Persamaan diferensial homogen

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Persamaan diferensial homogen dapat memiliki dua artian.

Persamaan diferensial orde pertama yang homogen[sunting | sunting sumber]

Persamaan diferensial biasa orde pertama dalam bentuk:

dapat dianggap homogen jika fungsi M(x, y) dan N(x, y) adalah fungsi homogen dengan tingkat yang sama, n.[1] Dalam kata lain, jika setiap variabel dikalikan dengan parameter  , dapat diperoleh

    and    

sehingga:

Solusi[sunting | sunting sumber]

Dalam hasil bagi   , jika diasumsikan     untuk menyederhanakan hasil bagi ini menjadi fungsi dengan satu variabel :

Kemudian dilakukan perubahan variabel ; lalu diturunkan dengan aturan produk:

sehingga mengubah persamaan diferensial ini menjadi bentuk yang dapat dipisahkan

Persamaan ini kini dapat diintegralkan secara langsung.

Kasus khusus[sunting | sunting sumber]

Persamaan diferensial tingkat persama dalam bentuk berikut: (a, b, c, e, f, g semuanya konstanta)

dengan afbe dapat diubah menjadi persamaan homogen lewat transformasi linear kedua variabel ( dan adalah konstanta):

Persamaan diferensial linear homogen[sunting | sunting sumber]

Persamaan diferensial linear dapat dikatakan homogen jika memenuhi kondisi berikut:

L adalah operator diferensial dan y adalah fungsi yang tidak diketahui.

Contoh[sunting | sunting sumber]

adalah persamaan diferensial linear homogen orde kedua.

adalah persamaan diferensial linear homogen orde pertama

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Ince 1956, hlm. 18
  • Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012), Elementary differential equations and boundary value problems (edisi ke-10th), Wiley, ISBN 978-0470458310 . (This is a good introductory reference on differential equations.)
  • Ince, E. L. (1956), Ordinary differential equations, New York: Dover Publications, ISBN 0486603490 . (This is a classic reference on ODEs, first published in 1926.)