Grup hasil bagi

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian
Sebuah kohimpunan dengan akar uniti

Grup hasil bagi adalah grup, yang menggunakan konstruksi standar dari grup tertentu dengan bantuan sebagai pembagi normal terbentuk. Maka dilambangkan dengan dan merupakan himpunan dari kelas minor.

Konstruksi[sunting | sunting sumber]

Elemen-elemen dari adalah kelas minor sehubungan dengan , maka

.

Koneksi batin didefinisikan sebagai:

.

Dengan bantuan properti pembagi normal seseorang dapat menunjukkan bahwa tautan ini adalah terdefinisi dengan baik dan adalah grup. Grup ini disebut grup hasil bagi dari hingga . Elemen netral dari adalah dan elemen terbalik ke diberikan .

Produk setuju dengan produk kompleks pertandingan. Sebaliknya, seseorang dapat menunjukkan bahwa subgrup dari sebuah grup adalah pembagi normal, jika untuk semua persamaan .

Dalam grup abelian setiap subgrup adalah subgrup normal. Jadi, setelah setiap subgrup, dapat dibentuk kelompok faktor di sana, yang selanjutnya adalah Abelian.

urutan dari grup faktor tepatnya adalah jumlah kelas sekunder dari . Angka ini disebut Indeks oleh pada dan dengan ditunjuk. Jika adalah grup berhingga, maka berdasarkan Teorema Lagrange .

Bilangan bulat genap dan ganjil[sunting | sunting sumber]

Pertimbangkan grup bilangan bulat Z (di bawah tambahan) dan subgrup 2Z yang terdiri dari semua integer genap. Ini adalah subgrup normal, karena Z adalah abelian. Hanya ada dua koset: himpunan bilangan bulat genap dan himpunan bilangan bulat ganjil, dan oleh karena itu grup hasil bagi Z/2Z adalah grup siklik dengan dua elemen. Kelompok hasil bagi ini isomorfik dengan himpunan {0,1} dengan tambahan modulo 2; secara informal, kadang-kadang dikatakan demikian Z/2Z memadai himpunan {0,1} dengan tambahan modulo 2.

Contoh dijelaskan lebih lanjut...

Maka sisa dari saat membagi dengan .
Kemudian jika adalah genap dan when adalah ganjil.
Menurut definisi , inti dari ,
ker() , adalah himpunan dari semua bilangan bulat genap.
Maka ker().
Kemudian adalah subgrup, karena identitasnya di , which is , dalam ,
jumlah dari dua integer genap adalah genap dan karenanya jika dan berada di , dalam (penutupan)
dan jika genap, juga genap dan berisi inversnya.
Menetapkan / H sebagai ke
dan / H adalah grup hasil bagi dari koset kiri; / H.
Dengan cara yang telah kami tentukan , adalah jika ganjil dan jika genap.
Jadi, adalah isomorfisme dari / H ke .

Quotients dari grup Lie[sunting | sunting sumber]

Jika adalah grup lie dan adalah subgrup Lie normal , hasil bagi / juga merupakan grup Lie. Dalam kasus ini, grup asli memiliki struktur sebuah fiber bundle (khususnya, sebuah utama -bundel), dengan ruang dasar / dan serat .

Untuk subgruo Lie non-normal , ruang / dari coset kiri bukanlah sebuah grup, tetapi hanya sebuah lipatan yang dapat dibedakan di mana bertindak. Hasilnya dikenal sebagai ruang homogen.

Jika subgrup ditutup (dalam arti topologi daripada aljabar kata tersebut), kemudian dimensi kelompok Lie atau ruang homogen / banding .[1]

Sifat universal dari grup hasil bagi[sunting | sunting sumber]

Jika adalah pembagi normal dari , maka pemetaannya adalah dengan dengan kernel a epimorphism, jadi subjektif homomorfisme. Sifat universal sekarang mengatakan, bahwa untuk setiap homomorfisme grup mit persis satu grup homomorfisme mit existiert.

Contoh: jika proyeksi natural dari bilangan bulat ke kelas sisa modulo 6. Maka Homomorfisme grup. Lalu grup lie pada inti dan menghasilkan:

.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Second Edition, theorem 21.17

Referensi[sunting | sunting sumber]