Lompat ke isi

Lapangan terurut

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
(Dialihkan dari Medan terurut)


Dalam matematika, lapangan terurut atau medan terurut, adalah lapangan dengan urutan total pada elemen-elemennya dan sesuai dengan operasi-operasi pada lapangan tersebut. Contoh sederhana dari lapangan terurut adalah lapangan bilangan rasional dan bilangan real, masin-masing dengan pengurutan standar mereka.

Setiap sublapangan dari sebarang lapangan terurut juga merupakan suatu lapangan terurut dengan urutan yang sama. Setiap lapangan terurut mengandung suatu sublapangan terurut yang isomorfik ke (sistem) bilangan rasional. Setiap lapangan terurut lengkap-Dedekind isomorfik ke bilangan real. Kuadrat harus bernilai non-negatif dalam sebarang lapangan terurut. Hal ini mengartikan bilangan kompleks tidak dapat diurutkan, karena kuadrat dari unit imajiner adalah (yang bersifat negatif dalam sebarang lapangan terurut). Lapangan hingga tidak dapat diurutkan.

Dari aspek sejarah, aksiomatisasi lapangan terurut adalah proses abstraksi yang perlahan dari sistem bilangan real, oleh para matematikawan yang meliputi David Hilbert, Otto Hölder, dan Hans Hahn. Upaya ini akhirnya berkembang menjadi teorema Artin–Schreier untuk lapangan terurut dan lapangan real yang formal (formally real field).

Ada dua definisi umum yang saling setara untuk lapangan terurut. Definisi menggunakan urutan total muncul pertama kali dalam sejarah, dan merupakan aksiomatisasi tingkat-pertama dari urutan sebagai predikat biner. Artin dan Schereier memberikan definisi menggunakan kerucut positif di tahun 1926, yang mengaksiomatisasi subkoleksi dari elemen-elemen non-negatif.

Urutan total

[sunting | sunting sumber]

Sebarang lapangan dengan suatu urutan total pada disebut sebagai lapangan terurut jika pengurutan yang digunakan memenuhi sifat-sifat berikut untuk sebarang

  • Jika maka dan
  • Jika dan maka

Seperti biasa, notasi digunakan untuk merujuk dan . Notasi dan masing-masing mengartikan dan . Elemen-elemen dengan disebut positif.

Kerucut positif

[sunting | sunting sumber]

Kerucut prepositif atau pra-pengurutan dari sebarang lapangan adalah suatu subset yang memenuhi sifat-sifat berikut:[1]

  • Untuk dan di elemen dan berada di
  • Jika maka Secara khusus, dan
  • Elemen tidak ada di

Suatu lapangan pra-terurut adalah lapangan yang dilengkapi dengan suatu pra-pengurutan Elemen-elemen tak-nol membentuk suatu subgrup dari grup multiplikatif dari Jika, sebagai tambahan, himpunan adalah gabungan dari dan subset disebut sebagai suatu kerucut positif dari Elemen-elemen tak-nol di disebut elemen positif dari Lapangan terurut adalah lapangan yang dilengkapi kerucut positif

Pra-pengurutan pada adalah irisan dari kerucut-kerucut positif pada Kerucut positif adalah maksimal dari pra-pengurutan.[1]

Kesetaraan kedua definisi

[sunting | sunting sumber]

Misalkan merupakan lapangan. Terdapat suatu bijeksi antara pengurutan lapangan dari dengan kerucut-kerucut positif dari

Dari definisi pertama, memiliki pengurutan , dan himpunan semua elemen membentuk suatu kerucut positif dari Kebalikannya, dari definisi kedua, memiliki kerucut positif , dan suatu pengurutan total pada dapat disusun dengan menetapkan untuk mengartikan Hal ini mengartikan memenuhi sifat-sifat dari definisi pertama.

Beberapa contoh lapangan terurut antara lain:

