Konstanta Apéry

Konstanta Apéry
Rasionalitas	Irasional
Simbol	ζ(3)
Representasi
Desimal	1.2020569031595942854...
Dalam bentuk pecahan berlanjut
Dalam bilangan biner	1.0011001110111010...
Dalam heksadesimal	1.33BA004F00621383...

Dalam matematika, konstanta Apéry adalah jumlah dari invers perkalian denagan pangkat kubik positif. Artinya, konstanta Apéry didefinisikan sebagai bilangan

{\begin{aligned}\zeta (3)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{3}}}\right)\end{aligned}}

dengan

ζ

adalah fungsi zeta Riemann. Bilangan ini memiliki nilai yang kira-kira sama dengan^[1]

ζ (3) = 1.20205 6903159594285399738161511449990764986292 \dots

(barisan A002117 pada OEIS).

Konstanta Apéry dinamai dari Roger Apéry. Konstanta ini biasanya ditemukan dalam sejumlah masalah fisik, di antaranya dalam suku orde kedua dan ketiga rasio gyromagnetic elektron dengan menggunakan elektrodinamika kuantum. Konstanta ini juga ditemukan dalam analisis pohon rentang minimum acak,^[2] serta mempunyai hubungan dengan fungsi gamma ketika menyelesaikan integral tertentu yang melibatkan fungsi eksponensial dalam hasil bagi, yang kadangkala ditemukan dalam fisika, sebagai contoh, ketika mengevaluasi kasus dimensi dua dari model Debye dan hukum Stefan–Boltzmann.

Bilangan irasional[sunting | sunting sumber]

Masalah yang belum terpecahkan dalam matematika:

Apakah konstanta Apéry adalah transendental?

(lebih banyak masalah yang belum terpecahkan dalam matematika)

$ζ (3)$ disebut sebagai konstanta Apéry, konstanta yang dinamai dari matematikawan berkebangsaan Prancis, Roger Apéry. Roger Apéry membuktikan bahwa konstanta itu adalah bilangan irasional pada tahun 1978.^[3] Hasil tersebut dikenal sebagai teorema Apéry. Bukti aslinya rumit dan sulit dipahami,^[4] tetapi kemudian ditemukan bukti yang lebih sederhana.^[5]

Bukti irasionalitas Beuker yang disederhanakan melibatkan pendekatan integran dari integral rangkap tiga untuk $\zeta (3)$ ,

\zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-xyz}}\,dx\,dy\,dz,

dengan menggunakan polinomial Legendre. Secara khusus, artikel van der Poorten menulis pendekatan ini dengan menyatakan bahwa

I_{3}:=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {P_{n}(x)P_{n}(y)\log(xy)}{1-xy}}\,dx\,dy=b_{n}\zeta (3)-a_{n},

dengan ${\textstyle |I|\leq \zeta (3)(1-{\sqrt {2}})^{4n}}$ , ${\textstyle P_{n}(z)}$ adalah polinomial Legendre, dan suburutan ${\textstyle b_{n},2\operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,n)\cdot a_{n}\in \mathbb {Z} }$ adalah bilangan bulat atau hampir bilangan bulat. Akan tetapi, masalah yang menanyakan apakah konstanta Apéry adalah transendental masih belum terpecahkan.

Representasi deret[sunting | sunting sumber]

Klasik[sunting | sunting sumber]

Selain mempunyai deret

\zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}},

Leonhard Euler memberikan representasi deret^[6]

\zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left(1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)}}\right)

pada tahun 1772, yang kemudian ditemukan kembali berulang kali.^[7]

Konvergensi cepat[sunting | sunting sumber]

Sejak pada abad ke-19, sejumlah matematikawwan telah menemukan deret percepatan konvergensi untuk menghitung letak desimal $ζ (3)$ . Sejak pada tahun 1990-an, terdapat riset yang bertujuan untuk mencari deret yang efisien secara komputasional dengan tingkat konvergensi yang cepat (lihat bagian "Digit yang diketahui").

Representasi deret berikut ditemukan oleh Andrey Markov pada tahun 1890,^[8] kemudian ditemukan kembali oleh Hjortnaes pada tahun 1953,^[9] dan sekali lagi, representasi deret tersebut ditemukan kembali dan diperkenalkan secara luas oleh Apéry pada tahun 1979:^[3]

\zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {k!^{2}}{(2k)!k^{3}}}.

