Geometri afin

Dalam geometri affine, seseorang menggunakan aksioma Playfair untuk menemukan garis melalui C1 dan sejajar dengan B1B2, dan untuk menemukan garis melalui B2 dan sejajar dengan B1C1: persimpangan C2 mereka adalah hasil dari terjemahan yang ditunjukkan.

Dalam matematika, Geometri afin (Inggris: affine geometry) adalah sisa-sisa geometri Euklides saat tidak digunakan (matematikawan sering mengatakan "affine") pengertian metrik tentang jarak dan sudut.

Karena pengertian garis sejajar adalah salah satu properti utama yang tidak bergantung pada metrik apa pun, geometri affine sering dianggap sebagai studi tentang garis sejajar. Oleh karena itu, aksioma Playfair ( diberi garis L dan titik P bukan di L, ada tepat satu garis sejajar L yang melewati P ) adalah fundamental dalam geometri affine. Perbandingan gambar pada geometri affine dilakukan dengan transformasi affine, yaitu pemetaan yang menjaga kesejajaran titik dan paralelisme garis.

Geometri Affine dapat dikembangkan dengan dua cara yang pada dasarnya ekuivalen.

Dalam geometri sintetik, ruang affine adalah himpunan titik yang dikaitkan dengan sekumpulan garis, yang memenuhi beberapa aksioma (seperti aksioma Playfair).

Geometri affine juga dapat dikembangkan atas dasar aljabar linear. Dalam konteks ini sebuah ruang affine adalah sekumpulan poin yang dilengkapi dengan satu set transformasi (yaitu pemetaan bijective), terjemahan, yang membentuk ruang vektor (di atas bidang tertentu, biasanya bilangan riil), dan sedemikian rupa sehingga untuk pasangan poin terurut tertentu ada terjemahan unik yang mengirimkan poin pertama ke poin kedua; komposisi dari dua terjemahan adalah jumlah mereka dalam ruang vektor terjemahan.

Dalam istilah yang lebih konkret, ini berarti memiliki operasi yang mengaitkan ke pasangan titik terurut apa pun vektor dan operasi lain yang memungkinkan terjemahan titik oleh vektor untuk memberikan yang lain; operasi ini diperlukan untuk memenuhi sejumlah aksioma (terutama bahwa dua terjemahan yang berurutan memiliki efek terjemahan oleh vektor penjumlahan). Dengan memilih titik mana pun sebagai "asal", titik-titik tersebut berada dalam korespondensi satu-ke-satu dengan vektor, tetapi tidak ada pilihan yang lebih disukai untuk titik asal; dengan demikian ruang affine dapat dilihat sebagai diperoleh dari ruang vektor terkait dengan "melupakan" asalnya (vektor nol).

Meskipun artikel ini hanya membahas ruang affine, pengertian "melupakan metrik" jauh lebih umum, dan dapat diterapkan ke sembarang manifold, secara umum. Perluasan pengertian ruang affine ke lipatan pada umumnya dikembangkan dalam artikel di hubungan affine.

Sejarah

Pada tahun 1748, Leonhard Euler memperkenalkan istilah affine (Latin affinis, "terkait") dalam bukunya Introductio in analysin infinitorum (volume 2, chapter XVIII). Pada tahun 1827, August Möbius menulis tentang geometri affine dalam Der barycentrische Calcul (bab 3).

Setelah Felix Klein program Erlangen, geometri affine diakui sebagai generalisasi dari geometri Euklides.

Pada tahun 1912, Edwin B. Wilson dan Gilbert N. Lewis mengembangkan geometri affine untuk mengekspresikan teori relativitas khusus.

Pada tahun 1918, Hermann Weyl merujuk pada geometri affine untuk teksnya Space, Time, Matter . Dia menggunakan geometri affine untuk memperkenalkan penjumlahan dan pengurangan vektor pada tahap paling awal perkembangannya fisika matematika. Nanti, E. T. Whittaker menulis:

Geometri Weyl secara historis menarik karena merupakan geometri affine pertama yang dikerjakan secara mendetail: geometri ini didasarkan pada tipe khusus transpor paralel [...menggunakan] worldline sinyal cahaya dalam ruang-waktu empat dimensi. Sebuah elemen pendek dari salah satu garis dunia ini dapat disebut sebagai null-vector ; maka transpor paralel yang dimaksud adalah sedemikian rupa sehingga membawa vektor nol pada satu titik ke posisi vektor nol pada titik yang berdekatan.

Pada tahun 1984, "bidang affine terkait dengan ruang vektor Lorentzian L²" dijelaskan oleh Graciela Birman dan Katsumi Nomizu dalam artikel berjudul "Trigonometri dalam geometri Lorentzian".

Sistem aksioma

Beberapa pendekatan aksiomatik untuk geometri affine telah dikemukakan:

Hukum Pappus

Hukum pappus: jika garis merah sejajar dan garis biru sejajar, maka garis hitam putus-putus harus sejajar.

