Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Dalam matematika, pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, atau dikenal juga pertidaksamaan Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz, adalah sebuah pertidaksamaan yang sering ditemukan dalam berbagai bidang matematis, seperti aljabar linear, analisis, teori peluang, aljabar vektor, dan bidang-bidang lainnya.[1]

pertidaksamaan untuk jumlahan diterbitkan oleh Augustin-Louis Cauchy (1821), sedangkan pertidaksamaan untuk integral pertama kali dibuktikan oleh Viktor Bunyakovsky (1859). Kemudian ketaksamaaan integral ditemukan kembali oleh Hermann Amandus Schwarz (1888).[1]

Pernyataan pertidaksamaan[sunting | sunting sumber]

Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz menyatakan bahwa untuk setiap vektor u dan v anggota suatu ruang hasil kali dalam, berlaku

dengan adalah hasil kali dalam.[2][3] Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, pertidaksamaan di atas dapat dituliskan sebagai

[4][5]

Jika dan , dan operasi hasil kali dalamnya adalah hasil kali dalam kompleks standar, maka pertidaksamaan dapat dinyatakan secara lebih eksplisit sebagai berikut:

atau

Lema Titu[sunting | sunting sumber]

Lemma Titu (ditemukan oleh Titu Andreescu, atau dikenal juga lemma T2, bentuk Engel, atau Pertidaksamaan Sedrakyan) menyatakan bahwa untuk dan , bilangan real positif, diperoleh

Ini merupakan akibat dari pertidaksamaan Cauchy-Schwarz yang diperoleh dengan mensubstitusikan dan Bentuk ini membantu kita saat pertidaksamaan melibatkan pecahan di mana bilangannya adalah kuadrat sempurna.

(Ruang Euklides n-dimensi)[sunting | sunting sumber]

Dalam ruang Euklides dengan hasil kali dalam standar, pertidaksamaan Cauchy-Schwarz berbentuk

Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz dapat dijelaskan dengan menggunakan ide dari aljabar dasar. Perhatikan polinomial kuadrat dalam sebagai berikut

[sunting | sunting sumber]

Untuk hasil kali dalam dari fungsi bernilai kompleks terintegral kuadrat, didapat

Teorema yang digunakan adalah pertidaksamaan Hölder.

Lihat juga[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ a b Steele, J. Michael (2004). The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. The Mathematical Association of America. hlm. 1. ISBN 978-0521546775. ...there is no doubt that this is one of the most widely used and most important inequalities in all of mathematics. 
  2. ^ Strang, Gilbert (19 July 2005). "3.2". Linear Algebra and its Applications (edisi ke-4th). Stamford, CT: Cengage Learning. hlm. 154–155. ISBN 978-0030105678. 
  3. ^ Hunter, John K.; Nachtergaele, Bruno (2001). Applied Analysis. World Scientific. ISBN 981-02-4191-7. 
  4. ^ Bachmann, George; Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2012-12-06). Fourier and Wavelet Analysis. Springer Science & Business Media. hlm. 14. ISBN 9781461205050. 
  5. ^ Hassani, Sadri (1999). Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations. Springer. hlm. 29. ISBN 0-387-98579-4. Equality holds iff <c|c>=0 or |c>=0. From the definition of |c>, we conclude that |a> and |b> must be proportional.