Lingkaran dalam dan lingkaran singgung luar segitiga

Sebuah segitiga berwarna   dengan lingkaran dalam  , pusat lingkaran dalam ($I$), lingkaran singgung luar  , pusat lingkaran singgung luar ($J_{A}$, $J_{B}$, dan $J_{C}$), garis pembagi sudut dalam berwarna   dan garis pembagi sudut berwarna  . Segitiga berwarna hijau   merupakan segitiga pusat singgung luar.

Dalam geometri, lingkaran dalam segitiga merupakan lingkaran terbesar yang terisi di dalam segitiga; ini bersinggung (merupakan garis singgung dengan) tiga sisi. Pusat dari lingkaran adalah pusat segitiga disebut pusat lingkaran dalam segitiga.

Sebuah pusat lingkaran singgung luar dari segitiga merupakan sebuah lingkaran yang terletak di luar segitiga, singgung dengan satu sisinya singgung dengan perluasan dari dua lainnya. Setiap segitiga memiliki tiga pusat lingkaran singgung luar yang berbeda, setiap garis singgung dengan salah satu dari sisi-sisi segitiga.

Pusat dari lingkaran dalam, disebut pusat lingkaran dalam, dapat ditemukan sebagai perpotongan dari tiga garis bagi dalam. Pusat lingkaran singgung luar merupakan perpotongan dari garis bagi dalam dari satu sudut (di verteks $A$, sebagai contohnya) dan garis bagi luar dari dua lainnya. Pusat dari lingkaran singgung luar ini disebut pusat lingkaran singgung luar relatif terhadap verteks $A$, atau pusat lingkaran singgung luar $A$. Karena garis bagi dalam dari sebuah sudut tegak lurus dengan garis bagi luarnya, ini mengikuti bahwa pusat dari lingkaran dalam bersama-sama dengan tiga pusat lingkaran singgung luarnya membentuk sebuah sistem ortosentrik.^{:p. 182}

Semua poligon beraturan memiliki garis singgung lingkaran dalam untuk semua sisi, tetapi tidak semua poligon; yang ada poligon singgung.

Lihat pula: Garis singgung dengan lingkaran

Lingkaran dalam dan pusat lingkaran dalam

Andaikan $\triangle ABC$ memiliki sebuah lingkaran dalam dengan jari-jari $r$ dan pusat $I$. Misalkan $a$ menjadi panjangnya $BC$, $b$ adalah panjang $AC$, dan $c$ panjangnya $AB$. Juga misalkan $T_{A}$, $T_{B}$, dan $T_{C}$ menjadi titik singgung dimana lingkaran dalam menyinggung $BC$, $AC$, dan $AB$.

Pusat lingkaran dalam

Lihat pula: Pusat lingkaran dalam

Pusat lingkaran dalam merupakan titik dimana garis bagi dalam $\angle ABC,\angle BCA,{\text{ dan }}\angle BAC$ bertemu.

Jarak dari verteks $A$ ke pusat lingkaran dalam $I$ adalah

$$d(A,I)=c{\frac {\sin \left({\frac {B}{2}}\right)}{\cos \left({\frac {C}{2}}\right)}}=b{\frac {\sin \left({\frac {C}{2}}\right)}{\cos \left({\frac {B}{2}}\right)}}$$

Koordinat trilinear

Korodinat trilinear untuk sebuah titik dalam segitiga merupakan nisbah dari semua jarak ke sisi-sisi segitiga. Karena pusat lingkaran dalam adalah jarak yang sama dari semua sisi-sisi dari segitiga, koordinat trilinear untuk pusat lingkaran dalam adalah

$$1:1:1$$

Koordinat barisentrik

Koordinat barisentrik untuk sebuah titik dalam sebuah segitiga memberikan bobot sehingga titiknya adalah rerata berbobot dari posisi verteks segitiga. Koordinat barisentrik untuk pusat lingkaran dalam diberikan oleh

$$a:b:c$$

dimana $a$, $b$, dan $c$ adalah panjang sisi-sisi dari segitiga, atau dengan setara (menggunakan hukum sinus) oleh

$$\sin(A):\sin(B):\sin(C)$$

dimana $A$, $B$, dan $C$ adalah sudut-sudut pada tiga verteksnya.

