Pertidaksamaan

Daerah "feasible" dalam pemrograman linear merupakan kumpulan dari beberapa pertidaksamaan.

Pertidaksamaan dalam matematika adalah kalimat/pernyataan matematika yang menunjukkan perbandingan ukuran dua objek atau lebih. Dua notasi dasar dalam pertidaksamaan adalah:

Notasi pertidaksamaan

Notasi	Arti	Contoh
<	lebih kecil kurang dari	2 < 3 x + 1 < 3
>	lebih besar lebih dari	3 > 2 3x + 1 > 5
≤	lebih kecil atau sama dengan batas dibawah maksimum maksimal sebanyaknya paling banyak tidak lebih dari sekurangnya	2 ≤ 3 x + 1 ≤ 3
≥	lebih besar atau sama dengan batas diatas minimum minimal sesedikitnya paling sedikit tidak kurang dari selebihnya	3 ≥ 2 3x + 1 ≥ 5
≠	tidak sama dengan	2 ≠ 3 x + 1 ≠ 3
a < x < b	diantara a dan b	2 < x < 5
a ≤ x < b	diantara a dan b bila nilai minimal a	2 ≤ x < 5
a < x ≤ b	diantara a dan b bila maksimal b	2 < x ≤ 5
a ≤ x ≤ b	diantara a dan b bila minimal a dan maksimal b	2 ≤ x ≤ 5

Jenis-jenis pertidaksamaan

Pertidaksamaan Linear

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan $6x-7<5x+3$!

$6x-7<5x+3$

$6x-5x<3+7$

$x<10$

$HP=\{x|x<10,x\in R\}$

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan $5-2x\geq 4x-1$!

$5-2x\geq 4x-1$

$-2x-4x\geq -1-5$

$-6x\geq -6$ (karena nilai negatif maka tanda harus terbalik)

$x\leq 1$

$HP=\{x|x\leq 1,x\in R\}$

Pertidaksamaan Kuadrat

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan $x^{2}-7x>10-4x$!

$x^{2}-7x>10-4x$

$x^{2}-3x-10>0$

dibuat harga nol

$x^{2}-3x-10=0$

$(x+2)(x-5)=0$

$x=-2\lor x=5$

dibuat irisan

	-2		5
+++	N/A	----	N/A	+++

$HP=\{x|x<-2\lor x>5,x\in R\}$

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan $2-x^{2}\leq x-10$!

$2-x^{2}\leq x-10$

$x^{2}+x-12\geq 0$

dibuat harga nol

$x^{2}+x-12=0$

$(x+4)(x-3)=0$

$x=-4\lor x=3$

dibuat irisan

	(-4)		(3)
+++	N/A	----	N/A	+++

$HP=\{x|x\leq -4\lor x\geq 3,x\in R\}$

Pertidaksamaan Irasional

Dalam bentuk pertidaksamaan irasional sebagai berikut:

${\sqrt {f(x)}}<{\sqrt {g(x)}}$ atau ${\sqrt {f(x)}}>{\sqrt {g(x)}}$

kuadratkan kedua sisinya akan menjadi $f(x)<g(x)$ atau $f(x)>g(x)$ serta haruslah mempunyai syarat yaitu f(x) ≥ 0 dan g(x) ≥ 0.

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan ${\sqrt {x^{2}-4x}}<{\sqrt {10-x}}$!

${\sqrt {x^{2}-4x}}<{\sqrt {10-x}}$

$({\sqrt {x^{2}-4x}})^{2}<({\sqrt {10-x}})^{2}$

$x^{2}-4x<10-x$

$x^{2}-3x-10<0$

Irisan 1

$x^{2}-3x-10<0$

dibuat harga nol

$x^{2}-3x-10=0$

$(x+2)(x-5)=0$

$x=-2\lor x=5$

karena ada syarat akar maka:

