Aljabar komposisi

Dalam matematika, sebuah aljabar komposisi A atas medan K adalah non-asosiatif medan K bersama dengan non-terdegenerasi bentuk kuadratik N yang memenuhi

$N(xy)=N(x)N(y)$

untuk semua x dan y di A.

Sebuah aljabar komposisi mencakup involusi yang disebut konjugasi: $x\mapsto x^{*}.$ Bentuk kuadrat $N(x)=xx^{*}$ disebut norma aljabar.

Sebuah aljabar komposisi (A, ∗, N) adalah aljabar pembagian atau aljabar terbagi, tergantung pada keberadaan bukan nol v di A sedemikian rupa sehingga N(v) = 0, disebut vektor nol. Ketika x adalah bukan vektor nol, perkalian invers dari x adalah ${\textstyle {\frac {x^{*}}{N(x)}}}$. Ketika ada vektor nol bukan nol, N adalah bentuk kuadrat isotropik, dan "aljabar terbagi".

Teorema struktur

Setiap unital aljabar komposisi atas medan K apabila diperoleh dengan penerapan berulang konstruksi Cayley–Dickson mulai dari K (jika karakteristik dari K berbeda dari 2) atau subaljabar komposisi 2 dimensi (jika char(K) = 2).  Kemungkinan dimensi aljabar komposisi adalah 1, 2, 4, dan 8.

• Aljabar komposisi 1 dimensi hanya ada jika char(K) ≠ 2.
• Aljabar komposisi dimensi 1 dan 2 bersifat komutatif dan asosiatif.
• Aljabar komposisi dimensi 2 adalah perluasan medan kuadrat dari K atau isomorfik ke K ⊕ K.
• Aljabar komposisi berdimensi 4 disebut aljabar kuaternion. Mereka asosiatif tetapi tidak komutatif.
• Aljabar komposisi berdimensi 8 disebut aljabar oktonion. Apabila hal tersebut bukan asosiatif atau komutatif.

Untuk terminologi yang konsisten, aljabar dimensi 1 disebut unarion, dan aljabar dimensi 2 biner.

Contoh dan penggunaan

Ketika medan K adalah bilangan kompleks 'C dan bentuk kuadrat z², maka empat aljabar komposisi atas C adalah C sendiri, bilangan bikompleks, bikuaternion (isomorfik ke Templat:Celah kompleks gelanggang matriks M(2, C)), dan bioktonion C ⊗ O, yang juga disebut oktonion kompleks.

Gelanggang matriks M(2, C) telah lama menjadi objek yang menarik, pertama sebagai bikuaternion oleh Hamilton (1853), kemudian dalam bentuk matriks isomorfik, dan terutama sebagai aljabar Pauli.

Fungsi kuadrat N(x) = x² pada medan bilangan riil sebagai bentuk aljabar komposisi primordial. Bila medan K adalah bilangan riil R, maka hanya ada enam aljabar komposisi riil lainnya.^:166 Dalam dua, empat, dan delapan dimensi aljabar pembagian dan "aljabar terpisah":

biner: bilangan kompleks dengan bentuk kuadrat x² + y² dan bilangan kompleks-terpisah dengan bentuk kuadrat x² − y²,

kuaternion dan split-quaternions,

oktonion dan oktonion-terpisah.

Setiap aljabar komposisi memiliki bentuk bilinear B(x,y) terkait yang dibuat dengan norma N dan identitas polarisasi:

$B(x,y)\ =\ [N(x+y)-N(x)-N(y)]/2.$

Sejarah

Komposisi jumlah kuadrat dicatat oleh beberapa penulis awal. Diophantus menyadari identitas yang melibatkan jumlah dua kuadrat, sekarang disebut identitas Brahmagupta–Fibonacci, yang juga diartikulasikan sebagai sifat norma Euclidean dari bilangan kompleks ketika dikalikan. Leonhard Euler membahas identitas empat kuadrat pada tahun 1748, dan itu dipimpin oleh W. R. Hamilton untuk menyusun aljabar empat dimensi kuaternion-nya.^:62 Pada tahun 1848 tessarin dijelaskan memberikan cahaya pertama untuk bilangan bikompleks.

Sekitar tahun 1818 sarjana Denmark Ferdinand Degen menampilkan identitas delapan persegi Degen, yang kemudian dihubungkan dengan norma elemen aljabar oktonion:

Secara historis, aljabar non-asosiatif pertama, bilangan Cayley ... muncul dalam konteks masalah teori bilangan bentuk kuadrat yang memungkinkan komposisi ... pertanyaan teori bilangan ini dapat diubah menjadi pertanyaan tentang sistem aljabar tertentu, aljabar komposisi ...^:61

Pada tahun 1919 Leonard Dickson memajukan studi tentang masalah Hurwitz dengan survei upaya hingga saat itu, dan dengan menunjukkan metode menggandakan angka empat untuk mendapatkan bilangan Cayley. Ia memperkenalkan unit imajiner e yang baru, dan untuk kuaternion q dan Q menulis bilangan Cayley q + Qe. Menyatakan konjugasi kuaternion dengan q′, produk dari dua bilangan Cayley adalah

$(q+Qe)(r+Re)=(qr-R'Q)+(Rq+Qr')e.$

Konjugat bilangan Cayley adalah q' – Qe, dan bentuk kuadratnya adalah qq′ + QQ′, diperoleh dengan mengalikan bilangan dengan konjugasinya. Metode penggandaan ini kemudian disebut konstruksi Cayley–Dickson.

Pada tahun 1923 kasus aljabar riil dengan bentuk pasti positif yang dibatasi oleh teorema Hurwitz.

Pada tahun 1931 Max Zorn memperkenalkan gamma (γ) dalam kaidah perkalian dalam konstruksi Dickson untuk menghasilkan oktonion-terpisah. Adrian Albert juga menggunakan gamma pada tahun 1942 ketika dia menunjukkan bahwa penggandaan Dickson apabila diterapkan pada medan dengan fungsi kuadrat untuk membangun aljabar biner, kuaternion, dan oktonion dengan bentuk kuadrat. Nathan Jacobson mendeskripsikan automorfisme dari komposisi aljabar pada tahun 1958.

Aljabar komposisi klasik atas 'R dan C adalah aljabar unital. Aljabar komposisi tanpa sebuah identitas perkalian ditemukan oleh H.P. Petersson (aljabar Petersson) dan Susumu Okubo (aljabar Okubo) dan lainnya.^:463–81

Lihat pula

• Persegi ajaib Freudenthal
• Bentuk Pfister
• Trialiti

Bacaan lebih lanjut

• Faraut, Jacques; Korányi, Adam (1994). Analysis on symmetric cones. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York. hlm. 81–86. ISBN 0-19-853477-9. MR 1446489. 
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023. 
• Harvey, F. Reese (1990). Spinors and Calibrations. Perspectives in Mathematics. 9. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-329650-1. Zbl 0694.53002.