Simetri turunan kedua

Dalam ilmu matematika, simetri turunan kedua adalah kemungkinan mengganti susunan pencarian turunan parsial suatu fungsi pada kondisi tertentu.

$f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$

Jika turunan parsial untuk $x_{i}$ ditandai dengan $i$ kecil, maka simetri turunan kedua adalah penegasan bahwa turunan parsial kedua$f_{ij}$ memenuhi identitas:

$f_{ij}=f_{ji}$

sehingga mereka membentuk n × n matriks simetri. Karakteristik ini juga disebut teorema Schwarz, teorema Clairaut atau teorema Young.

Dalam konteks persamaan diferensial parsial, simetri turunan kedua disebut kondisi integrabilitas Schwarz.

Pernyataan simetri secara formil

Simetri ini dapat ditulis sebagai berikut:

${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right).$

Ekspresi lain yang dapat digunakan adalah:

$\partial _{xy}f=\partial _{yx}f.$

Teorema Schwarz

Teorema Schwarz menyatakan bahwa jika

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

memiliki turunan parsial kedua kontinu pada titik manapun di $\mathbb {R} ^{n}$, misalnya, $(a_{1},\dots ,a_{n}),$ maka $\forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\},$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(a_{1},\dots ,a_{n})={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}(a_{1},\dots ,a_{n}).$

Bacaan lanjut

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Partial derivative", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4