2002). Accuracy and Stability of Numerical Algorithms: Second Edition. SIAM. hlm. 13. ISBN 978-0-89871-521-7. 
  11. ^ Ken Habgood; Itamar Arel (2012). "A condensation-based application of Cramerʼs rule for solving large-scale linear systems" (PDF). Journal of Discrete Algorithms. 10: 98–109. doi:10.1016/j.jda.2011.06.007. 
  12. ^ Zhiming Gong; M. Aldeen; L. Elsner (2002). "A note on a generalized Cramer's rule". Linear Algebra and its Applications. 340: 253–254. doi:10.1016/S0024-3795(01)00469-4alt=Dapat diakses gratis. 
  13. ^ dan mengganggap kolom-kolom lain sebagai konstanta.
  14. ^ Koefisien-koefisien ini disebut dengan kofaktor, namun rumus persisnya tidak penting saat ini.
  15. ^ Levi-Civita, Tullio (1926). The Absolute Differential Calculus (Calculus of Tensors). Dover. hlm. 111–112. ISBN 9780486634012. 
  16. ^ Robinson, Stephen M. (1970). "A Short Proof of Cramer's Rule". Mathematics Magazine. 43: 94–95. 

Pranala luar[sunting | sunting sumber]