Representasi deret berikut ditemukan oleh Amdeberhan pada tahun 1996, yang memberikan (secara asimtotik) 1,43 dengan pembulatan letak desimal terbaru per suku:^[10]

\zeta (3)={\frac {1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k-1)!^{3}(56k^{2}-32k+5)}{(2k-1)^{2}(3k)!}}.

Representasi deret berikut ditemukan oleh Amdeberhan dan Zeilberger pada tahun 1997, yang memberikan (secara asimtotik) 3,01 dengan pembulatan letak desimal dengan terbaru per suku:^[11]

\zeta (3)={\frac {1}{64}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {k!^{10}(205k^{2}+250k+77)}{(2k+1)!^{5}}}.

Representasi deret berikut ditemukan oleh Sebastian Wedeniwski pada tahun 1998, yang memberikan (secara asimtotik) 5,04 dengan pembulatan letak desimal yang baru per suku:^[12]

\zeta (3)={\frac {1}{24}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(2k+1)!^{3}(2k)!^{3}k!^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)!(4k+3)!^{3}}}.

Representasi deret ini digunakan oleh Wedeniwski untuk menghitung konstanta Apéry dengan jutaan pembulatan letak desimal.^[13]

Representasi deret berikut ditemukan oleh Mohamud Mohammed pada tahun 2005, yang memberikan (secara asimtotik) 3,92 dengan pembulatan letak desimal desimal terbaru per suku:^[14]

\zeta (3)={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2k)!^{3}(k+1)!^{6}(40885k^{5}+124346k^{4}+150160k^{3}+89888k^{2}+26629k+3116)}{(k+1)^{2}(3k+3)!^{4}}}.

Perhitungan menggunakan digit[sunting | sunting sumber]

Pada tahun 1998, Broadhurst memberikan representasi deret yang memungkinkan menghitung digit biner sembarang, dan untuk konstanta yang akan diperoleh dalam waktu linier dekat, dan ruang logaritma.^[15]

Representasi deret lainnya[sunting | sunting sumber]

Representasi deret berikut ditemukan oleh Ramanujan:^[16]

\zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}.

Representasi deret berikut ditemukan oleh Simon Plouffe pada tahun 1998:^[17]

\zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}.

(Srivastava 2000) mengumpulkan banyak deret yang konvergen menuju ke konstanta Apéry.

Representasi integral[sunting | sunting sumber]

Ada banyak representasi integral untuk konstanta Apéry. Ada representasi integral yang sederhana, adapula yang tidak.

Rumus yang lebih rumit[sunting | sunting sumber]

Terdapat rumus lain, yaitu^[18]

\zeta (3)=\pi \!\!\int _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos(2\arctan {x})}{\left(x^{2}+1\right)\left(\cosh {\frac {1}{2}}\pi x\right)^{2}}}\,dx,

dan^[19]

\zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(xy)}{\,1-xy\,}}\,dx\,dy=-\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(1-xy)}{\,xy\,}}\,dx\,dy.

Rumus yang lebih rumit lainnya juga adalah:^[20]

{\begin{aligned}\zeta (3)&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\!\!\int _{0}^{1}\!{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\log \log {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx\\&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\!\!\int _{1}^{\infty }\!{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\log \log {x}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx.\end{aligned}}

Terdapat sebuah kaitan dengan turunan dari fungsi gamma

\zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}\Gamma '''(1)+{\tfrac {3}{2}}\Gamma '(1)\Gamma ''(1)-{\big (}\Gamma '(1){\big )}^{3}=-{\tfrac {1}{2}}\,\psi ^{(2)}(1),

dan rumus tersebut juga sangat berguna untuk menghitung turunan dari berbagai representasi integral dengan menggunakan rumus integral yang diketahui untuk gamma dan fungsi poligamma.^[21]

Digit yang diketahui[sunting | sunting sumber]

Selama beberapa dekade terakhir, jumlah digit yang diketahui dari konstanta Apéry $ζ (3)$ semakin banyak. Hal ini disebabkan karena peningkatan kinerja komputer dan algoritme yang berkembang.

