Metode koefisien tak tentu

Dalam matematika, metode koefisien tak tentu adalah suatu pendekatan untuk mencari solusi khusus dari suatu persamaan diferensial biasa nonhomogen dan relasi perulangan nonhomogen.

Metode koefisien tak tentu tidak seumum metode variasi parameter, sebab metode ini hanya berlaku untuk persamaan diferensial yang memiliki bentuk tertentu. Untuk persamaan yang kompleks, pencarian solusi menggunakan metode variasi parameter akan memakan waktu yang lebih sedikit.

Deskripsi Metode

Perhatikan persamaan diferensial biasa linear nonhomogen dengan bentuk umum sebagai berikut

$$c_{n}\,y^{(n)}+c_{n-1}\,y^{(n-1)}+\,\ldots \,+c_{2}\,y''+c_{1}\,y'+c_{0}\,y=F(x)$$

dimana

• $y^{(i)}$ menyatakan turunan ke-$i$ dari $y$
• $c_{i}$ adalah suatu konstanta
• $c_{n}\neq 0$

Metode koefisien tak tentu menyediakan cara untuk memperoleh solusi dari PDB ini apabila fungsi $F(x)$ merupakan:

1. fungsi polinomial
2. fungsi eksponensial (dengan bentuk umum $e^{mx}$)
3. fungsi sinus dan kosinus (dengan bentuk umum $\sin(\omega x)$ atau $\cos(\omega x)$)
4. hasil perkalian dan penjumlahan berhingga dari (1), (2), dan (3) (misalnya $e^{x}+x^{3}\,\cos(2x)$)

untuk suatu konstanta $m$ dan $\omega$

Misalkan $y=g(x)$ adalah solusi persamaan diferensial linear yang ruas kanannya adalah $G(x)$, dan misalkan $y=h(x)$ adalah solusi persamaan diferensial linear yang ruas kanannya adalah $H(x)$. Secara matematis, maka

• $$c_{n}\,{\dfrac {{\text{d}}^{n}g}{{\text{d}}x^{n}}}+c_{n-1}\,{\dfrac {{\text{d}}^{n-1}g}{{\text{d}}x^{n-1}}}+\,\ldots \,+c_{2}\,{\dfrac {{\text{d}}^{2}g}{{\text{d}}x^{2}}}+c_{1}\,{\dfrac {{\text{d}}g}{{\text{d}}x}}+c_{0}\,g=G(x)$$
• $$c_{n}\,{\dfrac {{\text{d}}^{n}h}{{\text{d}}x^{n}}}+c_{n-1}\,{\dfrac {{\text{d}}^{n-1}h}{{\text{d}}x^{n-1}}}+\,\ldots \,+c_{2}\,{\dfrac {{\text{d}}^{2}h}{{\text{d}}x^{2}}}+c_{1}\,{\dfrac {{\text{d}}h}{{\text{d}}x}}+c_{0}\,h=H(x)$$

Oleh karena operator diferensial bersifat linier, maka dengan menggunakan asas superposisi, didapatkan

$${\begin{array}{cccccccccccclr}c_{n}\,{\dfrac {{\text{d}}^{n}g}{{\text{d}}x^{n}}}&+&c_{n-1}\,{\dfrac {{\text{d}}^{n-1}g}{{\text{d}}x^{n-1}}}&+&\ldots &+&c_{2}\,{\dfrac {{\text{d}}^{2}g}{{\text{d}}x^{2}}}&+&c_{1}\,{\dfrac {{\text{d}}g}{{\text{d}}x}}&+&c_{0}\,g&=&G(x)&\\c_{n}\,{\dfrac {{\text{d}}^{n}h}{{\text{d}}x^{n}}}&+&c_{n-1}\,{\dfrac {{\text{d}}^{n-1}h}{{\text{d}}x^{n-1}}}&+&\ldots &+&c_{2}\,{\dfrac {{\text{d}}^{2}h}{{\text{d}}x^{2}}}&+&c_{1}\,{\dfrac {{\text{d}}h}{{\text{d}}x}}&+&c_{0}\,h&=&H(x)&+\\\hline c_{n}\,{\dfrac {{\text{d}}^{n}(g+h)}{{\text{d}}x^{n}}}&+&c_{n-1}\,{\dfrac {{\text{d}}^{n-1}(g+h)}{{\text{d}}x^{n-1}}}&+&\ldots &+&c_{2}\,{\dfrac {{\text{d}}^{2}(g+h)}{{\text{d}}x^{2}}}&+&c_{1}\,{\dfrac {{\text{d}}(g+h)}{{\text{d}}x}}&+&c_{0}\,(g+h)&=&G(x)+H(x)&\\\end{array}}$$

Dengan kata lain, jika fungsi $F(x)$ di ruas kanan dapat dinyatakan sebagai $G(x)+H(x)$, maka solusi akhirnya adalah jumlahan dari masing-masing solusi, yaitu $y=g(x)+h(x)$. Jika $G(x)=0$ (yang mengakibatkan $H(x)=F(x)$), maka fungsi $g(x)$ disebut sebagai solusi umum, dan $h(x)$ disebut sebagai solusi khusus.