Irisan 2

$x^{2}-4x\geq 0$

dibuat harga nol

$x^{2}-4x=0$

$x(x-4)=0$

$x=0\lor x=4$

Irisan 3

$10-x\geq 0$

$x\leq 10$

gabungkan umum dan syarat

Irisan		-2		(0)		(4)		5		(10)
pertama	tidak	N/A	ya	N/A	ya	N/A	ya	N/A	tidak	N/A	tidak
kedua	ya	N/A	ya	N/A	tidak	N/A	ya	N/A	ya	N/A	ya
ketiga	ya	N/A	ya	N/A	ya	N/A	ya	N/A	ya	N/A	tidak

$HP=\{x|-2<x\leq 0\lor 4\leq x<5,x\in R\}$

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan ${\sqrt {x^{2}-4}}\geq {\sqrt {3x+50}}$!

${\sqrt {x^{2}-4}}\geq {\sqrt {3x+50}}$

$({\sqrt {x^{2}-4}})^{2}\geq ({\sqrt {3x+50}})^{2}$

$x^{2}-4\geq 3x+50$

$x^{2}-3x-54\geq 0$

Irisan 1

$x^{2}-3x-54\geq 0$

dibuat harga nol

$x^{2}-3x-54=0$

$(x+6)(x-9)=0$

$x=-6\lor x=9$

karena ada syarat akar maka:

Irisan 2

$x^{2}-4\geq 0$

dibuat harga nol

$x^{2}-4=0$

$(x+2)(x-2)=0$

$x=-2\lor x=2$

Irisan 3

$3x+50\geq 0$

$x\geq -{\frac {50}{3}}$

gabungkan umum dan syarat

Irisan		(-50/3)		(-6)		(-2)		(2)		(9)
pertama	ya	N/A	ya	N/A	tidak	N/A	tidak	N/A	tidak	N/A	ya
kedua	ya	N/A	ya	N/A	ya	N/A	tidak	N/A	ya	N/A	ya
ketiga	tidak	N/A	ya	N/A	ya	N/A	ya	N/A	ya	N/A	ya

$HP=\{x|{\frac {-50}{3}}\leq x\leq -6\lor x\geq 9,x\in R\}$

Pertidaksamaan Pecahan

Dalam bentuk pertidaksamaan pecahan sebagai berikut:

${\frac {f(x)}{g(x)}}*0$

di mana $f(x),g(x)$ adalah fungsi aljabar dengan $g(x)\neq 0$ dan $*$ merepresentasikan notasi pertidaksamaan.

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan ${\frac {x-4}{x-3}}<{\frac {x+1}{x-2}}$!

${\frac {x-4}{x-3}}<{\frac {x+1}{x-2}}$

${\frac {x-4}{x-3}}-{\frac {x+1}{x-2}}<0$

${\frac {(x-4)(x-2)-(x+1)(x-3)}{(x-3)(x-2)}}<0$

${\frac {(x^{2}-6x+8)-(x^{2}-2x-3)}{(x-3)(x-2)}}<0$

${\frac {-4x+11}{(x-3)(x-2)}}<0$

$-4x+11<0$

$x<{\frac {11}{4}}$

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1

$x-3\neq 0$

$x\neq 3$

penyebut 2

$x-2\neq 0$

$x\neq 2$

dibuat irisan

	2		11/4		3
+++	N/A	----	N/A	+++	N/A	----

$HP=\{x|2<x<{\frac {11}{4}}\lor x>3,x\in R\}$

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan ${\frac {x+6}{x+17}}\geq {\frac {1}{x-3}}$!

