Produk skalar

Definisi menurut aljabar

Produk skalar dua vektor A = [A₁, A₂, ..., A_n] dan B = [B₁, B₂, ..., B_n] didefinisikan sebagai:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{n}A_{i}B_{i}=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+\cdots +A_{n}B_{n}$

di mana Σ melambangkan summation notation dan n adalah dimensi ruang vektor. Misalnya, dalam ruang tiga dimensi, produk skalar vektor-vektor [1, 3, −5] dan [4, −2, −1] adalah:

${\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=(1)(4)+(3)(-2)+(-5)(-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end{aligned}}$

Definisi menurut geometri

Dalam ruang Euclidean, suatu vektor Euclidean adalah sebuah objek geometri yang memiliki baik besaran (magnitude) dan arah (direction). Sebuah vektor dapat digambarkan seperti sebuah anak panah. Besarannya adalah panjangnya, sedangkan arahnya adalah yang ditunjuk oleh ujung panah. Besaran vektor A dilambangkan dengan $\|\mathbf {A} \|$. Produk skalar dua vektor Euclidean A dan B didefinisikan sebagai

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,$

di mana θ adalah sudut di antara A dan B.

Secara khusus, jika A dan B adalah ortogonal, maka sudut di antara keduanya adalah 90° dan

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =0.$

Pada keadaan ekstrem lain, jika kedua vektor itu mempunyai arah yang sama (codirectional), maka sudut di antara keduanya adalah 0° dan

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|$

Ini menyiratkan bahwa produk skalar suatu vektor A dengan dirinya sendiri adalah

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2},$

yang menghasilkan

$\|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }},$

rumus untuk panjang Euclidean vektor itu.

Sifat

Produk skalar memenuhi sifat-sifat berikut jika a, b, dan c adalah vektor real dan r adalah suatu bilangan skalar.

1. Komutatif:

   $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} .$

   which follows from the definition (θ is the angle between a and b):

   $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\cos \theta =\|\mathbf {b} \|\|\mathbf {a} \|\cos \theta =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a}$

2. Distributif over vector addition:

   $\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .$

3. Bilinear:

   $\mathbf {a} \cdot (r\mathbf {b} +\mathbf {c} )=r(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} ).$

4. Perkalian skalar:

   $(c_{1}\mathbf {a} )\cdot (c_{2}\mathbf {b} )=c_{1}c_{2}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$

5. Ortogonal:

   Dua vektor bukan-nol a dan b adalah ortogonal jika dan hanya jika a ⋅ b = 0.

6. Tidak ada cancellation:

   Berbeda dengan perkalian angka biasa, di mana jika ab = ac, maka b selalu sama dengan c kecuali a sama dengan nol, produk skalar tidak menuruti cancellation law:

   Jika a ⋅ b = a ⋅ c dan a ≠ 0, maka dapat ditulis: a ⋅ (b − c) = 0 dengan hukum distributif; hasil di atas mengatakan bahwa ini hanya berarti a tegak lurus dengan (b − c), di mana masih mengizinkan (b − c) ≠ 0, sehingga b ≠ c.

7. Product Rule: Jika a dan b adalah suatu fungsi, maka turunan (dilambangkan oleh tanda prime ′) dari a ⋅ b adalah a′ ⋅ b + a ⋅ b′.

Generalisasi

Tensor

Produk skalar antar suatu tensor pada ordo n dan suatu tensor pada ordo m adalah tensor pada ordo n + m − 2

Lihat pula

• Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz
• Perkalian matriks
• Perkalian silang
• Perkalian skalar
• Perkalian vektor

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Inner product", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Weisstein, Eric W. "Dot product". MathWorld. 
• Explanation of dot product including with complex vectors
• "Dot Product" by Bruce Torrence, Wolfram Demonstrations Project, 2007.