Metode ini secara umum terdiri dari dua bagian, yaitu:

1. Pencarian solusi umum, yaitu suatu fungsi $y_{u}$ sedemikian sehingga fungsi tersebut memenuhi
   $$c_{n}\,y^{(n)}+c_{n-1}\,y^{(n-1)}+\,\ldots \,+c_{2}\,y''+c_{1}\,y'+c_{0}\,y=0$$
   Dengan kata lain, persamaan diferensialnya dipandang sebagai persamaan diferensial homogen terlebih dahulu.
2. Pencarian solusi khusus, yaitu suatu fungsi $y_{k}$ sedemikian sehingga fungsi tersebut memenuhi
   $$c_{n}\,y^{(n)}+c_{n-1}\,y^{(n-1)}+\,\ldots \,+c_{2}\,y''+c_{1}\,y'+c_{0}\,y=g(x)$$

Setelah diperoleh $y_{u}$ dan $y_{k}$, maka solusi akhir dari persamaan diferensialnya ialah

$y=y_{u}+y_{k}$

Bentuk umum beserta solusinya

Untuk mendapatkan solusi persamaan diferensialnya, maka terlebih dahulu harus 'ditebak' bentuk umumnya, yang nantinya beberapa koefisien yang ada akan menjadi variabel, yang kemudian akan dicari nilainya. Berikut adalah beberapa jenis fungsi beserta bentuk umum solusinya.

Bentuk umum $F(x)$	Bentuk umum dari $y$
$ke^{mx}$	$ce^{mx}$
$kx^{n}\qquad n=0,\,1,\,2,\,\ldots$	$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\,\ldots \,+a_{n}x^{n}$
$k\cos(\omega x)$	$\lambda _{1}\cos(\omega x)+\lambda _{2}\sin(\omega x)$
$k\sin(\omega x)$
$ke^{mx}\cos(\omega x)$	$\lambda _{1}e^{mx}\cos(\omega x)+\lambda _{2}e^{mx}\sin(\omega x)$
$ke^{mx}\sin(\omega x)$
$(k_{0}+k_{1}x+k_{2}x^{2}+\,\ldots \,+k_{n}x^{n})\,\sin(\omega x)$	$(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\,\ldots \,+a_{n}x^{n})\,\cos(\omega x)$ $+\,(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\,\ldots \,+b_{n}x^{n})\,\sin(\omega x)$
$(k_{0}+k_{1}x+k_{2}x^{2}+\,\ldots \,+k_{n}x^{n})\,\cos(\omega x)$
$(k_{0}+k_{1}x+k_{2}x^{2}+\,\ldots \,+k_{n}x^{n})\,e^{mx}$	$(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\,\ldots \,+a_{n}x^{n})\,e^{mx}$
$(k_{0}+k_{1}x+k_{2}x^{2}+\,\ldots \,+k_{n}x^{n})e^{mx}\cos(\omega x)$	$(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\,\ldots \,+a_{n}x^{n})e^{mx}\cos(\omega x)$ $+\,(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\,\ldots \,+b_{n}x^{n})e^{mx}\sin(\omega x)$
$(k_{0}+k_{1}x+k_{2}x^{2}+\,\ldots \,+k_{n}x^{n})e^{mx}\sin(\omega x)$

Jika salah satu suku pada bentuk umum dari $y$ muncul pada solusi homogen, maka bentuk umumnya harus dikalikan dengan perpangkatan $x$ yang cukup besar agar solusinya menjadi bebas linier.

Contoh pengerjaan

Contoh 1

Untuk mencari solusi dari persamaan diferensial

${\dfrac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}+y=t^{3}$

maka perhatikan bahwa $t^{3}$ adalah fungsi polinomial berderajat 3, sehingga solusi khususnya juga merupakan fungsi polinomial berderajat 3, dengan bentuk umum

$y_{k}=at^{3}+bt^{2}+ct+d$

yang mengakibatkan

${\dfrac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}=3at^{2}+2bt+c$

Substitusikan hasil di atas pada persamaan diferensial di awal, maka didapatkan

$${\begin{aligned}{\dfrac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}+y&=t^{3}\\\left(3at^{2}+2bt+c\right)+\left(at^{3}+bt^{2}+ct+d\right)&=(1)t^{3}+(0)t^{2}+(0)t+0\\(a)t^{3}+(3a+b)t^{2}+(2b+c)t+(c+d)&=(1)t^{3}+(0)t^{2}+(0)t+0\\\end{aligned}}$$

sehingga diperoleh sistem persamaan

$${\begin{array}{rcrcrcrcl}a&&&&&&&=&1\\3a&+&b&&&&&=&0\\&&2b&+&c&&&=&0\\&&&&c&+&d&=&0\end{array}}$$

yang solusinya ialah ${\begin{bmatrix}a\\b\\c\\d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\-3\\6\\-6\end{bmatrix}}$. Sehingga, didapatkan

