Lompat ke isi

Fungsi univalen

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Untuk kegunaan lain, lihat Univalen

Dalam analisis kompleks, suatu fungsi holomorfik pada suatu himpunan bagian terbuka dari bidang kompleks disebut univalen jika fungsi tersebut adalah fungsi injektif.[1][2]

Misalkan adalah cakram terbuka dari himpunan semua bilangan kompleks, maka fungsi adalah fungsi univalen pada , sebab persamaan (dengan ) mengakibatkan Oleh karena , maka , sehingga terbukti bahwa fungsi injektif pada .

Sifat dasar

[sunting | sunting sumber]

Jika dan adalah dua himpunan terbuka terhubung pada bidang kompleks, dan adalah fungsi univalen sedemikian sehingga (atau dengan kata lain, fungsi bersifat surjektif), maka

  • fungsi memiliki invers
  • juga merupakan fungsi holomorfik

Lebih lanjut, berdasarkan kaidah rantai, diperoleh

Perbandingan dengan fungsi riil

[sunting | sunting sumber]

Dibandingkan fungsi kompleks holomorfik, pernyataan-pernyataan ini gagal terpenuhi oleh fungsi riil analitik. Sebagai contoh, diberikan fungsi dengan Terlihat jelas bahwa fungsi adalah fungsi injektif, namun turunannya bernilai saat , dan inversnya tidak analitik, atau bahkan terdiferensialkan, pada seluruh interval . Akibatnya, saat domain fungsinya diperbesar menjadi himpunan terbuka , maka fungsinya gagal bersifat injektif, sebab dengan dan adalah bilangan riil positif yang kurang dari jari-jari sebagai persekitaran dari .

Lihat juga

[sunting | sunting sumber]
  1. ^ (Conway 1995, hlm. 32, chapter 14: Conformal equivalence for simply connected regions, Definition 1.12: "A function on an open set is univalent if it is analytic and one-to-one.")
  2. ^ (Nehari 1975)

Referensi

[sunting | sunting sumber]