Jumlah digit desimal yang diketahui dari konstanta Apéry $ζ (3)$
Tanggal	Angka desimal	Perhitungan dilakukan oleh
1735	16	Leonhard Euler
tak diketahui	16	Adrien-Marie Legendre
1887	32	Thomas Joannes Stieltjes
1996	520.000	Greg J. Fee & Simon Plouffe
1997	1.000.000	Bruno Haible & Thomas Papanikolaou
Mei 1997	10.536.006	Patrick Demichel
Februari 1998	14.000.074	Sebastian Wedeniwski
Maret 1998	32.000.213	Sebastian Wedeniwski
Juli 1998	64.000.091	Sebastian Wedeniwski
Desember 1998	128.000.026	Sebastian Wedeniwski^[1]
September 2001	200.001.000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
Februari 2002	600.001.000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
Februari 2003	1.000.000.000	Patrick Demichel & Xavier Gourdon^[22]
April 2006	10.000.000.000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
21 Januari 2009	15.510.000.000	Alexander J. Yee & Raymond Chan^[23]
15 Februari 2009	31.026.000.000	Alexander J. Yee & Raymond Chan^[23]
17 September 2010	100.000.001.000	Alexander J. Yee^[24]
23 September 2013	200.000.001.000	Robert J. Setti^[24]
7 Agustus 2015	250.000.000.000	Ron Watkins^[24]
21 Desember 2015	400.000.000.000	Dipanjan Nag^[25]
13 Agustus 2017	500.000.000.000	Ron Watkins^[24]
26 Mei 2019	1.000.000.000.000	Ian Cutress^[26]
26 Juli 2020	1.200.000.000.100	Seungmin Kim^[27]^[28]

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

^ ^a ^b Wedeniwski (2001).
^ Lihat Frieze 1985.
^ ^a ^b Lihat Apéry 1979.
^ Lihat van der Poorten 1979.
^ (Beukers 1979); (Zudilin 2002).
^ Euler (1773).
^ Srivastava (2000), hlm. 571 (1.11).
^ Lihat Markov 1890.
^ Lihat Hjortnaes 1953.
^ Amdeberhan (1996).
^ Amdeberhan & Zeilberger (1997).
^ Lihat Wedeniwski 1998 dan Wedeniwski 2001. Dalam pesannya kepada Simon Plouffe, Sebastian Wedeniwski mengatakan bahwa ia mendapatkan rumus ini dari Amdeberhan & Zeilberger 1997. Penemuannya pada tahun 1998 disebutkan dalam Simon Plouffe's Table of Records (8 April 2001).
^ (Wedeniwski 1998); (Wedeniwski 2001).
^ Lihat Mohammed 2005.
^ Lihat Broadhurst 1998.
^ Lihat Berndt 1989, bab 14, rumus 25.1 dan 25.3.
^ Lihat Plouffe 1998.
^ Jensen (1895).
^ Beukers (1979).
^ Blagouchine (2014).
^ Evgrafov et al. (1969), exercise 30.10.1.
^ Lihat Gourdon & Sebah 2003.
^ ^a ^b Lihat Yee 2009.
^ ^a ^b ^c ^d Lihat Yee 2017.
^ Lihat Nag 2015.
^ "Records set by y-cruncher". Diakses tanggal June 8, 2019.
^ "Records set by y-cruncher". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2020-08-10. Diakses tanggal 10 Agustus 2020.
^ "Apéry's constant world record by Seungmin Kim". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2020-08-03. Diakses tanggal 28 Juli 2020.

Referensi[sunting | sunting sumber]