$y_{k}=t^{3}-3t^{2}+6t-6$

Oleh karena solusi umum dari persamaan diferensial

${\dfrac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}+y=0$

adalah $y_{u}=ke^{-t}$, untuk sembarang konstanta $k$, maka solusi akhir dari persamaan diferensial

${\dfrac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}+y=t^{3}$

adalah $y=ke^{-t}+t^{3}-3t^{2}+6t-6$

Contoh 2

Perhatikan persamaan diferensial linier nonhomogen berikut:

$y''+4y=\cos(t)$

Oleh karena bagian nonhomogen dari persamaan di atas adalah $\cos(t)$, maka solusi khususnya akan memiliki bentuk umum

$y_{k}=a\cos(t)+b\sin(t)$

Substitusikan bentuk di atas ke persamaan diferensial di awal, maka didapatkan

${\begin{aligned}y''+4y&=\cos(t)\\\left(-a\cos(t)-b\sin(t)\right)+4\left(a\cos(t)+b\sin(t)\right)&=\cos(t)\\3a\cos(t)+3b\sin(t)&=(1)\cos(t)+(0)\sin(t)\end{aligned}}$

Dengan membandingkan koefisien pada kedua ruas, maka diperoleh

${\begin{aligned}3a&=1\\a&={\tfrac {1}{3}}\\\\3b&=0\\b&=0\end{aligned}}$

Sehingga, solusi khusus dari persamaan diferensial tersebut adalah

$y_{k}={\frac {1}{3}}\cos(t)$

Dengan menggunakan informasi bahwa $y_{u}=p\cos(2t)+q\sin(2t)$ adalah solusi dari persamaan diferensial linier homogen

$y''+4y=0$

untuk sembarang konstanta $p$ dan $q$, maka solusi akhir dari persamaan diferensialnya ialah

$y=p\cos(2t)+q\sin(2t)+{\frac {1}{3}}\cos(t)$

Contoh 3

Untuk mencari solusi dari persamaan diferensial linier nonhomogen

${\dfrac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}-5y=6e^{5x}$

maka perhatikan bahwa $y=ce^{5x}$ adalah solusi umum dari persamaan diferensial linier homogen

${\dfrac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}-5y=0$

untuk sembarang konstanta $c$. Akan tetapi, fungsi $e^{5x}$ juga muncul pada bagian nonhomogen dari persamaan diferensial yang diberikan (bagian ruas kanan), yang membuat solusi umumnya tidak bebas linier dengan bentuk umum solusi khususnya (yaitu $y=\lambda e^{5x}$). Alhasil, bentuk umum dari solusi khususnya harus dikalikan dengan perpangkatan $x$ yang cukup besar agar solusinya menjadi bebas linier. Dalam kasus ini, bentuk umum solusi khususnya menjadi

$y_{k}=\lambda xe^{5x}$

Apabila fungsi tersebut (beserta turunannya) disubstitusikan ke persamaan diferensial yang diberikan, maka nilai $\lambda$ dapat diperoleh sebagai berikut

$${\begin{aligned}{\dfrac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}-5y&=6e^{5x}\\\left(\lambda e^{5x}+5\lambda xe^{5x}\right)-5\left(\lambda xe^{5x}\right)&=6e^{5x}\\\lambda e^{5x}&=6e^{5x}\\\lambda &=6\end{aligned}}$$

Maka dari itu, solusi akhir dari persamaan diferensialnya ialah

$y=ce^{5x}+6xe^{5x}$

Bacaan lanjutan

• Boyce, W. E.; DiPrima, R. C. (1986). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems [Persamaan Diferensial Elementer dan Masalah Nilai Batas] (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-4th). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-83824-1. 
• Riley, K. F.; Bence, S. J. (2010). Mathematical Methods for Physics and Engineering [Metode Matematis untuk Fisika dan Teknik] (dalam bahasa Inggris). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3. 
• Tenenbaum, Morris; Pollard, Harry (1985). Ordinary Differential Equations [Persamaan Diferensial Biasa] (dalam bahasa Inggris). Dover. ISBN 978-0-486-64940-5. 
• de Oliveira, O. R. B. (2013). "A formula substituting the undetermined coefficients and the annihilator methods". Int. J. Math. Educ. Sci. Technol (dalam bahasa Inggris). 44 (3): 462–468. arXiv:1110.4425 . Bibcode:2013IJMES..44..462R. doi:10.1080/0020739X.2012.714496.