${\frac {x+6}{x+17}}\geq {\frac {1}{x-3}}$

${\frac {x+6}{x+17}}-{\frac {1}{x-3}}\geq 0$

${\frac {(x+6)(x-3)-(x+17)}{(x+17)(x-3)}}\geq 0$

${\frac {x^{2}+3x-18-x-17}{(x+17)(x-3)}}\geq 0$

${\frac {x^{2}+2x-35}{(x-3)(x-2)}}\geq 0$

$x^{2}+2x-35\geq 0$

dibuat harga nol

$x^{2}+2x-35=0$

$(x+7)(x-5)=0$

$x=-7\lor x=5$ (tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1

$x+17\neq 0$

$x\neq -17$

penyebut 2

$x-3\neq 0$

$x\neq 3$

dibuat irisan

	-17		(-7)		3		(5)
+++	N/A	----	N/A	+++	N/A	----	N/A	+++

$HP=\{x|x<-17\lor -7\leq x<3\lor x\geq 5,x\in R\}$

Pertidaksamaan Mutlak

Dalam bentuk pertidaksamaan mutlak sebagai berikut:

Model I

$|f(x)|<k$ atau $|f(x)|>k$

haruslah mempunyai dua nilai yaitu

$|f(x)|=\left\{{\begin{matrix}|f(x)|<k,&{\mbox{maka penyelesaian}}-k<f(x)<k\\\\|f(x)|>k,&{\mbox{maka penyelesaian}}f(x)<-k\lor f(x)>k\end{matrix}}\right.$

Model II

Jika $|f(x)|<|g(x)|$ atau $|f(x)|>|g(x)|$ maka kuadratkan kedua sisi tersebut akan menjadi $[f(x)]^{2}-[g(x)]^{2}<0$ atau $[f(x)]^{2}-[g(x)]^{2}>0$.

Model III

Jika $|f(x)|$ terkurung maka f(x) menghasilkan $f(x)\geq 0$ serta -f(x) menghasilkan $f(x)<0$.

Pertidaksamaan mutlak akan memungkinkan definit + dan - karena tidak memotong dan menyinggung sumbu y.

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan $|x^{2}+x|<12$!

$|x^{2}+x|<12$

karena f(x) < g(x) maka penyelesaian -g(x) < f(x) < g(x)

$-12<x^{2}+x<12$

untuk $-12<x^{2}+x$

$-12<x^{2}+x$

$x^{2}+x+12>0$ definit +

untuk $x^{2}+x<12$

$x^{2}+x<12$

$x^{2}+x-12<0$

dibuat harga nol

$x^{2}+x-12=0$

$(x+4)(x-3)<0$

$x=-4\lor x=3$

dibuat irisan

	-4		3
+++	N/A	----	N/A	+++

$-4<x<3$

$HP=\{x|-4<x<3,x\in R\}$

• Tentukan nilai x dari persamaan $|x^{2}-4x-12|-|7-6x|\geq 5$!

terlebih dahulu untuk mempunyai batas-batas yang ada

untuk | x^2 - 4x - 12 |

$|x^{2}-4x-12|=\left\{{\begin{matrix}x^{2}-4x-12,&{\mbox{maka penyelesaian}}x^{2}-4x-12\geq 0\\\\-(x^{2}-4x-12),&{\mbox{maka penyelesaian}}x^{2}-4x-12<0\end{matrix}}\right.$

batasan f(x)

$x^{2}-4x-12\geq 0$

dibuat harga nol

$x^{2}-4x-12=0$

$(x+2)(x-6)=0$

$x=-2\lor x=6$

dibuat irisan

	-2		6
+++	N/A	----	N/A	+++

$x\leq -2\lor x\geq 6$

batasan -f(x)

$x^{2}-4x-12<0$

dibuat harga nol

$x^{2}-4x-12=0$

$(x+2)(x-6)=0$

$x=-2\lor x=6$

dibuat irisan

	-2		6
+++	N/A	----	N/A	+++

$-2<x<6$

untuk | 7 - 6x |

$|7-6x|=\left\{{\begin{matrix}7-6x,&{\mbox{maka penyelesaian}}7-6x\geq 0\\\\-(7-6x),&{\mbox{maka penyelesaian}}7-6x<0\end{matrix}}\right.$

batasan f(x)

$7-6x\geq 0$

$x\leq {\frac {7}{6}}$

batasan -f(x)