Koordinat Cartesius

Koordinat Cartesius dari pusat lingkaran dalam adalah sebuah rerata berbobot dari koordinat dari tiga verteks menggunakan panjang sisi dari segitiga relatif terhadap keliling (yaitu, menggunakan koordinat barisentrik yang diberikan di atas, ternormalkan untuk menjumlahkan kesatuannya) sebagai bobot. Bobotnya positif sehingga pusat lingkaran dalam terletak di dalam segitiga ketika dinyatakan di atas. Jika ketiga verteksnya terletak di $(x_{a},y_{a})$, $(x_{b},y_{b})$, dan $(x_{c},y_{c})$, dan sisi-sisinya berlawanan dengan verteks-verteks ini memiliki padanan panjang $a$, $b$, dan $c$, maka pusat lingkaran dalamnya di

$$\left({\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)={\frac {a\left(x_{a},y_{a}\right)+b\left(x_{b},y_{b}\right)+c\left(x_{c},y_{c}\right)}{a+b+c}}$$

Jari-jari

Jari-jari lingkaran dalam $r$ dalam sebuah segitiga dengan sisi-sisi panjang $a$, $b$, $c$ diberikan oleh

$$r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}$$

..., dimana

$$s={\frac {a+b+c}{2}}$$

Lihat rumus Heron

Jarak ke verteks

Melambangkan pusat lingkaran dalam $\triangle ABC$ sebagai $I$, jarak dari pusat lingkaran dalam ke verteks digabungkan dengan panjang dari sisi-sisi segitiga mematuhi persamaannya

$${\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1$$

Sebagai tambahan,

$$IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2}$$

dimana $R$ dan $r$ masing-masing adalah radius lingkaran luar dan jari-jari lingkaran dalam segitiga.

Sifat-sifat lainnya

Kumpulan pusat-pusat segitiga dapat diberikan struktur grup di bawah perkalian secara koordinat mengenai koordinat trilinear, dalam grup ini, pusat lingkaran dalam membentuk elemen identitas.

Lingkaran dalam dan sifat-sifat radiusnya

Jarak antara verteks dan titik singgung paling terdekat

Jarak dari sebuah verteks ke dua titik singgung paling terdekat adalah sama; misalnya:

$$d\left(A,T_{B}\right)=d\left(A,T_{C}\right)={\frac {1}{2}}(b+c-a)$$

Sifat-sifat lainnya

Andaikan titik-titik singgung dari lingkaran dalam membagi sisi-sisi menjadi panjang $x$ dan $y$, $y$ dan $z$, serta $z$ dan $x$. Maka lingkaran dalam memiliki jari-jari

$$r={\sqrt {\frac {xyz}{x+y+z}}}$$

dan luas dari segitiganya adalah

$$\Delta ={\sqrt {xyz(x+y+z)}}$$

Jika tingginya dari sisi-sisi panjang $a$, $b$, dan $c$ adalah $h_{a}$, $h_{b}$, dan $h_{c}$, maka jari-jari lingkaran dalam $r$ adalah sepertiga dari purata harmonik tinggi ini; yaitu,

$$r={\frac {1}{{\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}}$$

Darab dari jari-jari lingkaran dalam $r$ dan jari-jari lingkaran luar $R$ dari sebuah segitiga dengan sisi-sisi $a$, $b$, dan $c$ adalah^:189,#298(d)

$$rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}$$

Beberapa hubungan di sekitar sisi-sisi, jari-jari lingkaran dalam, dan jari-jari lingkaran luar adalah:

$${\begin{aligned}ab+bc+ca&=s^{2}+(4R+r)r\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=2s^{2}-2(4R+r)r\end{aligned}}$$

Setiap garis melalui sebuah segitiga yang kedua luas segitiga dan kelilingnya terbelah dua menuju ke pusat lingkaran segitiga (pusat lingkaran dalamnya). Terdapat baik satu, dua, atau tiga ini untuk suatu segitiga yang diberikan.

