Fungsi univalen

Untuk kegunaan lain, lihat Univalen

Dalam analisis kompleks, suatu fungsi holomorfik pada suatu himpunan bagian terbuka dari bidang kompleks disebut univalen jika fungsi tersebut adalah fungsi injektif.

Contoh

Misalkan $B_{r}(a)=\left\{z\in \mathbb {C} \,\colon \,\left|z-a\right|<r\right\}$ adalah cakram terbuka dari himpunan semua bilangan kompleks, maka fungsi $f\colon z\mapsto \left(z+1\right)^{2}$ adalah fungsi univalen pada $B_{1}(0)$, sebab persamaan $f(p)=f(q)$ (dengan $p,\,q\in B_{1}(0)$) mengakibatkan

$${\begin{aligned}0&=f(q)-f(p)\\&=\left(q+1\right)^{2}-\left(p+1\right)^{2}\\&=(q+p+2)(q-p)\end{aligned}}$$

Oleh karena $q+p+2\neq 0$, maka $q-p=0$, sehingga terbukti bahwa fungsi $f$ injektif pada $B_{1}(0)$.

Sifat dasar

Jika $D_{1}$ dan $D_{2}$ adalah dua himpunan terbuka terhubung pada bidang kompleks, dan $f\colon D_{1}\to D_{2}$ adalah fungsi univalen sedemikian sehingga

$$f(D_{1})=D_{2}$$

(atau dengan kata lain, fungsi $f$ bersifat surjektif), maka

• $f'(a)\neq 0\qquad \forall a\in D_{1}$
• fungsi $f$ memiliki invers
• $f^{-1}(z)$ juga merupakan fungsi holomorfik

Lebih lanjut, berdasarkan kaidah rantai, diperoleh

$$(f^{-1})'(f(z))={\dfrac {1}{f'(z)}}\qquad \forall z\in D_{1}$$

Perbandingan dengan fungsi riil

Dibandingkan fungsi kompleks holomorfik, pernyataan-pernyataan ini gagal terpenuhi oleh fungsi riil analitik. Sebagai contoh, diberikan fungsi $f\colon (-1,\,1)\to (-1,\,1)$ dengan

$$f(x)=x^{3}$$

Terlihat jelas bahwa fungsi $f$ adalah fungsi injektif, namun turunannya bernilai $0$ saat $x=0$, dan inversnya tidak analitik, atau bahkan terdiferensialkan, pada seluruh interval $(-1,\,1)$. Akibatnya, saat domain fungsinya diperbesar menjadi himpunan terbuka $D_{1}\subset \mathbb {C}$, maka fungsinya gagal bersifat injektif, sebab

$$f(k\omega )=f(k)\quad {\text{namun}}\quad k\omega \neq k$$

dengan $\omega =\left\{e^{{\tfrac {2}{3}}\pi i},\,e^{{\tfrac {4}{3}}\pi i}\right\}$ dan $k$ adalah bilangan riil positif yang kurang dari jari-jari $D_{1}$ sebagai persekitaran dari $0$.

Lihat juga

• Pemetaan biholomorfik
• Teorema De Branges
• Teorema Koebe perempat
• Teorema pemetaan Riemann
• Kriteria Nevanlinna

Referensi

• (Inggris)Conway, John B. (1995). "Conformal Equivalence for Simply Connected Regions". Functions of One Complex Variable II. Graduate Texts in Mathematics (dalam bahasa Inggris). 159. doi:10.1007/978-1-4612-0817-4. ISBN 978-1-4612-6911-3. 
• (Inggris)"Univalent Functions". Sources in the Development of Mathematics (dalam bahasa Inggris). 2011. hlm. 907–928. doi:10.1017/CBO9780511844195.041. ISBN 9780521114707. 
• (Inggris)Duren, P. L. (1983). Univalent Functions (dalam bahasa Inggris). Springer New York, NY. hlm. XIV, 384. ISBN 978-1-4419-2816-0. 
• (Inggris)Gong, Sheng (1998). Convex and Starlike Mappings in Several Complex Variables (dalam bahasa Inggris). doi:10.1007/978-94-011-5206-8. ISBN 978-94-010-6191-9. 
• (Inggris)Jarnicki, Marek; Pflug, Peter (2006). "A remark on separate holomorphy". Studia Mathematica (dalam bahasa Inggris). 174 (3): 309–317. arXiv:math/0507305 . doi:10.4064/SM174-3-5 . 
• (Inggris)Nehari, Zeev (1975). Conformal mapping (dalam bahasa Inggris). New York: Dover Publications. hlm. 146. ISBN 0-486-61137-X. OCLC 1504503.