$7-6x<0$

$x>{\frac {7}{6}}$

keempat batas-batas akan dibuat irisan

irisan		-2		7/6		6
pertama	x^2 - 4x - 12	N/A		N/A		N/A	x^2 - 4x - 12
kedua		N/A	-(x^2 - 4x - 12)	N/A	-(x^2 - 4x - 12)	N/A
ketiga	7 - 6x	N/A	7 - 6x	N/A		N/A
keempat		N/A		N/A	-(7 - 6x)	N/A	-(7 - 6x)

untuk x <= -2

$x^{2}-4x-12-(7-6x)\geq 5$

$x^{2}-4x-12-7+6x-5\geq 0$

$x^{2}+2x-24\geq 0$

dibuat harga nol

$x^{2}+2x-24=0$

$(x+6)(x-4)=0$

$x=-6\lor x=4$

dibuat irisan

	(-6)		(-2)		(4)
Ya	N/A	Ya	N/A	Tidak	N/A	Tidak
+++	N/A	----	N/A	----	N/A	+++

$x\leq -6$

untuk -2 < x <= 7/6

$-(x^{2}-4x-12)-(7-6x)\geq 5$

$-x^{2}+4x+12-7+6x-5\geq 0$

$x^{2}-10x\leq 0$

dibuat harga nol

$x^{2}-10x=0$

$x(x-10)=0$

$x=0\lor x=10$

dibuat irisan

	-2		(0)		(7/6)		(10)
Tidak	N/A	Ya	N/A	Ya	N/A	Tidak	N/A	Tidak
+++	N/A	+++	N/A	----	N/A	----	N/A	+++

$0\leq x\leq {\frac {7}{6}}$

untuk 7/6 < x < 6

$-(x^{2}-4x-12)-(-(7-6x))\geq 5$

$-x^{2}+4x+12+7-6x-5\geq 0$

$x^{2}+2x\leq 0$

dibuat harga nol

$x^{2}+2x=0$

$x(x+2)=0$

$x=0\lor x=-2$

dibuat irisan

	(-2)		(0)		7/6		6
Tidak	N/A	Tidak	N/A	Tidak	N/A	Ya	N/A	Tidak
+++	N/A	----	N/A	+++	N/A	+++	N/A	+++

$\varnothing$

untuk x >= 6

$x^{2}-4x-12-(-(7-6x))\geq 5$

$x^{2}-4x-12+7-6x-5\geq 0$

$x^{2}-10x-10\geq 0$ definit +

$\varnothing$

gabungkan keempat batas-batas (sesuai dengan himpunan gabungan). jadi:

$HP=\{x|x\leq -6\lor 0\leq x\leq {\frac {7}{6}},x\in R\}$

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan $|{\frac {x+4}{10-x}}|<|{\frac {1}{x-2}}|$!

$|{\frac {x+4}{10-x}}|<|{\frac {1}{x-2}}|$

$({\frac {x+4}{10-x}})^{2}<({\frac {1}{x-2}})^{2}$

$({\frac {x+4}{10-x}})^{2}-({\frac {1}{x-2}})^{2}<0$

$({\frac {x+4}{10-x}}+{\frac {1}{x-2}})({\frac {x+4}{10-x}}-{\frac {1}{x-2}})<0$

$({\frac {(x+4)(x-2)+10-x}{(10-x)(x-2)}})({\frac {(x+4)(x-2)-(10-x)}{(10-x)(x-2)}})<0$

$({\frac {x^{2}+2x-8+10-x}{(10-x)(x-2)}})({\frac {x^{2}+2x-8-10+x}{(10-x)(x-2)}})<0$