Karena geometri affine berhubungan dengan garis-garis paralel, salah satu properti paralel yang dicatat oleh Pappus of Alexandria telah diambil sebagai premis:

• Bial $A,B,C$ berada di satu baris dan $A',B',C'$ di tempat lain, lalu

$(AB'\parallel A'B\ \land \ BC'\parallel B'C)\Rightarrow CA'\parallel C'A.$

Sistem aksioma lengkap yang diusulkan memiliki titik , garis , dan garis yang mengandung titik sebagai gagasan primitif:

• Dua titik terkandung hanya dalam satu baris.
• Untuk setiap baris l dan sembarang titik P , bukan pada l , hanya ada satu baris yang berisi P dan tidak berisi titik l . Baris ini dikatakan sejajar dengan l .
• Setiap baris mengandung setidaknya dua titik.
• Setidaknya ada tiga titik yang tidak termasuk dalam satu baris.

Menurut H. S. M. Coxeter:

Kepentingan lima aksioma ini diperkuat oleh fakta bahwa mereka dapat dikembangkan menjadi proposisi yang sangat luas, memegang tidak hanya dalam geometri Euklides tetapi juga dalam geometri Minkowski waktu dan ruang (dalam kasus sederhana dimensi 1 + 1, sedangkan teori relativitas khusus diperlukan. Perluasan baik ke geometri Euclidean atau Minkowskian dicapai dengan menambahkan berbagai aksioma ortogonalitas lebih lanjut, dll.

Berbagai jenis geometri affine sesuai dengan interpretasi apa yang diambil untuk rotasi . Geometri euklides berhubungan dengan ide biasa tentang rotasi, sedangkan geometri Minkowski sesuai dengan rotasi hiperbolik. Sehubungan dengan garis tegak lurus, garis tersebut tetap tegak lurus saat bidang mengalami rotasi biasa. Dalam geometri Minkowski, garis yang hiperbolik-ortogonal tetap berada dalam relasi tersebut saat bidang mengalami rotasi hiperbolik.

Struktur yang dipesan

Perlakuan aksiomatik dari geometri affine bidang dapat dibangun dari aksioma geometri terurut dengan penambahan dua penjumlahan:

1. (Affine aksioma paralelisme) Diketahui titik A dan garis r, tidak melalui A, paling banyak ada satu garis melalui A yang tidak bertemu r.
2. (Desargues) Diberikan tujuh titik berbeda A, A ', B, B', C, C ', O, sehingga AA', BB ', dan CC' adalah garis yang berbeda melalui O dan AB adalah sejajar dengan A'B 'dan BC sejajar dengan B'C'.

Konsep affine dari paralelisme membentuk sebuah relasi ekivalen pada garis. Karena aksioma geometri teratur seperti yang disajikan di sini mencakup properti yang menyiratkan struktur bilangan riil, properti tersebut terbawa di sini sehingga ini adalah aksiomatisasi geometri affine di atas bidang bilangan real.

Gelanggang terner

Artikel utama: Gelanggang terner planar

Bidang non-Desarguesian pertama dicatat oleh David Hilbert dalam Foundations of Geometry . Pesawat moulton adalah ilustrasi standar. Untuk memberikan konteks untuk geometri tersebut dan juga geometri yang teorema Desargues valid, konsep cincin terner telah dikembangkan..

Bidang affine rudimenter dibangun dari pasangan terurut yang diambil dari cincin terner. Sebuah bidang dikatakan memiliki "minor affine Desargues property" jika dua segitiga dalam perspektif paralel, memiliki, sisi ketiga juga harus sejajar. Jika properti ini berlaku pada bidang affine rudimenter yang ditentukan oleh gelanggang terner, lalu ada hubungan ekivalen antara "vektor" yang ditentukan oleh pasangan titik dari bidang. Selanjutnya, vektor membentuk kelompok abelian di bawah tambahan, cincin terner adalah linear, dan memenuhi distributivitas kanan:

(a + b) c = ac + bc.

Transformasi Affine

Artikel utama: Transformasi Affine

Secara geometris, transformasi affine (afinitas) mempertahankan collinearity: sehingga mereka mengubah garis paralel menjadi garis paralel dan mempertahankan rasio jarak di sepanjang garis paralel.

Kami mengidentifikasi sebagai affine theorems setiap hasil geometris yang invarian di bawah grup affine (dalam Felix Klein program Erlangen ini adalah grup yang mendasari transformasi simetri untuk geometri affine). Pertimbangkan dalam ruang vektor V , grup linear umum GL ( V ). Ini bukan keseluruhan affine group karena kita juga harus mengizinkan terjemahan oleh vektor v dalam V . (Terjemahan seperti itu memetakan setiap w di V ke w + v.) Grup affine dihasilkan oleh grup linear umum dan terjemahannya dan sebenarnya produk semidirect mereka $V\rtimes \mathrm {GL} (V)$. (Di sini kami menganggap V sebagai grup di bawah operasi penjumlahannya, dan menggunakan representasi penentu GL ( V ) pada V untuk menentukan produk semidirect.)