Melambangkan pusat dari lingkaran dalam $\triangle ABC$ sebagai $I$, kita mempunyai

$${\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1$$

dan^:121,#84

$$IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2}$$

Jari-jari lingkaran dalam tidak lebih besar daripada sepersembilan jumlah dari tinggi.^:289

Jarak kuadrat dari pusat $I$ ke pusat lingkaran luar $O$ diberikan oleh^:232

$$OI^{2}=R(R-2r)$$

dan jarak dari pusat lingkaran dalam dengan pusat $N$ dari lingkaran sembilan adalah^:232

$$IN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R$$

Pusat lingkaran dalam terletak di segitiga tengah (yang verteks-verteksnya merupakan titik tengah dari sisinya).^{:233, Lemma 1}

Hubungan dengan luas dari segitiga

Jari-jari dari lingkaran dalam berkaitan dengan luas dari segitiga. Nisbah dari luas lingkaran dalam dengan luas segitiga lebih kecil atau sama dengan ${\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}$, dengan persamaannya berlaku hanya untuk segitiga sama sisi.

Andaikan $\triangle ABC$ memiliki sebuah lingkaran dalam dengan jari-jari $r$ dan pusat $I$. Misalkan $a$ menjadi panjang $BC$, $b$ menjadi panjang $AC$, dan $c$ menjadi panjang $AB$. Sekarang, lingkaran dalam singgung dengan $AB$ pada suatu titik $T_{C}$, dan demikian $\angle AT_{C}I$ adalah siku-siku. Demikian, $\triangle IAB$ memiliki alas dengan panjang $c$ dan tinggi $r$, dan jadi memiliki luas ${\frac {1}{2}}cr$. Dengan cara yang serupa, $\triangle IAC$ memiliki luas ${\frac {1}{2}}br$ dan $\triangle IBC$ memiliki luas ${\frac {1}{2}}ar$. Karena ketiga segitiga ini memisahkan $\triangle ABC$, kita lihat bahwa luas $\Delta$ dari $\triangle ABC$ adalah:

$$\Delta ={\frac {1}{2}}(a+b+c)r=sr$$

dan

$$r={\frac {\Delta }{s}}$$

dimana $\Delta$ adalah luas dari $\triangle ABC$ dan $s={\frac {1}{2}}(a+b+c)$ adalah semiperimeternya.

Untuk sebuah rumus yang alternatif, anggap $\triangle IT_{C}A$. Ini adalah segitiga siku-siku dengan satu sisinya sama dengan $r$ dan sisi lainnya sama dengan $r\cot \left({\frac {A}{2}}\right)$. Kesamaannya benar untuk $\triangle IB'A$. Segitiga yang besar dikomposisi enam segitiga dan luas totalnya adalah:

$$\Delta =r^{2}\left(\cot \left({\frac {A}{2}}\right)+\cot \left({\frac {B}{2}}\right)+\cot \left({\frac {C}{2}}\right)\right)$$

Segitiga dan titik Gergonne

Sebuah segitiga, $\triangle ABC$, dengan lingkaran dalam berwarna  , pusat lingkaran dalam ($I$) berwarna  , segitiga kontak ($\triangle T_{A}T_{B}T_{C}$) berwarna   dan titik Gergonee ($G_{e}$) berwarna  .

Segitiga Gergonne (dari $\triangle ABC$) didefinisikan oleh tiga titik singgung dari lingkaran dalam pada tiga sisi. Titik singgung berlawanan $A$ dilambangkan $T_{A}$, dll.

Segitiga Gergonne, $\triangle T_{A}T_{B}T_{C}$, juga dikenal sebagai segitiga kontak atau segitiga singgung dalam dari $\triangle ABC$. Luasnya adalah

$$K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}$$

dimana $K$, $r$, dan $s$ adalah luasnya, jari-jari dari lingkaran dalam dari segitiga asalnya, dan $a$, $b$, serta $c$ adalah panjang sisi dari segitiga asalnya. Ini adalah luas yang sama seperti yang dari segitiga singgung luar.

