Identitas (matematika)

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian
Bukti visual identitas Pythagoras: untuk setiap sudut , Inti terletak pada lingkaran satuan, yang memenuhi persamaan . Jadi, .

Dalam matematika, identitas adalah persamaan yang menghubungkan satu ekspresi matematika A ke ekspresi matematika lainnya B , sedemikian rupa sehingga A dan B (yang mungkin berisi beberapa variabel) menghasilkan nilai yang sama untuk semua nilai variabel dalam rentang validitas tertentu.[1][2] Dengan kata lain, A = B adalah identitas jika A dan B sama dengan fungsi, dan identitas adalah persamaan antara fungsi yang didefinisikan secara berbeda. Misalnya, dan adalah identitas.[2] Identitas terkadang ditunjukkan dengan simbol batang tiga daripada =, tanda sama dengan.[3]

Identitas umum[sunting | sunting sumber]

Identitas aljabar[sunting | sunting sumber]

Identitas tertentu, khususnya dan , membentuk dasar aljabar,[4] sedangkan identitas lainnya, khususnya and , dapat berguna dalam menyederhanakan ekspresi aljabar dan mengembangkannya.[5]

Identitas trigonometri[sunting | sunting sumber]

Secara geometris, identitas trigonometri adalah identitas yang melibatkan fungsi tertentu dari satu atau lebih sudut.[6] Identitas tersebut berbeda dari identitas segitiga, yang merupakan identitas yang melibatkan sudut dan panjang sisi sebuah segitiga. Hanya yang pertama dibahas dalam artikel ini.

Identitas ini berguna setiap kali ekspresi yang melibatkan fungsi trigonometri perlu disederhanakan. Aplikasi penting lainnya adalah integrasi dari fungsi non-trigonometri: teknik umum yang melibatkan penggunaan aturan substitusi dengan fungsi trigonometri, dan kemudian menyederhanakan integral yang dihasilkan dengan identitas trigonometri.

Salah satu contoh paling menonjol dari identitas trigonometri melibatkan persamaan yang benar untuk semua nilai kompleks dari (karena bilangan kompleks membentuk domain sinus dan kosinus). Di sisi lain, persamaannya

hanya berlaku untuk nilai tertentu , tidak semua (atau untuk semua nilai dalam lingkungan). Misalnya, persamaan ini benar jika tapi salah saat .

Kelompok lain dari identitas trigonometri menyangkut apa yang disebut rumus penjumlahan/pengurangan (misalnya identitas sudut ganda , rumus penjumlahan untuk ),[3][1] yang dapat digunakan untuk memecah ekspresi sudut yang lebih besar menjadi ekspresi dengan konstituen yang lebih kecil.

Identitas eksponensial[sunting | sunting sumber]

Identitas berikut berlaku untuk semua eksponen bilangan bulat, asalkan basisnya bukan nol:

Tidak seperti penjumlahan dan perkalian, eksponen tidak komutatif. Sebagai contoh, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 dan 2 · 3 = 3 · 2 = 6, melainkan 23 = 8, sedangkan 32 = 9.

Dan tidak seperti penjumlahan dan perkalian, eksponen juga tidak asosiatif. Sebagai contoh, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 dan (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24, melainkan 23 ke 4 adalah 84 (atau 4.096), sedangkan 2 banding 34 adalah 281 (atau 2,417,851,639,229,258,349,412,352). Tanpa tanda kurung untuk mengubah urutan kalkulasi, menurut konvensi urutannya top-down, bukan bottom-up:

Identitas logaritmik[sunting | sunting sumber]

Beberapa rumus penting, terkadang disebut identitas logaritmik atau hukum log , menghubungkan logaritma satu sama lain.[7]

Produk, hasil bagi, deret dan akar[sunting | sunting sumber]

Logaritma dari suatu perkalian adalah jumlah dari logaritma dari angka-angka yang dikalikan; logaritma rasio dua bilangan adalah selisih logaritma. Logaritma dari p kekuatan angka adalah p kali logaritma dari angka itu sendiri; logaritma dari a-p root adalah logaritma bilangan dibagi dengan p . Tabel berikut mencantumkan identitas ini dengan contoh. Setiap identitas dapat diturunkan setelah substitusi definisi logaritma x = blogb(x), and/or y = blogb(y), di sisi kiri.