Misalnya, teorema dari bidang geometri segitiga tentang kesesuaian garis yang menghubungkan setiap simpul ke titik tengah sisi yang berlawanan (di centroid atau barycenter ) bergantung pada pengertian mid-point dan centroid sebagai affine invarian. Contoh lain termasuk teorema Ceva dan Menelaus.

Affine invariants juga dapat membantu perhitungan. Misalnya, garis-garis yang membagi luas segitiga menjadi dua bagian yang sama membentuk amplop di dalam segitiga. Perbandingan luas amplop dengan luas segitiga adalah affine invariant, sehingga hanya perlu dihitung dari kasus sederhana seperti satuan segitiga siku-siku untuk memberikan ${\tfrac {3}{4}}\log _{e}(2)-{\tfrac {1}{2}},$ yaitu 0,019860 ... atau kurang dari 2%, untuk semua segitiga.

Rumus yang sudah dikenal seperti setengah alas dikali tinggi untuk luas segitiga, atau sepertiga alas dikali tinggi volume limas, juga merupakan invarian affine. Sementara yang terakhir kurang jelas daripada yang pertama untuk kasus umum, dengan mudah terlihat untuk seperenam dari kubus satuan yang dibentuk oleh sebuah muka (luas 1) dan titik tengah kubus (tinggi 1/2). Oleh karena itu, ini berlaku untuk semua piramida, bahkan yang miring yang puncaknya tidak tepat di atas pusat alas, dan yang memiliki alas jajar genjang, bukan persegi. Rumus tersebut selanjutnya digeneralisasikan menjadi piramida yang alasnya dapat dibedah menjadi jajaran genjang, termasuk kerucut dengan memungkinkan banyak jajaran genjang (dengan memperhatikan konvergensi). Pendekatan yang sama menunjukkan bahwa piramida empat dimensi memiliki volume 4D seperempat volume 3D dari parallelepiped kali alas tingginya, dan seterusnya untuk dimensi yang lebih tinggi.

Tampilan proyektif

Dalam geometri tradisional, geometri affine dianggap sebagai studi antara geometri Euklides dan geometri proyektif. Di satu sisi, geometri affine adalah geometri Euclidean dengan kongruensi ditinggalkan; di sisi lain, geometri affine dapat diperoleh dari geometri proyektif dengan penunjukan garis atau bidang tertentu untuk mewakili titik tak terhingga. Dalam geometri affine, tidak ada struktur metrik tetapi postulat paralel berlaku. Geometri Affine memberikan dasar untuk struktur Euklidean ketika garis tegak lurus ditentukan, atau dasar untuk geometri Minkowski melalui pengertian ortogonalitas hiperbolik. Dalam sudut pandang ini, transformasi affine adalah transformasi proyektif yang tidak mengijinkan titik-titik berhingga dengan titik-titik pada tak terhingga, dan affine geometri transformasi adalah studi tentang properti geometris melalui tindakan dari kelompok dari transformasi affine.

Lihat pula

• Geometri non-Euklides

Bacaan lebih lanjut

• Emil Artin (1957) Geometric Algebra, chapter 2: "Affine and projective geometry", Interscience Publishers.
• V.G. Ashkinuse & Isaak Yaglom (1962) Ideas and Methods of Affine and Projective Geometry (in Russian), Ministry of Education, Moscow.
• M. K. Bennett (1995) Affine and Projective Geometry, John Wiley & Sons ISBN 0-471-11315-8 .
• H. S. M. Coxeter (1955) "The Affine Plane", Scripta Mathematica 21:5–14, a lecture delivered before the Forum of the Society of Friends of Scripta Mathematica on Monday, April 26, 1954.
• Felix Klein (1939) Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Geometry, translated by E. R. Hedrick and C. A. Noble, pp 70–86, Macmillan Company.
• Bruce E. Meserve (1955) Fundamental Concepts of Geometry, Chapter 5 Affine Geometry,, pp 150–84, Addison-Wesley.
• Peter Scherk & Rolf Lingenberg (1975) Rudiments of Plane Affine Geometry, Mathematical Expositions #20, University of Toronto Press.
• Wanda Szmielew (1984) From Affine to Euclidean Geometry: an axiomatic approach, D. Reidel, ISBN 90-277-1243-3 .
• Oswald Veblen (1918) Projective Geometry, volume 2, chapter 3: Affine group in the plane, pp 70 to 118, Ginn & Company.

Pranala luar

• Peter Cameron's Projective and Affine Geometries Diarsipkan 2022-01-21 di Wayback Machine. from University of London.
• Jean H. Gallier (2001). Geometric Methods and Applications for Computer Science and Engineering, Chapter 2: "Basics of Affine Geometry" Diarsipkan 2021-09-17 di Wayback Machine. (PDF), Springer Texts in Applied Mathematics #38, chapter online from University of Pennsylvania.