$({\frac {x^{2}+x+2}{(10-x)(x-2)}})({\frac {x^{2}+3x-18}{(10-x)(x-2)}})<0$

akar dari ${\frac {x^{2}+x+2}{(10-x)(x-2)}}$

${\frac {x^{2}+x+2}{(10-x)(x-2)}}<0$

$x^{2}+x+2=0$ definit +

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1

$10-x\neq 0$

$x\neq 10$

penyebut 2

$x-2\neq 0$

$x\neq 2$

akar dari ${\frac {x^{2}+3x-18}{(10-x)(x-2)}}$

${\frac {x^{2}+3x-18}{(10-x)(x-2)}}<0$

$x^{2}+3x-18<0$

dibuat harga nol

$x^{2}+3x-18=0$

$(x+6)(x-3)=0$

$x=-6\lor x=3$ (tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1

$10-x\neq 0$

$x\neq 10$

penyebut 2

$x-2\neq 0$

$x\neq 2$

dibuat irisan

	-6		2*		3		10*
+++	N/A	----	N/A	----	N/A	+++	N/A	+++

nb: * = mempunyai 2 akar

$HP=\{x|-6<x<3,x\in R\}$

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan $|{\sqrt {x^{2}-4x}}|\geq |{\sqrt {3x-10}}|$!

$|{\sqrt {x^{2}-4x}}|\geq |{\sqrt {3x-10}}|$

$({\sqrt {x^{2}-4x}})^{2}\geq ({\sqrt {3x-10}})^{2}$

$x^{2}-4x\geq 3x-10$

$x^{2}-7x+10\geq 0$

dibuat harga nol

$x^{2}-7x+10=0$

$(x-2)(x-5)=0$

$x=2\lor x=5$

dibuat irisan

	2		5
+++	N/A	----	N/A	+++

$x\leq 2\lor x\geq 5$

karena ada syarat akar maka:

akar 1

$x^{2}-4x\geq 0$

dibuat harga nol

$x^{2}-4x=0$

$x(x-4)=0$

$x=0\lor x=4$

dibuat irisan

	0		4
+++	N/A	----	N/A	+++

$x\leq 0\lor x\geq 4$

akar 2

$3x-10\geq 0$

$x\geq {\frac {10}{3}}$

gabungkan umum dan syarat

irisan		(0)		(2)		(10/3)		(4)		(5)
pertama	ya	N/A	ya	N/A	tidak	N/A	tidak	N/A	tidak	N/A	ya
kedua	ya	N/A	tidak	N/A	tidak	N/A	tidak	N/A	ya	N/A	ya
ketiga	tidak	N/A	tidak	N/A	tidak	N/A	ya	N/A	ya	N/A	ya

$HP=\{x|x\geq 5,x\in R\}$

Pertidaksamaan aritmatika dan geometri

Lihat pula: Pertidaksamaan rata rata aritmatika dan geometri

Ada banyak pertidaksamaan antara cara. Contohnya, untuk bilangan positif a₁, a₂, …, a_n kita punya H ≤ G ≤ A ≤ Q, dimana

$H={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}$	(rata-rata harmonis),
$G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}$	(geometric mean),
$A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}$	(rata-rata aritmatika),
$Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}$	( rata rata kuadrat).

Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz

Lihat pula: Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz

Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz menyatakan bahwa untuk semua vektor u dan v dari ruang hasil kali dalam memang benar bahwa

$|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,$

where $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ adalah produk dalam. Contoh produk dalam mencakup produk titik nyata dan kompleks; Di ruang Euklides Rⁿ dengan hasil kali dalam standar, pertidaksamaan Cauchy-Schwarz adalah

$\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right).$

Pertidaksamaan pangkat

Sebuah "pertidaksamaan pangkat" adalah pertidaksamaan yang mengandung istilah bentuk a^b, di mana a dan b adalah bilangan positif nyata atau ekspresi variabel. Mereka sering muncul dalam latihan olimpiade matematika.

Contoh

• Dari bilangan riil x,

$e^{x}\geq 1+x.$

• Bila x > 0 dan p > 0, maka

${\frac {x^{p}-1}{p}}\geq \ln(x)\geq {\frac {1-{\frac {1}{x^{p}}}}{p}}.$

Dalam batas p → 0, batas atas dan bawah bertemu ln(x).

