Bilangan transfinit

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Lompat ke: navigasi, cari

Bilangan transfinit (bahasa Inggris: Transfinite numbers) adalah bilangan yang "tak terhingga" (infinite) dalam artian bilangan yang lebih besar dari semua "bilangan finit" ("bilangan terhingga";, tetapi tidak harus merupakan "tak terhingga absolut" atau "tak terhingga mutlak". Istilah transfinit diperkenalkan oleh Georg Cantor, yang ingin menghindari sejumlah implikasi kata "infinite" ("tak terhingga") dalam hubungan dengan objek-objek yang bagaimanapun bukan "finite" ("terhingga"). Hanya sedikit penulis kontemporer yang setuju pemikiran ini. Penggunaan yang diterima sekarang adalah rujukan "transfinit" untuk "bilangan kardinal" sedangkan "tak terhingga" atau "infinite" untuk bilangan ordinal. Namun, istilah "transfinit" masih tetap dipakai.

Definisi[sunting | sunting sumber]

Sebagaimana bilangan terhingga, ada dua cara untuk membayangkan bilangan-bilangan transfinit, yaitu sebagai bilangan ordinal atau sebagai bilangan kardinal. Bukan seperti ordinal finit dan kardinal finit, ordinal transfinit dan kardinal transfinit mendefinisikan kelas-kelas bilangan yang berbeda.

  • ω (omega) didefinisikan sebagai bilangan ordinal transfinit terkecil dan merupakan jenis order bilangan asli menurut urutan linear biasa.
  • Alef-nol, , didefinisikan sebagai bilangan kardinal transfinit pertama dan merupakan kardinalitas himpunan tak terhingga dari bilangan asli. Jika aksioma pilihan tetap berlaku, bilangan kardinal yang lebih besar berikutnya adalah "alef-satu", . Jika tidak, mungkin saja ada bilangan kardinal lain yang tidak dapat dibandingkan dengan alef-satu dan lebih besar daripada alef-nol. Namun dalam kasus apapun, tidak ada bilangan kardinal antara alef-nol dan alef-satu.

Hipotesis continuum menyatakan bahwa tidak ada bilangan kardinal intermediate di antara alef-nol dan kardinalitas continuum (himpunan bilangan real): dengan kata lain, alef-satu adalah kardinalitas himpunan bilangan real. (Jika teori himpunan Zermelo–Fraenkel (ZFC) konsisten, maka baik hipotesis continuum maupun negasinya tidak dapat dibuktikan dari ZFC.)

Sejumlah penulis, termasuk P. Suppes dan J. Rubin, menggunakan istilah transfinite cardinal untuk merujuk kepada kardinalitas suatu "himpunan tak terhingga Dedekind", dalam konteks di mana ini mungkin tidak ekuivalen dengan "infinite cardinal"; yaitu dalam konteks di mana aksioma pilihan terhitung tidak diasumsikan atau tidak diketahui tetap. Berdasarkan definisi ini, hal-hal berikut adalah ekuivalen:

  • m adalah kardinal transfinit. Artinya, ada himpunan tak terhingga Dedekind A sedemikian sehingga kardinalitas A adalah m.
  • m + 1 = m.
  • m.
  • ada bilangan kardinal n sedemikian sehingga + n = m.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

Pustaka tambahan[sunting | sunting sumber]

Templat:Large numbers Templat:Infinity