Geometri mutlak

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Geometri mutlak adalah geometri yang didasarkan pada sistem aksioma geometri Euklides tanpa menggunakan postulat paralel maupun alternatifnya. Secara sederhana, geometri ini hanya menggunakan empat pertama dari postulat Euklidean. Namun karena postulat Euklidean tidak cukup menjadi dasar dari geometri Euklides, sistem lain, seperti aksioma Hilbert tanpa menggunakan aksioma paralel, dipilih menjadi dasar.[1] Istilah ini diperkenalkan oleh János Bolyai pada tahun 1832.[2] Geometri ini terkadang disebut sebagai geometri netral,[3] dalam konteks "ke-netral-annya" dengan postulat paralel.

Sifat[sunting | sunting sumber]

Geometri absolut terlihat sebagai sebuat sistem yang agak lemah, namun itu tidak sepenuhnya benar. Pada Elemen Euklides, Proposisi 28 dan Proposisi 31 menghindari penggunaan postulat paralel, dan oleh karena itu keduanya berlaku dalam geometri absolut.[4] Dalam geometri absolut, kita juga dapat membuktikan teorema sudut eksterior (sudut luar segitiga lebih besar daripada kedua sudut segitiga lainnya), serta Teorema Saccheri – Legendre, yang menyatakan bahwa jumlah ukuran sudut dalam segitiga memiliki paling banyak 180°.[5]

Proposisi 31 berisi cara mengonstruksi garis yang sejajar ke suatu garis tertentu melalui titik yang bukan pada garis tersebut.[6] Karena pembuktiannya hanya membutuhkan penggunaan Proposisi 27 (teorema sudut interior alternatif), konstruksi tersebut berlaku dalam geometri absolut. Dalam bahasa yang lebih formal, untuk setiap garis dan setiap titik yang tidak terletak pada , ada setidaknya satu garis yang melewati dan sejajar dengan . Hal ini dapat dibuktikan dengan mengonstruksi garis dari ke yang tegak lurus, lalu membuat garis yang tegak lurus dengan dan melalui . Berdasarkan teorema sudut interior alternatif, garis sejajar dengan . (Teorema sudut interior alternatif menyatakan bahwa jika garis dan yang dipotong oleh garis membentuk sepasang sudut interior alternatif yang kongruen, maka garis dan saling sejajar.)[4]

Dalam geometri absolut juga dapat dibuktikan bahwa dua garis yang tegak lurus dengan suatu garis yang sama tidak mungkin berpotongan (yang mengartikan kedua garis tersebut sejajar, menurut definisi garis sejajar). Hal ini membuktikan bahwa sudut puncak pada segiempat Saccheri tidak mungkin tumpul, dan geometri bola bukanlah geometri absolut.

Hubungannya dengan geometri lain[sunting | sunting sumber]

Teorema geometri absolut berlaku dalam geometri hiperbolik, yang merupakan geometri non-Euklides, serta dalam geometri Euklides.[7]

Geometri absolut tidak konsisten dengan geometri elips: dalam teori itu, tidak ada garis sejajar sama sekali, tetapi itu adalah teorema geometri absolut bahwa garis sejajar memang ada. Namun, dimungkinkan untuk memodifikasi sistem aksioma sehingga geometri absolut, sebagaimana ditentukan oleh sistem yang dimodifikasi, akan menyertakan geometri sferis dan elips, yang tidak memiliki garis sejajar.[8]

Geometri absolut adalah perpanjangan dari geometri terurut, dan dengan demikian, semua teorema dalam geometri terurut tetap dalam geometri absolut. Kebalikannya tidak benar. Geometri absolut mengasumsikan empat aksioma Euklid pertama (atau ekuivalennya), dibandingkan dengan geometri affine, yang tidak mengasumsikan aksioma ketiga dan keempat Euklid. (3: "Untuk mendeskripsikan lingkaran dengan semua pusat dan jarak radius.", 4: "Bahwa semua sudut siku sama satu sama lain.") Geometri teratur adalah fondasi umum dari geom absolut dan geo affin.[9]

Geometri relativitas khusus telah dikembangkan mulai dengan sembilan aksioma dan sebelas proposisi geometri absolut.[10][11] Para penulis Edwin B. Wilson dan Gilbert N. Lewis kemudian melanjutkan melampaui geometri absolut ketika mereka memperkenalkan rotasi hiperbolik sebagai transformasi yang menghubungkan dua kerangka acuan.

Bidang Hilbert[sunting | sunting sumber]

Sebuah bidang yang memenuhi aksioma Incidence Hilbert, betweness, dan kekongruenan, disebut dengan bidang Hilbert.[12] Bidang Hilbert adalah model dari geometri absolut.[13]

Ketidaklengkapan[sunting | sunting sumber]

Geometri absolut adalah sistem aksiomatik yang tidak lengkap, dalam artian bahwa seseorang dapat menambahkan aksioma baru yang independen, tanpa membuat sistem aksioma menjadi tidak konsisten. Seseorang dapat memperluas geometri absolut dengan menambahkan aksioma yang berbeda tentang sifat garis paralel dan mendapatkan beberapa sistem aksioma yang konsisten namun tidak saling compatible. Hal ini yang menimbulkan geometri Euklides atau hiperbolik. Dengan demikian, setiap teorema pada geometri absolut juga merupakan teorema pada geometri hiperbolik dan geometri Euklides. Namun pernyataan sebaliknya tidak benar.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Faber 1983, pg. 131
  2. ^ dalam "Lampiran menunjukkan ilmu mutlak ruang: terlepas dari kebenaran atau kepalsuan Aksioma XI Euklid (tidak pernah diputuskan sebelumnya)" (Faber 1983, pg. 161)
  3. ^ Greenberg mengutip W. Prenowitz dan M. Jordan (Greenberg, p. Xvi) karena telah menggunakan istilah "geometri netral untuk merujuk ke bagian geometri Euclidean yang tidak bergantung pada postu paralel Euklid. Dia mengatakan bahwa kata absolut dalam geometri absolut secara menyesatkan menyiratkan bahwa semua geometri lain bergantung padanya.
  4. ^ a b Greenberg 2007, p. 163
  5. ^ Seseorang melihat ketidakcocokan geometri absolut dengan geometri elips, karena dalam teori terakhir semua segitiga memiliki jumlah sudut yang lebih besar dari 180°.
  6. ^ Faber 1983, p. 296
  7. ^ Memang, geometri absolut sebenarnya adalah perpotongan antara geometri hiperbolik dan geometri Euclidean jika keduanya dianggap sebagai himpunan proposisi.
  8. ^ Ewald, G. (1971), Geometry: An Introduction, Wadsworth 
  9. ^ Coxeter 1969, pp. 175–6
  10. ^ Edwin B. Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) "Relativitas Ruang-waktu. Prosiding Mekanika dan Elektromagnetik Geometri Non-Euklidean American Academy of Arts and Sciences 48:387–507
  11. ^ Synthetic Spacetime, sebuah intisari dari aksioma yang digunakan, dan teorema dibuktikan, oleh Wilson dan Lewis. Diarsipkan oleh WebCite
  12. ^ Hartshorne 2005, p.97
  13. ^ Greenberg 2010, p.200

Referensi[sunting | sunting sumber]

Pranala luar[sunting | sunting sumber]