Grup-P

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Dalam matematika, khususnya teori grup, pada bilangan prima p, a grup-p adalah grup di mana urutan dari setiap elemen adalah daya dari p . Artinya, untuk setiap elemen g dari grup- p G , terdapat bilangan bulat nonnegatif n sehingga produk dari pn salinan g , dan tidak lebih sedikit, sama dengan elemen identitas. Urutan elemen yang berbeda mungkin kekuatan yang berbeda dari p .

Abelian p - grup juga disebut primer-p atau hanya primer.

Sebuah grup terbatas adalah grup p jika dan hanya jika urutan (jumlah elemennya) adalah pangkat dari p . Diberikan grup terbatas G , Teorema Sylow menjamin keberadaan subgrup dari G dengan urutan p n untuk setiap prime power p n yang membagi urutan '

Sisa artikel ini membahas grup p terbatas. Untuk contoh grup abelian p tak hingga, lihat Grup Prüfer, dan untuk contoh grup sederhana p tak terbatas, lihat Grup monster Tarski.

Sifat[sunting | sunting sumber]

Setiap grup- p adalah periodik karena menurut definisi setiap elemen memiliki urutan hingga.

Jika p adalah bilangan prima dan G adalah segrup urutan pk, kemudian G memiliki subgrup biasa pm untuk setiap 1 ≤ mk. Ini diikuti oleh induksi, menggunakan Teorema Cauchy dan Teorema Korespondensi untuk grup. Sketsa buktinya adalah sebagai berikut: karena pusat Z dari G adalah non-trivial (lihat di bawah), menurut Teorema Cauchy Z memiliki subgrup H dari urutan p . Menjadi pusat di G , H selalu normal di G . Sekarang kita dapat menerapkan hipotesis induktif ke G/H , dan hasilnya mengikuti Teorema Korespondensi.

Pusat non-trivial[sunting | sunting sumber]

Salah satu hasil standar pertama yang menggunakan persamaan kelas adalah bahwa pusat grup p berhingga non-trivial, tidak boleh menjadi subgrup trivial.[1]

This forms the basis for many inductive methods in p-groups.

Misalnya, normalizer N dari subgrup yang tepat H dari p terbatas, grup G dengan benar berisi H , karena untuk contoh counter dengan H = N, pusat Z ada di N , dan begitu juga di H , tapi kemudian ada contoh yang lebih kecil H/Z yang normalnya masuk G/Z adalah N/Z = H/Z, menciptakan keturunan yang tak terbatas. Sebagai akibatnya, setiap grup p yang terbatas adalah nilpoten.

Di arah lain, setiap subgrup normal dari p terbatas - kelompok memotong pusat secara non-sepele seperti yang dapat dibuktikan dengan mempertimbangkan elemen N yang diperbaiki ketika G bekerja pada N melalui konjugasi. Karena setiap subgrup pusat normal, Oleh karena itu, setiap subkelompok normal minimal dari grup p terbatas adalah pusat dan memiliki urutan p . Memang, socle dari grup p berhingga adalah subkelompok dari pusat yang terdiri dari elemen pusat urutan p .

Jika G adalah grup p -, maka G/Z, dan karena itu juga memiliki pusat non-trivial. Preimage dalam G dari pusat G / Z disebut pusat kedua dan grup ini memulai pusat atas. Menggeneralisasi komentar sebelumnya tentang socle, sebuah p yang terbatas, grup dengan urutan p n berisi subgrup normal dari order p i dengan 0 ≤ in, dan subgrup normal manapun pi terkandung di pusat i Zi. Jika subgrup normal tidak terdapat di Zi, lalu perpotongannya dengan Zi+1 memiliki ukuran setidaknya pi+1.

Automorfisme[sunting | sunting sumber]

Grup automorfisme grup p dipelajari dengan baik. Sama seperti setiap grup p yang terbatas memiliki pusat non-trivial sehingga grup automorfisme dalam adalah hasil bagi grup yang tepat, setiap grup p terbatas memiliki non-trivial grup automorfisme luar. Setiap automorfisme dari G menginduksi automorfisme G/Φ(G), dimana Φ(G) adalah subgrup Frattini dari G . Hasil bagi G/Φ(G) adalah grup abelian dasar dan grup automorfisme adalah grup linear umum, jadi sangat dipahami. Peta dari kelompok automorfisme G ke dalam kelompok linier umum ini telah dipelajari oleh Burnside, yang menunjukkan bahwa kernel dari peta ini adalah grup p .

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

Catatan buku