Formula Contoh
produk
hasil bagi
pangkat
akar

Perubahan basis[sunting | sunting sumber]

Logaritma logb(x) dapat dihitung dari logaritma x dan b sehubungan dengan basis sembarang k menggunakan rumus berikut:

Biasanya kalkulator ilmiah menghitung logaritma ke basis 10 dan e .[8] Logaritma yang terkait dengan basis b apa pun dapat ditentukan menggunakan salah satu dari dua logaritma ini dengan rumus sebelumnya:

Diberikan angka x dan logaritma logb(x) ke basis yang tidak diketahui b , basis diberikan oleh:

Identitas fungsi hiperbolik[sunting | sunting sumber]

Fungsi hiperbolik memenuhi banyak identitas, semuanya mirip bentuknya dengan identitas trigonometri. Faktanya, Kaidah Osborn[9] menyatakan bahwa seseorang dapat mengubah identitas trigonometri apa pun menjadi identitas hiperbolik dengan mengembangkannya sepenuhnya dalam hal kekuatan integral sinus dan cosinus, mengubah sinus menjadi sinh dan cosinus menjadi cosh, dan mengganti tanda setiap suku yang berisi hasil kali 2, 6, 10, 14, ... sinh.[10]

Fungsi Gudermannian memberikan hubungan langsung antara fungsi melingkar dan fungsi hiperbolik yang tidak melibatkan bilangan kompleks.

Logika dan aljabar universal[sunting | sunting sumber]

Dalam logika matematika dan dalam aljabar universal, identitas didefinisikan sebagai rumus dari bentuk "x1,...,xn. s = t", di mana s dan t adalah istilah tanpa variabel bebas selain x1,...,xn. The quantifier prefix ("∀x1,...,xn.") sering dibiarkan implisit, khususnya dalam aljabar universal. Misalnya, aksioma dari monoid sering diberikan sebagai identitas himpunan

{   x,y,z. x*(y*z)=(x*y)*z   ,   x. x*1=x   ,   x. 1*x=x   },

atau, dalam notasi singkatnya, sebagai

{   x*(y*z)=(x*y)*z   ,   x*1=x   ,   1*x=x   }.

Beberapa penulis menggunakan nama "persamaan" daripada "identitas".[11][12]

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ a b "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Identity". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2019-08-01. Diakses tanggal 2019-12-01. 
  2. ^ a b "Mathwords: Identity". www.mathwords.com. Diakses tanggal 2019-12-01. 
  3. ^ a b "Identity - math word definition - Math Open Reference". www.mathopenref.com. Diakses tanggal 2019-12-01. 
  4. ^ "Basic Identities". www.math.com. Diakses tanggal 2019-12-01. 
  5. ^ "Algebraic Identities". www.sosmath.com. Diakses tanggal 2019-12-01. 
  6. ^ Stapel, Elizabeth. "Trigonometric Identities". Purplemath. Diakses tanggal 2019-12-01. 
  7. ^ Semua pernyataan di bagian ini dapat ditemukan di Shailesh Shirali 2002, section 4, (Douglas Downing 2003, p. 275), or Kate & Bhapkar 2009, p. 1-1, for example.
  8. ^ Bernstein, Stephen; Bernstein, Ruth (1999), Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probabilityPerlu mendaftar (gratis), Schaum's outline series, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-005023-5 , p. 21
  9. ^ Osborn, G. (1 January 1902). "109. Mnemonic for Hyperbolic Formulae". The Mathematical Gazette. 2 (34): 189. doi:10.2307/3602492. JSTOR 3602492. 
  10. ^ Peterson, John Charles (2003). Technical mathematics with calculus (edisi ke-3rd). Cengage Learning. hlm. 1155. ISBN 0-7668-6189-9. , Chapter 26, page 1155
  11. ^ Nachum Dershowitz; Jean-Pierre Jouannaud (1990). "Rewrite Systems". Dalam Jan van Leeuwen. Formal Models and Semantics. Handbook of Theoretical Computer Science. B. Elsevier. hlm. 243–320. 
  12. ^ Wolfgang Wechsler (1992). Wilfried Brauer; Grzegorz Rozenberg; Arto Salomaa, ed. Universal Algebra for Computer Scientists. EATCS Monographs on Theoretical Computer Science. 25. Berlin: Springer. ISBN 3-540-54280-9.  Here: Def.1 of Sect.3.2.1, p.160.

Pranala luar[sunting | sunting sumber]