Tiga garis $AT_{A}$, $BT_{B}$, dan $CT_{C}$ memotong dalam sebuah titik tunggal disebut titik Gergonne, dilambangkan sebagai $G_{e}$ (pusat segitiga $X_{7}$). Titik Gergonne terletak di cakram ortosentroidal terbuka tertusuk di pusatnya sendiri, dan dapat menjadi suatu titik di situ.

Titik Gergonne dari sebuah segitiga memiliki sebuah bilangan sifat-sifat, termasuk bahwa ini adalah sebuah titik simedian dari segitiga Gergonne.

Koordinat trilinear untuk verteks-verteks dari segitiga singgung dalam diberikan oleh

$${\begin{aligned}{\text{verteks }}T_{A}&=0:\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)\\{\text{verteks }}T_{B}&=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)\\{\text{verteks }}T_{C}&=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0\end{aligned}}$$

Koordinat trilinear untuk titik Gergonne diberikan oleh

atau, dengan setara, oleh Hukum Sinus

$${\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}$$

Lingkaran singgung luar dan pusat lingkaran singgung luar

Sebuah segitiga berwarna   dengan lingkaran dalam  , pusat lingkaran dalam ($I$), lingkaran singgung luar  , pusat lingkaran singgung luar ($J_{A}$, $J_{B}$, dan $J_{C}$), garis pembagi sudut dalam berwarna   dan garis pembagi sudut berwarna  . Segitiga berwarna hijau   merupakan segitiga pusat singgung luar.

Sebuah lingkaran singgung luar dari segitiga adalah sebuah lingkaran yang terletak di luar segitiga, bersinggung dengan satu sisinya dan singgung dengan perluasan dari keduanya. Setiap segitiga memiliki tiga lingkaran yang berbeda, setiap singgung ke satu dari sisi-sisi segitiga.

Pusat sebuah lingkaran singgung luar merupakan perpotongan dari garis bagi dalam satu sudut (di verteks $A$, contohnya) dan garis bagi luar dari dua lainnya. Pusat lingkaran singgung ini disebut pusat lingkaran singgung luar relatif terhadap verteks dari $A$, atau pusat lingkaran singgung luar dari $A$. Karena garis bagi dalam sudut tegak lurus dengan garis bagi luarnya, ini mengikuti bahwa pusat dari lingkaran dalam bersama dengan tiga pusat lingkaran singgung luar membentuk sebuah sistem ortosentrik.^:182

Koordinat trilinear pusat lingkaran singgung luar

Saat pusat lingkaran dalam $\triangle ABC$ memiliki koordinat trilinear $1:1:1$, pusat lingkaran singgung luar memiliki trilinear $-1:1:1$, $1:-1:1$, dan $1:1:-1$.

Jari-jari pusat lingkaran singgung luar

Jari-jari dari lingkaran singgung luar disebut jari-jari lingkaran singgung luar.

Jari-jari lingkaran singgung luar dari lingkaran singgung luar berlawanan $A$ (jadi menyentuh $BC$, berpusat di $J_{A}$) adalah

$$r_{a}={\frac {rs}{s-a}}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}$$

..., dimana $s={\frac {1}{2}}(a+b+c)$.

Lihat rumus Heron

Penurunan rumus pusat lingkaran singgung luar

Klik tampil untuk melihat bagian konten ini

Misalkan lingkaran singgung di sisi $AB$ bersinggung di sisi $AC$ diperpanjang di $G$, dan misalkan jari-jari lingkaran singgung luar menjadi $r_{c}$ dan pusatnya mnejadi $J_{c}$. Maka $J_{c}G$ merupakan sebuah tinggi dari $\triangle ACJ_{c}$, jadi $\triangle ACJ_{c}$ memiliki luas ${\tfrac {1}{2}}br_{c}$. Dengan menggunakan argumen yang serupa, $\triangle BCJ_{c}$ memiliki luas ${\tfrac {1}{2}}ar_{c}$ dan $\triangle ABJ_{c}$ memiliki luas ${\tfrac {1}{2}}cr_{c}$. Demikian luasnya $\Delta$ dari $\triangle ABC$ adalah

$\Delta ={\frac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(s-c)r_{c}$.