• Bila x > 0, maka

$x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}}.$

• Bila x > 0, maka

$x^{x^{x}}\geq x.$

• Bila x, y, z > 0, maka

$\left(x+y\right)^{z}+\left(x+z\right)^{y}+\left(y+z\right)^{x}>2.$

• Untuk bilangan riil a dan b ,

${\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}>e^{(a+b)/2}.$

• Bial x, y > 0 dan 0 < p < 1, maka

$x^{p}+y^{p}>\left(x+y\right)^{p}.$

• If x, y, z > 0, then

$x^{x}y^{y}z^{z}\geq \left(xyz\right)^{(x+y+z)/3}.$

• If a, b > 0, then

$a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}.$

• If a, b > 0, then

$a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}.$

• If a, b, c > 0, then

$a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}.$

• If a, b > 0, then

$a^{b}+b^{a}>1.$

Pertidaksamaan yang terkenal

Lihat pula: Daftar Pertidaksamaan

Matematikawan sering menggunakan pertidaksamaan untuk jumlah terikat yang rumus eksaknya tidak dapat dihitung dengan mudah. Beberapa ketidaksetaraan begitu sering digunakan sehingga memiliki nama:

• Pertidaksamaan Azuma
• Pertidaksamaan Bernoulli
• Pertidaksamaan Bell
• Pertidaksamaan Boole
• Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz
• Pertidaksamaan Chebyshev
• Pertidaksamaan Chernoff
• Pertidaksamaan Cramér–Rao
• Pertidaksamaan Hoeffding
• Pertidaksamaan Hölder
• Pertidaksamaan rata-rata aritmatika dan geometri
• Pertidaksamaan Jensen
• Pertidaksamaan Kolmogorov
• Pertidaksamaan Markov
• Pertidaksamaan Minkowski
• Pertidaksamaan Nesbitt
• Pertidaksamaan Pedoe
• Pertidaksamaan Poincaré
• Pertidaksamaan Samuelson
• Pertidaksamaan segitiga

Lihat pula

• Hubungan biner
• Biner (matematika), untuk penggunaan tanda <dan ›yang serupa sebagai tanda kurung
• Inklusi (teori himpunan)
• Inequation
• Interval (matematika)
• Daftar pertidaksamaan
• Daftar pertidaksamaan segitiga
• Himpunan yang dipesan sebagian
• Operator relasional, digunakan dalam bahasa pemrograman untuk menunjukkan ketidaksetaraan

Sumber

• Hardy, G., Littlewood J. E., Pólya, G. (1999). Inequalities. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8. Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)
• Beckenbach, E. F., Bellman, R. (1975). An Introduction to Inequalities. Random House Inc. ISBN 0-394-01559-2. Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)
• Drachman, Byron C., Cloud, Michael J. (1998). Inequalities: With Applications to Engineering. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98404-6. Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)
• Grinshpan, A. Z. (2005), "General inequalities, consequences, and applications", Advances in Applied Mathematics, 34 (1): 71–100, doi:10.1016/j.aam.2004.05.001  
• Murray S. Klamkin. "'Quickie' inequalities" (PDF). Math Strategies. 
• Arthur Lohwater (1982). "Introduction to Inequalities". Online e-book in PDF format. 
• Harold Shapiro (2005). "Mathematical Problem Solving". The Old Problem Seminar. Kungliga Tekniska högskolan. 
• "3rd USAMO". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2008-02-03. 
• Pachpatte, B. G. (2005). Mathematical Inequalities. North-Holland Mathematical Library. 67 (edisi ke-first). Amsterdam, The Netherlands: Elsevier. ISBN 0-444-51795-2. ISSN 0924-6509. MR 2147066. Zbl 1091.26008. 
• Ehrgott, Matthias (2005). Multicriteria Optimization. Springer-Berlin. ISBN 3-540-21398-8. 
• Steele, J. Michael (2004). The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54677-5. 

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Inequality", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Graph of Inequalities by Ed Pegg, Jr.
• AoPS Wiki entry about Inequalities