Persamaan Born–Landé

Persamaan Born–Landé adalah cara menghitung energi kisi kristal senyawa ionik. Pada tahun 1918 Max Born dan Alfred Landé mengusulkan bahwa energi kisi dapat diturunkan dari potensial elektrostatik dari kisi ionik dan istilah energi potensial repulsif.

$E=-{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)$

dengan:

• N_A = konstanta Avogadro;
• M = konstanta Madelung, terkait dengan geometri kristal;
• z⁺ = jumlah muatan kation
• z⁻ = jumlah muatan anion
• e = muatan elementer, 1,6022×10⁻¹⁹ C
• ε₀ = permitivitas ruang hampa

  4πε₀ = 1,112×10⁻¹⁰ C²/(J·m)

• r₀ = jarak ke ion terdekat
• n = eksponen Born, biasanya bilangan antara 5 dan 12, yang ditentukan secara eksperimen dengan menentukan kompresibilitas padatan, atau diturunkan secara teoritis.

Derivasi

Kisi ion dimodelkan sebagai rakitan bola elastis keras yang dikompresi bersama-sama oleh saling tarik muatan elektrostatik pada ion. Mereka mencapai jarak kesetimbangan teramati yang terpisah karena penyeimbangan tolakan jarak pendek.

Potensial elektrostatik

Energi potensial elektrostatik, E_pasangan, antara pasangan ion yang sama tetapi berlawanan muatan adalah:

$E_{\text{pasangan}}=-{\frac {z^{2}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}$

dengan

z = besar muatan salah satu ion

e = muatan elementer, 1,6022×10⁻¹⁹ C

ε₀ = permitivitas ruang hampa

4πε₀ = 1,112×10⁻¹⁰ C²/(J·m)

r = jarak yang memisahkan pusat ion

Untuk kisi sederhana yang terdiri dari ion dengan muatan yang sama tetapi berlawanan dalam rasio 1:1, interaksi antara satu ion dan semua ion kisi lainnya perlu dijumlahkan untuk menghitung E_M, kadang-kadang disebut energi Madelung atau energi kisi:

$E_{\text{M}}=-{\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r}}$

dengan

M = konstanta Madelung, yang berhubungan dengan geometri kristal

r = jarak terdekat antara dua ion dengan muatan berlawanan

Istilah repulsif

Born dan Landé menyarankan bahwa interaksi tolakan antara ion kisi akan berbanding lurus dengan 1rⁿ sehingga istilah energi repulsif, E_R, akan dinyatakan:

$E_{\text{R}}={\frac {B}{r^{n}}}$

dengan

B = skala konstan kekuatan interaksi repulsif

r = jarak terdekat antara dua ion dengan muatan berlawanan

n = eksponen Born, angka antara 5 dan 12 yang menyatakan ketajaman halangan repulsif

Energi total

Energi potensial intensif total suatu ion dalam kisi dapat dinyatakan sebagai jumlah dari potensial Madelung dan potensial repulsif:

$E(r)=-{\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r}}+{\frac {B}{r^{n}}}$

Meminimalkan energi ini sehubungan dengan r menghasilkan pemisahan kesetimbangan r₀ dalam hal konstanta yang tidak diketahui B:

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} r}}&={\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}-{\frac {nB}{r^{n+1}}}\\0&={\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r_{0}^{2}}}-{\frac {nB}{r_{0}^{n+1}}}\\r_{0}&=\left({\frac {4\pi \epsilon _{0}nB}{z^{2}e^{2}M}}\right)^{\frac {1}{n-1}}\\B&={\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}n}}r_{0}^{n-1}\end{aligned}}$

Dengan mengevaluasi energi potensial intensif minimum dan menggantikan ekspresi untuk B dalam hal r₀ menghasilkan persamaan Born–Landé:

$E(r_{0})=-{\frac {Mz^{2}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)$

Energi kisi terhitung

Persamaan Born–Landé menghasilkan ide energi kisi suatu sistem.

Senyawa	Terhitung	Eksperimen
NaCl	−756 kJ/mol	−787 kJ/mol
LiF	−1007 kJ/mol	−1046 kJ/mol
CaCl2	−2170 kJ/mol	−2255 kJ/mol

Eksponen Born

Eksponen Born biasanya antara 5 dan 12. Nilai pendekatan eksperimen sebagai berikut:

Konfigurasi ion	He	Ne	Ar, Cu+	Kr, Ag+	Xe, Au+
n	5	7	9	10	12

Lihat juga

• Persamaan Kapustinskii
• Persamaan Born–Mayer