Jadi, oleh simetri, melambangkan $r$ sebagai jari-jari lingkaran dalam,

$\Delta =sr=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}$.

Oleh Hukum Kosinus, kita memiliki

$\cos(A)={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

Menggabungkan ini dengan identitas $\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1$, kita memiliki

$\sin(A)={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}$

Tetapi $\Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin(A)$, dan demikian

${\begin{aligned}\Delta &={\frac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},\end{aligned}}$

yang merupakan rumus Heron.

Menggabungkan ini dengan $sr=\Delta$, kita memiliki

$r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{s^{2}}}={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.$

Dengan cara yang serupa, $(s-a)r_{a}=\Delta$ memberikan

$r_{a}^{2}={\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}$

dan

$r_{a}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}.$

Sifat-sifat lainnya

Dari rumus di atas salah satunya dapat melihat bahwa lingkaran singgun luar selalu lebih besar dari lingkaran dalam dan bahwa lingkaran singgung paling terbesar merupaakan salah satu bersinggung dengan sisi terpanjang serta lingkaran singgung luar bersinggung dengan sisi terpendek. Lebih lanjut, menggabungkan rumus-rumus ini menghasilkan:

$$\Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}$$

Sifat-sifat lingkaran singgung luar lainnya

Lambung lingkar dari lingkaran singgung luar secara internal menyinggung dengan setiap dari lingkaran singgung luar dan dengan demikian merupakan sebuah lingkaran Apollonius. Jari-jari lingkaran Apollonius ini adalah ${\frac {r^{2}+s^{2}}{4r}}$ dimana $r$ adalah jari-jari lingkaran dalam dan $s$ adalah semiperimeter dari segitiga.

Hubungan berikut berlaku di antara jari-jari lingkaran dalam $r$, jari-jari lingkaran luar $R$, semiperimeter $s$, dan jari-jari lingkaran singgung luar $r_{a}$, $r_{b}$, $r_{c}$:

$${\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}&=4R+r\\r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}&=s^{2}\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}&=\left(4R+r\right)^{2}-2s^{2}\end{aligned}}$$

Lingkaran melalui pusat-pusat dari tiga lingkaran singgung luar memiliki jari-jari $2R$.

Jika $H$ adalah titik tinggi dari $\triangle ABC$, maka

$${\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}+r&=AH+BH+CH+2R\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}&=AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+(2R)^{2}\end{aligned}}$$

Segitiga Nagel dan titik Nagel

Segitiga singgung luar ($\triangle T_{A}T_{B}T_{C}$) berwarna   dan titik Nagel ($N$) berwarna   dari sebuah segitiga ($\triangle ABC$) berwarna  . Lingkaran berwarna jingga adalah lingkaran singgung luar dari segitiga.

Segitiga Nagel atau segitiga singgung luar $\triangle ABC$ dilambangkan oleh verteks-verteks $T_{A}$, $T_{B}$, dan $T_{C}$ yang terdapat tiga titik dimana lingakran singgung luar menyinggung rujukan $\triangle ABC$ dan dimana $T_{A}$ adalah lawannya dari $A$, dst. $\triangle T_{A}T_{B}T_{C}$ ini juga dikenal sebagai segitiga singgung luar $\triangle ABC$. Lingkaran luar dari singgung luar $\triangle T_{A}T_{B}T_{C}$ disebut lingkaran Mandart.

