Pengertian pangkal

Dalam matematika, logika, filsafat, dan sistem formal, pengertian pangkal^[1] adalah sebuah konsep yang tidak didefinisikan dalam istilah konsep yang telah ditentukan sebelumnya. Hal ini sering disebabkan secara informal, biasanya oleh daya tarik intuisi dan pengalaman sehari-hari. Dalam teori aksioma, hubungan antara pengertian pangkal dibatasi oleh aksioma.^[2] Beberapa penulis menyebut yang terakhir sebagai "mendefinisikan" pengertian pangkal dengan satu atau lebih aksioma, tetapi ini bisa menyesatkan. Teori formal tidak dapat mengeluarkan pengertian pangkal karena tekanan epistem dari regresi tak terhingga (di tiap argumen regresi).

Misalnya, dalam geometri kontemporer, istilah semacam titik (point), garis (line), dan berisi (contains) adalah contoh dari beberapa pengertian pangkal. Alih-alih mencoba mendefinisikannya,^[3] interaksi hal-hal tersebut diatur oleh aksioma seperti "Untuk setiap dua titik terdapat garis yang memuat keduanya" (dalam sistem aksioma Hilbert).^[4]

Rincian

Alfred Tarski menjelaskan peran pengertian pangkal sebagai berikut:^[5]

Ketika kami mulai membangun suatu disiplin tertentu, kami membedakan, pertama-tama, sekelompok kecil ekspresi disiplin ini yang bagi kami tampaknya dapat segera dipahami; ungkapan-ungkapan dalam kelompok ini kita sebut ISTILAH PRIMITIF atau ISTILAH YANG TIDAK TERDEFINISIKAN, dan kami menggunakannya tanpa menjelaskan artinya. Pada saat yang sama kami mengadopsi prinsip, yaitu untuk tidak menggunakan ekspresi lain dari disiplin yang sedang dipertimbangkan, kecuali maknanya telah ditentukan terlebih dahulu dengan bantuan istilah primitif dan ekspresi disiplin yang maknanya telah dijelaskan sebelumnya. Kalimat yang menentukan arti suatu istilah dengan cara ini disebut DEFINISI,...

Regresi yang tak terhindarkan terhadap pengertian pangkal dalam teori pengetahuan dijelaskan oleh Gilbert de B. Robinson :

Sangat mengejutkan bagi mereka yang non-ahli matematika bahwa tidak mungkin untuk mendefinisikan secara eksplisit semua istilah yang digunakan. Ini bukan masalah yang dangkal tetapi terletak pada akar dari semua pengetahuan; perlu untuk memulai di suatu tempat, dan untuk membuat kemajuan seseorang harus dengan jelas menyatakan elemen-elemen dan hubungan-hubungan yang tidak terdefinisi dan sifat-sifat yang diterima begitu saja.^[6]

Contoh

Perlunya pengertian pangkal diilustrasikan dalam beberapa landasan aksiomatik dalam matematika:

Teori himpunan: Konsep himpunan adalah contoh dari pengertian pangkal. Seperti yang ditulis Mary Tiles:^[7] "Definisi" dari "himpunan" kurang lebih merupakan definisi daripada upaya penjelasan sesuatu yang diberi status istilah primitif, tidak terdefinisikan. Sebagai bukti, ia mengutip Felix Hausdorff : "Suatu himpunan dibentuk oleh pengelompokan objek tunggal menjadi satu kesatuan. Himpunan adalah pluralitas yang dianggap sebagai satu kesatuan."
Teori himpunan naif: Himpunan kosong adalah pengertian pangkal. Untuk menegaskan bahwa itu ada akan menjadi aksioma implisit.
Aritmatika Peano: Fungsi penerus dan angka nol adalah pengertian pangkal. Karena aritmatika Peano berguna dalam kaitannya dengan sifat-sifat bilangan, objek yang diwakili oleh pengertian pangkal mungkin tidak terlalu penting.^[8]
Sistem aksioma: Pengertian pangkal akan tergantung pada himpunan aksioma yang dipilih untuk sistem. Alessandro Padoa membahas seleksi ini pada Kongres Internasional Filsafat di Paris pada tahun 1900.^[9] Gagasan itu sendiri mungkin tidak perlu dinyatakan; Susan Haack (1978) menulis, "Satu himpunan aksioma kadang-kadang dikatakan memberikan definisi implisit dari istilah primitifnya." ^[10]
Geometri Euclidean: Di bawah sistem aksioma Hilbert, pengertian pangkal adalah titik, garis, bidang, kesesuaian, keantaraan, dan kejadian .
Geometri Euclidean: Di bawah sistem aksioma Peano pengertian pangkal adalah titik, segmen, dan gerak.