Amdeberhan, Tewodros (1996), "Faster and faster convergent series for $\zeta (3)$ ", El. J. Combinat., 3 (1) .
Amdeberhan, Tewodros; Zeilberger, Doron (1997), "Hypergeometric Series Acceleration Via the WZ method", El. J. Combinat., 4 (2), arXiv:math/9804121 , Bibcode:1998math......4121A .
Apéry, Roger (1979), "Irrationalité de $\zeta 2$ et $\zeta 3$ ", Astérisque, 61: 11–13 .
Berndt, Bruce C. (1989), Ramanujan's notebooks, Part II, Springer .
Beukers, F. (1979), "A Note on the Irrationality of $\zeta (2)$ and $\zeta (3)$ ", Bull. London Math. Soc., 11 (3): 268–272, doi:10.1112/blms/11.3.268 .
Blagouchine, Iaroslav V. (2014), "Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results", The Ramanujan Journal, 35 (1): 21–110, doi:10.1007/s11139-013-9528-5 .
Broadhurst, D.J. (1998), Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of $\zeta (3)$ and $\zeta (5)$ , arXiv:math.CA/9803067  .
Euler, Leonhard (1773), "Exercitationes analyticae" (PDF), Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (dalam bahasa Latin), 17: 173–204, diakses tanggal 2008-05-18 .
Evgrafov, M. A.; Bezhanov, K. A.; Sidorov, Y. V.; Fedoriuk, M. V.; Shabunin, M. I. (1969), A Collection of Problems in the Theory of Analytic Functions [in Russian], Moscow: Nauka .
Frieze, A. M. (1985), "On the value of a random minimum spanning tree problem", Discrete Applied Mathematics, 10 (1): 47–56, doi:10.1016/0166-218X(85)90058-7 , MR 0770868 .
Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2003), The Apéry's constant: $\zeta (3)$ .
Hjortnaes, M. M. (August 1953), Overføring av rekken $\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k^{3}}}\right)$ til et bestemt integral, in Proc. 12th Scandinavian Mathematical Congress, Lund, Sweden: Scandinavian Mathematical Society, hlm. 211–213 .
Jensen, Johan Ludwig William Valdemar (1895), "Note numéro 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses du MM. Franel et Kluyver", L'Intermédiaire des Mathématiciens, II: 346–347 .
Markov, A. A. (1890), "Mémoire sur la transformation des séries peu convergentes en séries très convergentes", Mém. De l'Acad. Imp. Sci. De St. Pétersbourg, t. XXXVII, No. 9: 18pp .
Mohammed, Mohamud (2005), "Infinite families of accelerated series for some classical constants by the Markov-WZ method", Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, 7: 11–24, doi:10.46298/dmtcs.342 .
Mollin, Richard A. (2009), Advanced Number Theory with Applications, Discrete Mathematics and Its Applications, CRC Press, hlm. 220, ISBN 9781420083293 .
Plouffe, Simon (1998), Identities inspired from Ramanujan Notebooks II .
Rivoal, Tanguy (2000), "La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 331 (4): 267–270, arXiv:math/0008051 , Bibcode:2000CRASM.331..267R, doi:10.1016/S0764-4442(00)01624-4 .
Srivastava, H. M. (December 2000), "Some Families of Rapidly Convergent Series Representations for the Zeta Functions" (PDF), Taiwanese Journal of Mathematics, 4 (4): 569–599, doi:10.11650/twjm/1500407293 , OCLC 36978119, diakses tanggal 2015-08-22 .
van der Poorten, Alfred (1979), "A proof that Euler missed ... Apéry's proof of the irrationality of $\zeta (3)$ " (PDF), The Mathematical Intelligencer, 1 (4): 195–203, doi:10.1007/BF03028234, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2011-07-06 .
Wedeniwski, Sebastian (2001), Simon Plouffe, ed., The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places, Project Gutenberg (Message to Simon Plouffe, with all decimal places but a shorter text edited by Simon Plouffe).
Wedeniwski, Sebastian (13 December 1998), The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places (Message to Simon Plouffe, with original text but only some decimal places).
Yee, Alexander J. (2009), Large Computations .
Yee, Alexander J. (2017), Zeta(3) - Apéry's Constant

Nag, Dipanjan (2015), Calculated Apéry's constant to 400,000,000,000 Digit, A world record
Zudilin, Wadim (2001), "One of the numbers $\zeta (5)$ , $\zeta (7)$ , $\zeta (9)$ , $\zeta (11)$ is irrational", Russ. Math. Surv., 56 (4): 774–776, Bibcode:2001RuMaS..56..774Z, doi:10.1070/RM2001v056n04ABEH000427 .
Zudilin, Wadim (2002), An elementary proof of Apéry's theorem, arXiv:math/0202159 , Bibcode:2002math......2159Z .

Kredit[sunting | sunting sumber]

Templat:PlanetMath attribution

[FOOTNOTEWedeniwski2001-1] Wedeniwski (2001).

[2] Lihat Frieze 1985.

[Apery-1979-3] Lihat Apéry 1979.

[4] Lihat van der Poorten 1979.

[5] (Beukers 1979); (Zudilin 2002).

[FOOTNOTEEuler1773-6] Euler (1773).

[FOOTNOTESrivastava2000hlm._571_(1.11)-7] Srivastava (2000), hlm. 571 (1.11).

[8] Lihat Markov 1890.

[9] Lihat Hjortnaes 1953.

[FOOTNOTEAmdeberhan1996-10] Amdeberhan (1996).

[FOOTNOTEAmdeberhanZeilberger1997-11] Amdeberhan & Zeilberger (1997).

[12] Lihat Wedeniwski 1998 dan Wedeniwski 2001. Dalam pesannya kepada Simon Plouffe, Sebastian Wedeniwski mengatakan bahwa ia mendapatkan rumus ini dari Amdeberhan & Zeilberger 1997. Penemuannya pada tahun 1998 disebutkan dalam Simon Plouffe's Table of Records (8 April 2001).