Tiga garis $AT_{A}$, $BT_{B}$, dan $CT_{C}$ disebut pembagi dari segitiga, mereka membagi garis setiap keliling dari segitiga,

$$AB+BT_{A}=AC+CT_{A}={\frac {1}{2}}\left(AB+BC+AC\right)$$

Pembaginya memotong dalam sebuah titik tunggal, titik Nagel segitiga $N_{a}$ (atau pusat segitiga $X_{8}$).

Koordinat trilinear untuk verteks-verteks dari segitiga singgung luar diberikan oleh

$${\begin{aligned}{\text{verteks }}T_{A}&=0:\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)\\{\text{verteks }}T_{B}&=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)\\{\text{verteks }}T_{C}&=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0\end{aligned}}$$

Koordinat trilinear untuk titik Nagel diberikan oleh

$$\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$$

atau, dengan setara, oleh Hukum Sinus,

$${\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}$$

Titik Nagel merupakan sekawan isotomik dari titik Gergonne.

Konstruksi yang berkaitan

Lingkaran sembilan titik dan titik Feuerbach

Lingkaran sembilan titik bersinggung dengan lingkaran dalam dengan lingkaran singgung luar

Dalam geometri, lingkaran sembilan titik merupakan sebuah lingkaran yang dapat dikonstruksikan untuk suatu segitiga yang diberikan. Ini dinamakan demikian karena ini lewat melalui sembilan titik konsiklik bermakna didefinisikan dari segitiga. Sembilan titik ini adalah:

• Titik tengah setiap sisi dari segitiga
• Kaki dari setiap tinggi
• Titik tengah dari ruas garis dari setiap verteks-verteks segitiga ke titik tinggi (dimana tiga ketinggiannya bertemu; ruas garis ini terletak pada masing-masing ketinggiannya).

Pada tahun 1822, Karl Feuerbach menemukan bahwa setiap lingkaran sembilan titik segitiga secara eksternal bersinggungan dengan tiga lingkaran singgung luarnya dan secara internal bersinggung dengan lingkaran dalamnya; hasil ini diknel sebagia teorema Feuerbach. Dia membuktikan bahwa:

... lingkarannya yang lewat melalui kaki dari tinggi segitiga bersinggungan dengan semua empat lingkaran yang pada gilirannya bersinggungan dengan tiga sisi dari segitiga ... (Feuerbach 1822)

Pusat segitiga di mana singgung lingkaran dalam dan lingkaran sembilan disebut titik Feuerbach.

Segitiga pusat dalam dan pusat singgung luar

Titik perpotongan dari garis bagi sudut dalam $\triangle ABC$ dengan ruas $BC$, $CA$, dan $AB$ adalah verteks-verteks dari segitiga pusat dalam. Koordinat trilinear untuk verteks-verteks dari segitiga pusat dalam diberikan oleh

$${\begin{aligned}\left({\text{lawan dari verteks }}A\right)&=0:1:1\\\left({\text{lawan dari verteks }}B\right)&=1:0:1\\\left({\text{lawan dari verteks }}C\right)&=1:1:0\end{aligned}}$$

Segitiga pusat singgung luar dari sebuah segitiga acuan memiliki verteks-verteks pada pusat dari lingkaran singgung luar segitiga acuan. Sisinya pada garis bagi sudut luar dari segitiga acuan (lihat gambar pada halaman di atas). Koordinat trilinear untuk verteks-verteks mengenai segitiga pusat singgung luar diberikan oleh

$${\begin{aligned}({\text{hadapan verteks}}\,A)=-1:1:1\\({\text{hadapan verteks}}\,B)=1:-1:1\\({\text{hadapan verteks}}\,C)=1:1:-1\end{aligned}}$$

Persamaan untuk empat lingkaran

Misalkan $x:y:z$ menjadi sebuah titik peubah dalam koordinat trilinear, dan misalkan $u=\cos ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right)$, $v=\cos ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right)$, dan $w=\cos ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$. Keempat lingkaran digambarkan di atas diberikan dengan setara oleh baik dari dua persamaan yang diberikan:

• Lingkaran dalam:

$${\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy&=0\\\pm {\sqrt {x}}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\pm {\sqrt {y}}\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {z}}\cos \left({\frac {C}{2}}\right)&=0\end{aligned}}$$