  • Lapangan bilangan rasional dengan pengurutan standarnya (yang juga merupakan satu-satunya pengurutan yang dimilikinya).
  • Lapangan bilangan real dengan pengurutan standarnya (yang juga merupakan satu-satunya pengurutan yang dimilikinya).
  • Sebarang sublapangan dari lapangan terurut; seperti bilangan aljabar dan bilangan terhitung real, merupakan lapangan terurut dengan membatasi pengurutan ke sublapangan tersebut.
  • Lapangan fungsi rasional real dengan dan berupa polinomial dengan koefisien rasional dan , dapat dibuat menjadi lapangan terurut dengan menetapkan suatu bilangan transenden dan mendefinisikan jika dan hanya jika Cara tersebut setara dengan menyisipkan ke lewat dan membatasi pengurutan dari ke suatu pengurutan dari bayangan dari . Dalam gaya ini, kita dapat mendapatkan banyak pengurutan dari .
  • Lapangan dari fungsi rasional , dengan dan berupa polinomal dengan koefisien real dan , dapat dibuat menjadi lapangan terurut dengan mendefinisikan untuk mengartikan , dengan dan masing-masing adalah koefisien terdepan dari polinomial dan . Cara lain yang setara: untuk setiap fungsi rasional kita memiliki jika dan hanya jika untuk semua yang cukup besar. Dalam lapangan terurut ini, polinomial lebih besar dari sebarang polinomial konstan, mengakibatkan lapangan terurut tidak bersifat Archimedes.
  • Lapangan dari deret Laurent formal dengan koefisien real dan dianggap infitesimal dan positif.
Untuk sebarang dan , akan berlaku
Untuk sebarang akan berlaku

Untuk sebarang lapangan terurut dan sebarang di , sifat-sifat ini berlaku untuk :

  • Antara atau
  • Pertidaksamaan dapat "dijumlahkan": jika dan , maka .
  • Pertidaksamaan dapat "dikalikan dengan elemen positif": jika dan , maka .
  • "Mengalikan dengan elemen negatif akan membalik pertidaksamaan": jika dan , maka .
  • Transitivitas dari pertidaksamaan: jika dan , maka .
  • Jika dan , maka .
  • Penguadratan selalu non-negatif: . Secara khusus, karena kita dapatkan Tapi sehingga kita simpulkan
  • Medan terurut memiliki karakteristik 0. (Karena , maka dan dst., sehingga tidak ada jumlah terhingga dari yang dapat bernilai ). Secara khusus, ini mengartikan lapangan hingga tidak dapat diurutkan.
  • Setiap jumlah tak-trivial dari penguadratan bernilai tak-nol. Secara matematis, [2][3]

Semua sublapangan dari sebarang lapangan terurut juga merupakan lapangan terurut (mewarisi pengurutan yang digunakan ). Sublapangan terkecil dari isomorfik ke rasional (sama seperti semua lapangan dengan karakteristik 0 lainnya), dan urutan pada sublapangan rasional ini akan sama dengan urutan pada bilangan rasional. Lapangan terurut isomorfik ke lapangan bilangan real jika dan hanya jika, setiap subset tak-kosong dari dengan batas atas di memiliki batas atas terkecil di .

Jika setiap elemen dari suatu lapangan terurut selalu terletak diantara dua elemen dari sublapangan rasionalnya, maka lapangan tersebut dikatakan bersifat Archimedes. Tapi jika tidak, lapangan bersifat non-Archimedes dan mengandung infinitesimal. Sebagai contoh, bilangan real membentuk suatu lapangan Archimedes, namun bilangan hiperreal tidak, karena sistem bilangan ini memperluas bilangan real dengan elemen-elemen yang lebih besar daripada semua bilangan asli standar.[4]

Ruang vektor atas lapangan terurut

[sunting | sunting sumber]

Ruang vektor (khususnya ruang koordinat) atas suatu lapangan terurut memiliki beberapa sifat penting dan memiliki struktur yang khusus, yakni: orientasi, kecembungan, dan hasil-kali dalam yang definit-positif.

Keterurutan lapangan

[sunting | sunting sumber]

Semua lapangan terurut merupakan lapangan real yang formal (formally real field), artinya, elemen 0 tidak dapat dituliskan sebagai jumlah dari kuadrat-kuadrat elemen tak-nol.[2][3] Kebalikannya, semua lapangan real yang formal dapat dilengkapi dengan suatu urutan total (yang sesuai), yang mengubahnya menjadi lapangan terurut. Bukti hubungan ini memerlukan lema Zorn.[5]

Lapangan hingga dan secara umum lapangan dengan karakteristik positif, tidak dapat diubah menjadi lapangan terurut. Bilangan kompleks juga tidak dapat diubah menjadi lapangan terurut, karena adalah kuadrat dari unit imajiner . Selain itu, bilangan p-adik tidak dapat diurutkan karena berdasarkan lema Hensel, mengandung akar kuadrat dari sehingga dan dengan mengandung akar kuadrat dari sehingga

Lihat pula

[sunting | sunting sumber]

Catatan kaki

[sunting | sunting sumber]
  1. ^ a b Lam (2005) p. 289
  2. ^ a b Lam (2005) hlm. 41
  3. ^ a b Lam (2005) hlm. 232
  4. ^ Bair, Jaques; Henry, Valérie. "Implicit differentiation with microscopes" (PDF). University of Liège. Diakses tanggal 2013-05-04. 
  5. ^ Lam (2005) p. 236