Teorema akar rasional

$x^{3}-4x^{2}+2x-8=0$

Nilai $x$	Nilai $P(x)$
$-8$	$-792$
$-4$	$-144$
$-2$	$-36$
$-1$	$-15$
$1$	$-9$
$2$	$-12$
$4$	$0$
$8$	$264$

Teorema akar rasional atau uji akar rasional atau teorema rasional nol adalah teorema yang pertama kali ditemukan oleh René Descartes pada abad ke-17. Teorema ini menjelaskan persamaan polinomial dengan koefisien adalah bilangan bulat dan solusi akarnya berupa bilangan rasional. Teorema mengatakan bahwa untuk persamaan

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0$,

dimana $a_{0},\dots ,a_{n}\in \mathbb {Z}$. Jika persamaan memiliki suatu akar rasional, maka bentuk akar tersebut adalah

$x=\left\{{\frac {\pm {\text{faktor dari }}a_{0}}{\pm {\text{faktor dari }}a_{n}}}\right\}$,

asalkan penyebut dan pembilang pada suatu solusi $x$ (adalah bilangan rasional) harus membagi habis $a_{n}$ dan $a_{0}$.

Misalnya, diberikan persamaan $P(x)=x^{3}-4x^{2}+2x-8=0$. Pada kasus ini, $-8$ memiliki faktor $\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 8$ dan $1$ memiliki faktor $\pm 1$. Maka, akar pada penyelesaian tersebut adalah $\pm \{1,2,4,8\}$. Dengan memasukkan semua kemungkinan nilai $x$ agar persamaan di atas sama dengan nol, maka kita memperoleh $x=4$.

Bukti

Misal ${\textstyle x={\frac {p}{q}}}$ adalah akar rasional pada persamaan polinomial $P(x)$. Kita cukup membuktikan teorema ini bahwa $p\mid a_{0}$ dan $q\mid a_{n}$, dimana $\operatorname {FPB} (p,q)=1$. Substitusi nilai $x$ sehingga kita memperoleh

$a_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\frac {p}{q}}\right)+a_{0}=0$.

Kita akan membuktikan bahwa $p$ membagi habis $a_{0}$. Mula-mula, kita pindah-ruaskan $a_{0}$.

$a_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\frac {p}{q}}\right)=-a_{0}$.

Bagi kedua ruas dengan $q^{n}$ dan faktor-keluarkan $p$ untuk ruas kiri. Kita memperoleh

$p\left(a_{n}p^{n-1}+\cdots +a_{1}\right)=-a_{0}q^{n}$.

Disini, kita memperoleh bahwa $p$ membagi habis $a_{0}$. Sekarang, kita membuktikan $q$ membagi habis $a_{n}$. Dengan cara yang serupa, kita pindah-ruaskan ${\textstyle a_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}}$ dan kalikan kedua ruas dengan $q^{n}$.

$q\left(a_{n-1}p^{n-1}+\cdots +a_{1}pq^{n+1}+a_{0}q^{n}\right)=-a_{n}p^{n}$.

Disini, kita memperoleh bahwa $q$ membagi habis $a_{n}$. $\blacksquare$