[13] (Wedeniwski 1998); (Wedeniwski 2001).

[14] Lihat Mohammed 2005.

[15] Lihat Broadhurst 1998.

[16] Lihat Berndt 1989, bab 14, rumus 25.1 dan 25.3.

[17] Lihat Plouffe 1998.

[FOOTNOTEJensen1895-18] Jensen (1895).

[FOOTNOTEBeukers1979-19] Beukers (1979).

[FOOTNOTEBlagouchine2014-20] Blagouchine (2014).

[FOOTNOTEEvgrafovBezhanovSidorovFedoriuk1969exercise_30.10.1-21] Evgrafov et al. (1969), exercise 30.10.1.

[22] Lihat Gourdon & Sebah 2003.

[Yee-2009-23] Lihat Yee 2009.

[Yee-2017-24] Lihat Yee 2017.

[Nag-2015-25] Lihat Nag 2015.

[26] "Records set by y-cruncher". Diakses tanggal June 8, 2019.

[27] "Records set by y-cruncher". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2020-08-10. Diakses tanggal 10 Agustus 2020.

[28] "Apéry's constant world record by Seungmin Kim". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2020-08-03. Diakses tanggal 28 Juli 2020.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

l b s Bilangan irasional
Berdasarkan huruf Latin	$B$ (Backhouse) $B_{2}$ (Konstanta Brun) $b$ (Sudut emas) $C$ (Catalan – Niven – Porter) $C_{10}$ (Champernowne basis 10) $C_{\text{Artin}}$ (Artin) $C_{\text{GS}}$ (Konstanta Gelfond–Schneider) $C_{\text{MRB}}$ (MRB) $C_{\text{Vi}}$ (Viswanath) ${\mathcal {C}}_{\text{CE}}$ (Copeland–Erdős) ${\mathcal {C}}_{\text{FR}}$ (Feller–Tornier) $D$ $d$ (Dottie) $E$ (Erdős–Borwein) $e$ (Euler) $e^{\beta }$ (Khinchin-Lévy) $e^{\pi }$ (Gelfond $F$ (Fransén–Robinson) $F_{\alpha }$ (Foias) $F_{\beta }$ (Foias) $G$ (Euler–Gompertz – Gauss) $I$ $I_{1}$ (Mimpi Sophomore) $I_{2}$ (Mimpi Sophomore) $K$ (Landau–Ramanujan – Sierpiński) $L$ (Bloch–Landau) $P$ $P_{2}$ (Konstanta parabola semesta) $q$ (Komornik–Loreti) $R$ (Hermite–Ramanujan)
Berdasarkan huruf Yunani	$\alpha$ (Feigenbaum) $\beta$ (Khinchin-Lévy) $\beta _{3}$ (Baker) $\gamma$ (Euler–Mascheroni) $\gamma _{2}$ (Hermite) $\theta$ (Mills) $\theta _{m}$ (Sudut ajaib) $\lambda$ (Conway – Limit Laplace – Golomb–Dickman) $\lambda _{\text{Ch}}$ (Chebyshev) $\mu$ (Ramanujan–Soldner) $\xi$ $\xi _{2}$ (Cahen) $\pi$ (Archimedes) ${\frac {1}{12}}\pi$ (van der Pauw) $\pi \ln \beta$ (Gieseking $\varpi$ (Konstanta lemniskat) $\rho$ (Kepler–Bouwkamp – Prima – Siegel) $\sigma$ (Hafner–Sarnak–McCurley) $\varphi$ (emas) $\psi$ (superemas) $\Omega$ (Chaitin – Omega)
Berdasarkan fungsi	$\Delta (3)$ (Konstanta Robinson) $\zeta '(0)$ (Raabe) $\zeta (2)$ (Masalah Basel) ${\frac {1}{2}}\zeta (2)$ (Nielsen–Ramanujan) ${\frac {3}{4}}\zeta (2)$ (Favard) $\zeta (3)$ (Apéry)
Berdasarkan akar kuadrat (2)	2 3 5 6 7 8 10 $\dots$
Berdasarkan akar kubik (3)	2
Berdasarkan logaritma	$\ln$ (2)
Berdasarkan simbol lain	${\text{£}}_{\text{Li}}$ (Liouville) ${\text{£}}_{\text{Li}}$ (Lochs)