Produk skalar

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Lompat ke: navigasi, cari

Definisi menurut aljabar[sunting | sunting sumber]

Produk skalar dua vektor A = [A1, A2, ..., An] dan B = [B1, B2, ..., Bn] didefinisikan sebagai:[1]

di mana Σ melambangkan summation notation dan n adalah dimensi ruang vektor. Misalnya, dalam ruang tiga dimensi, produk skalar vektor-vektor [1, 3, −5] dan [4, −2, −1] adalah:

Definisi menurut geometri[sunting | sunting sumber]

Dalam ruang Euclidean , suatu vektor Euclidean adalah sebuah objek geometri yang memiliki baik besaran (magnitude) dan arah (direction). Sebuah vektor dapat digambarkan seperti sebuah anak panah. Besarannya adalah panjangnya, sedangkan arahnya adalah yang ditunjuk oleh ujung panah. Besaran vektor A dilambangkan dengan . Produk skalar dua vektor Euclidean A dan B didefinisikan sebagai[2]

di mana θ adalah sudut di antara A dan B.

Secara khusus, jika A dan B adalah ortogonal, maka sudut di antara keduanya adalah 90° dan

Pada keadaan ekstrem lain, jika kedua vektor itu mempunyai arah yang sama (codirectional), maka sudut di antara keduanya adalah 0° dan

Ini menyiratkan bahwa produk skalar suatu vektor A dengan dirinya sendiri adalah

yang menghasilkan

rumus untuk panjang Euclidean vektor itu.

Sifat[sunting | sunting sumber]

Produk skalar memenuhi sifat-sifat berikut jika a, b, dan c adalah vektor real dan r adalah suatu bilangan skalar.[1][2]

  1. Komutatif:
    which follows from the definition (θ is the angle between a and b):
  2. Distributif over vector addition:
  3. Bilinear:
  4. Perkalian skalar:
  5. Ortogonal:
    Dua vektor bukan-nol a dan b adalah ortogonal jika dan hanya jika ab = 0.
  6. Tidak ada cancellation:
    Berbeda dengan perkalian angka biasa, di mana jika ab = ac, maka b selalu sama dengan c kecuali a sama dengan nol, produk skalar tidak menuruti cancellation law:
    Jika ab = ac dan a0, maka dapat ditulis: a ⋅ (bc) = 0 dengan hukum distributif; hasil di atas mengatakan bahwa ini hanya berarti a tegak lurus dengan (bc), di mana masih mengizinkan (bc) ≠ 0, sehingga bc.
  7. Product Rule: Jika a dan b adalah suatu fungsi, maka turunan (dilambangkan oleh tanda prime ′) dari ab adalah a′ ⋅ b + ab.

Generalisasi[sunting | sunting sumber]

Tensor[sunting | sunting sumber]

Produk skalar antar suatu tensor pada ordo n dan suatu tensor pada ordo m adalah tensor pada ordo n + m − 2

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ a b S. Lipschutz, M. Lipson (2009). Linear Algebra (Schaum’s Outlines) (4th ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1. 
  2. ^ a b M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum’s Outlines) (2nd ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7. 

Pranala luar[sunting | sunting sumber]

Templat:Linear algebra