Fungsi univalen
- Untuk kegunaan lain, lihat Univalen
Dalam analisis kompleks, suatu fungsi holomorfik pada suatu himpunan bagian terbuka dari bidang kompleks disebut univalen jika fungsi tersebut adalah fungsi injektif.[1][2]
Contoh
[sunting | sunting sumber]Misalkan adalah cakram terbuka dari himpunan semua bilangan kompleks, maka fungsi adalah fungsi univalen pada , sebab persamaan (dengan ) mengakibatkan Oleh karena , maka , sehingga terbukti bahwa fungsi injektif pada .
Sifat dasar
[sunting | sunting sumber]Jika dan adalah dua himpunan terbuka terhubung pada bidang kompleks, dan adalah fungsi univalen sedemikian sehingga (atau dengan kata lain, fungsi bersifat surjektif), maka
- fungsi memiliki invers
- juga merupakan fungsi holomorfik
Lebih lanjut, berdasarkan kaidah rantai, diperoleh
Perbandingan dengan fungsi riil
[sunting | sunting sumber]Dibandingkan fungsi kompleks holomorfik, pernyataan-pernyataan ini gagal terpenuhi oleh fungsi riil analitik. Sebagai contoh, diberikan fungsi dengan Terlihat jelas bahwa fungsi adalah fungsi injektif, namun turunannya bernilai saat , dan inversnya tidak analitik, atau bahkan terdiferensialkan, pada seluruh interval . Akibatnya, saat domain fungsinya diperbesar menjadi himpunan terbuka , maka fungsinya gagal bersifat injektif, sebab dengan dan adalah bilangan riil positif yang kurang dari jari-jari sebagai persekitaran dari .
Lihat juga
[sunting | sunting sumber]- Pemetaan biholomorfik
- Teorema De Branges
- Teorema Koebe perempat
- Teorema pemetaan Riemann
- Kriteria Nevanlinna
Catatan
[sunting | sunting sumber]- ^ (Conway 1995, hlm. 32, chapter 14: Conformal equivalence for simply connected regions, Definition 1.12: "A function on an open set is univalent if it is analytic and one-to-one.")
- ^ (Nehari 1975)
Referensi
[sunting | sunting sumber]- (Inggris)Conway, John B. (1995). "Conformal Equivalence for Simply Connected Regions". Functions of One Complex Variable II. Graduate Texts in Mathematics (dalam bahasa Inggris). 159. doi:10.1007/978-1-4612-0817-4. ISBN 978-1-4612-6911-3.
- (Inggris)"Univalent Functions". Sources in the Development of Mathematics (dalam bahasa Inggris). 2011. hlm. 907–928. doi:10.1017/CBO9780511844195.041. ISBN 9780521114707.
- (Inggris)Duren, P. L. (1983). Univalent Functions (dalam bahasa Inggris). Springer New York, NY. hlm. XIV, 384. ISBN 978-1-4419-2816-0.
- (Inggris)Gong, Sheng (1998). Convex and Starlike Mappings in Several Complex Variables (dalam bahasa Inggris). doi:10.1007/978-94-011-5206-8. ISBN 978-94-010-6191-9.
- (Inggris)Jarnicki, Marek; Pflug, Peter (2006). "A remark on separate holomorphy". Studia Mathematica (dalam bahasa Inggris). 174 (3): 309–317. arXiv:math/0507305 . doi:10.4064/SM174-3-5 .
- (Inggris)Nehari, Zeev (1975). Conformal mapping (dalam bahasa Inggris). New York: Dover Publications. hlm. 146. ISBN 0-486-61137-X. OCLC 1504503.