• Lingkaran singgung luar $A$:

$${\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy&=0\\\pm {\sqrt {-x}}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\pm {\sqrt {y}}\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {z}}\cos \left({\frac {C}{2}}\right)&=0\end{aligned}}$$

• Lingkaran singgung luar $B$:

$${\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy&=0\\\pm {\sqrt {x}}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\pm {\sqrt {-y}}\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {z}}\cos \left({\frac {C}{2}}\right)&=0\end{aligned}}$$

• Lingkaran singgung luar $C$:

$${\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy&=0\\\pm {\sqrt {x}}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\pm {\sqrt {y}}\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {-z}}\cos \left({\frac {C}{2}}\right)&=0\end{aligned}}$$

Teorema Euler

Teorema Euler menyatakan bahwa dalam sebuah segitiga:

$$(R-r)^{2}=d^{2}+r^{2}$$

dimana $R$ dan $r$ adalah jari-jari lingkaran luar dan jari-jari lingkaran dalam masing-masing, dan $d$ adalah jarak antara pusat lingkaran luar dan pusat lingkaran dalam.

Untuk lingkaran singgung luar, persamaannya menyerupai:

$$\left(R+r_{\text{ex}}\right)^{2}=d_{\text{ex}}^{2}+r_{\text{ex}}^{2}$$

dimana $r_{\text{ex}}$ merupakan jari-jari mengenai salah satu dari lingkaran singgung luar, dan $d_{\text{ex}}$ adalah jarak antara pusat lingkaran luar dan pusat lingkaran singgung luarnya.

Perampatan dengan poligon lainnya

Beberapa (tapi tidak semua) segi empat memiliki sebuah lingkaran dalam. Ini disebut segi empat singgung. Di antaranya banyak sifat-sifat yang mungkin paling terpenting adalah bahwa dua pasangannya mengenai sisi berhadapan memiliki jumlah yang sama. Ini disebut teorema Pitot.

Lebih umumnya, sebuah poligon dengan suatu jumlah sisi bahwa memiliki sebuah lingkaran dalam (yaitu, salah satunya yang bersinggung dengan setiap sisi disebut sebuah poligon singgung.

Lihat pula

• Segi luar
• Lingkaran luar– ;Lingkaran yang lewat melalui semua verteks-verteks poligon
• Segi empat ekstangensial
• Teorema Harcourt – Luas segitiga dari jarak sisi dan verteksnya untuk suatu garis singgung ke lingkaran dalamnya
• Runjung luar dan runjung dalam – Sebuah irisan runjunt yan lewat melalui verteks segiiga atau garis singgung ke sisinya
• Bola dalam
• Kuasa titik
• Elips dalam Steiner
• Segi empat singgung
• Teorema Trillium – Sebuah pernyataan mengenai sifat-sifat lingkaran dalam dan lingkaran luar.

Referensi

• Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (edisi ke-2), New York: Barnes & Noble, LCCN 52013504 
• Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston, LCCN 69012075 
• Kimberling, Clark (1998). "Triangle Centers and Central Triangles". Congressus Numerantium (129): i–xxv,1–295. 
• Kiss, Sándor (2006). "The Orthic-of-Intouch and Intouch-of-Orthic Triangles". Forum Geometricorum (6): 171–177. 

Pranala luar

• Derivation of formula for radius of incircle of a triangle
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Incircle". MathWorld. 

Interaktif

• Pusat lingkaran dalam segitiga   Lingkaran dalam segitiga  Lingkaran segi banyak beraturan   Dengan animasi interaktif
• Membangun sebuah pusat lingkaran dalam/lingkaran dalam segitiga dengan jangka dan sejajar
• Teorema Lingkaran Dalam Sama di Cut-the-Knot
• Lima Teorema Lingkaran Dalam di Cut-the-Knot
• Pasangan Lingkaran Dalam di sebuah Segi Empat di Cut-the-Knot
• An interactive Java applet for the incenter