Unit imajiner

$i$ terletak di bidang kompleks. Bilangan riil terletak pada sumbu horizontal, dan bilangan imajiner terletak pada sumbu vertikal.

Unit imajiner atau bilangan imajiner unit ($i$) adalah solusi untuk persamaan kuadrat $x$² $+1=0$. Meskipun tidak ada bilangan riil dengan sifat ini, $i$ dapat digunakan untuk memperluas bilangan riil menjadi bilangan kompleks, bilangan yang menggunakan operasi penambahan dan perkalian; contoh sederhananya adalah $2+3i$.

Bilangan imajiner adalah konsep matematika yang penting, sebab bilangan ini memperluas sistem bilangan riil $\mathbb {R}$ ke sistem bilangan kompleks $\mathbb {C}$, dan pada sistem bilangan tersebut setidaknya terdapat satu buah akar fungsi untuk setiap polinomial $P(x)$ yang tak konstan. Istilah "imajiner" digunakan karena tidak ada bilangan riil yang memiliki kuadrat negatif.

Terdapat dua buah akar kuadrat kompleks dari −1, yaitu $i$ dan $-i$, sama seperti terdapat dua buah akar kuadrat kompleks dari setiap bilangan riil selain nol, yang memiliki satu buah akar kuadrat berganda.

Bilangan kompleks $j$ yang juga terkadang digunakan untuk menggantikan $i$, sebab $i$ dapat bermakna ambigu. Sebagai contoh, dalam ilmu teknik listrik dan teknik kendali, unit imajiner biasanya dilambangkan dengan $j$ alih-alih $i$, karena $i$ biasanya digunakan untuk menyatakan arus listrik.

Definisi

Nilai siklus perpangkatan dari i :
$...$ (daerah yang berwarna biru menandakan pola berulang)
$i^{-3}=i$
$i^{-2}=-1$
$i^{-1}=-i$
$i^{0}=1$
$i^{1}=i$
$i^{2}=-1$
$i^{3}=-i$
$i^{4}=1$
$i^{5}=i$
$i^{6}=-1$
$...$ (daerah yang berwarna biru menandakan pola berulang)

Bilangan imajiner $i$ didefinisikan hanya dengan menggunakan sifat bahwa akar kuadratnya adalah $-1$:

$$i^{2}=-1.$$

Oleh karena itu, $i$ dan $-i$ sama-sama merupakan akar kuadrat dari $-1$.

Operasi bilangan real dapat diperluas ke bilangan imajiner dan bilangan kompleks, dengan memperlakukan $i$ sebagai kuantitas yang tidak diketahui saat memanipulasi ekspresi (dan menggunakan definisi untuk menggantikan $i^{2}$ dengan −1). Perpangkatan dari $i$ yang lebih tinggi dapat digantikan dengan $-i$, $1$, $i$, atau $-1$:

$${\begin{aligned}i^{3}&=i^{2}i=(-1)i=-i\\i^{4}&=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\\i^{5}&=i^{4}i=(1)i=i.\end{aligned}}$$

Hal ini dapat diperlakukan cara yang serupa untuk sebarang bilangan real tak nol:

$$i^{0}=i^{1-1}=i^{1}i^{-1}=i^{1}{\frac {1}{i}}=i{\frac {1}{i}}={\frac {i}{i}}=1.$$

Sebagai bilangan kompleks, $i$ dapat dinyatakan dalam sistem koordinat Cartesius berdimensi dua sebagai $0+1i$, yang terdiri dari nol buah komponen real dan satu buah komponen imajiner. Dalam bentuk polar, $i$ dapat dinyatakan sebagai $1\times e^{i\pi /2}$ (atau cukup tulis $e^{i\pi /2}$), dengan nilai mutlak dari 1 dan argumen dari $\pi /2$ radian (dan juga ditambahkan dengan sebarang kelipatan dari $2\pi$). Dalam bilangan kompleks, atau disebut bidang Argand, yang merupakan pandangan bidang Cartesius yang khusus, $i$ adalah titik yang terletak dengan jarak 1 satuan dari titik asal di sepanjang sumbu imajiner.

Sifat

Akar kuadrat dan akar kubik

Dua buah akar kuadrat dari $i$ dalam bidang kompleks

Tiga buah akar kubik dari $i$ dalam bidang kompleks

Sama seperti semua bilangan kompleks tak nol, $i$ mempunyai dua buah akar kuadrat, yaitu

$$\pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).$$

Dengan menguadratkan kedua ekspresi tersebut, akan menghasilkan:

$${\begin{aligned}\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ &=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\ \\&=i.\end{aligned}}$$

Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, akan didapatkan

$${\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).$$

Tiga buah akar kubik dari $i$ adalah:

$$\left(-i,{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}},-{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}\right).$$

Sama seperti semua akar dari 1, semua akar dari $i$ adalah titik sudut poligon beraturan yang terletak di dalam lingkaran satuan di bidang kompleks.