Primitif Russell

Dalam bukunya tentang filsafat matematika, The Principles of Mathematics Bertrand Russell menggunakan gagasan ini: Untuk kalkulus kelas (teori himpunan) ia menggunakan relasi, mengambil keanggotaan himpunan sebagai pengertian pangkal. Untuk menetapkan himpunan, ia juga memerlukan fungsi proposisional sebagai primitif, serta ungkapan "sehingga" seperti yang digunakan dalam notasi pembangun himpunan. (hlm 18,9) Mengenai relasi, Russell menganggap hubungan kebalikan dan hubungan komplementer dari xRy yang diberikan sebagai pengertian pangkal . Selanjutnya, produk logis dari relasi dan produk relatif dari relasi adalah primitif. (hal 25) Adapun denotasi objek dengan deskripsi, Russell mengakui bahwa pengertian pangkal terlibat. (hal 27) Tesis buku Russell merupakan "Matematika murni hanya menggunakan beberapa gagasan, dan ini adalah konstanta logis." (hal xxi)

Lihat juga

Teori himpunan aksiomatik
Dasar-dasar geometri
Dasar-dasar matematika
Konstanta logis
logika matematika
Gagasan (filsafat)
Teori objek
Metabahasa semantik alami

Referensi

^ Soedjadi, R. (2000). Kiat pendidikan matematika di Indonesia: konstatasi keadaan masa kini menuju harapan masa depan. Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi, Departemen Pendidikan Nasional. ISBN 978-979-8439-14-8.
^ Lebih umum, dalam sistem formal, aturan membatasi penggunaan gagasan primitif. Lihat misalnya teka-teki MU untuk sistem formal non-logis.
^ Euclid (300 S.M.) masih memberikan definisi dalam buku Elemen-nya, seperti "Sebuah garis adalah panjang tak terluas".
^ Aksioma ini dapat diformalkan dalam logika predikat sebagai "∀x₁,x₂∈P. ∃y∈L. C(y,x₁) ∧ C(y,x₂)", di mana P, L, dan C masing-masing menyatakan himpunan titik, garis, dan hubungan "berisi".
^ Alfred Tarski (1946) Introduction to Logic and the Methodology of the Deductive Sciences, p. 118, Oxford University Press.
^ Gilbert de B. Robinson (1959) Foundations of Geometry, 4th ed., p. 8, University of Toronto Press
^ Mary Tiles (2004) The Philosophy of Set Theory, p. 99
^ Phil Scott (2008). "Mechanising Hilbert's Foundations of Geometry in Isabelle (see ref 16, re: Hilbert's take)". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-12-19. Diakses tanggal 2021-12-19.
^ Alessandro Padoa (1900) "Logical introduction to any deductive theory" in Jean van Heijenoort (1967) A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, Harvard University Press 118–23
^ Haack, Susan (1978), Philosophy of Logics, Cambridge University Press, hlm. 245, ISBN 9780521293297

[1] Soedjadi, R. (2000). Kiat pendidikan matematika di Indonesia: konstatasi keadaan masa kini menuju harapan masa depan. Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi, Departemen Pendidikan Nasional. ISBN 978-979-8439-14-8.

[2] Lebih umum, dalam sistem formal, aturan membatasi penggunaan gagasan primitif. Lihat misalnya teka-teki MU untuk sistem formal non-logis.

[3] Euclid (300 S.M.) masih memberikan definisi dalam buku Elemen-nya, seperti "Sebuah garis adalah panjang tak terluas".

[4] Aksioma ini dapat diformalkan dalam logika predikat sebagai "∀x₁,x₂∈P. ∃y∈L. C(y,x₁) ∧ C(y,x₂)", di mana P, L, dan C masing-masing menyatakan himpunan titik, garis, dan hubungan "berisi".

[5] Alfred Tarski (1946) Introduction to Logic and the Methodology of the Deductive Sciences, p. 118, Oxford University Press.

[6] Gilbert de B. Robinson (1959) Foundations of Geometry, 4th ed., p. 8, University of Toronto Press

[7] Mary Tiles (2004) The Philosophy of Set Theory, p. 99

[8] Phil Scott (2008). "Mechanising Hilbert's Foundations of Geometry in Isabelle (see ref 16, re: Hilbert's take)". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-12-19. Diakses tanggal 2021-12-19.

[9] Alessandro Padoa (1900) "Logical introduction to any deductive theory" in Jean van Heijenoort (1967) A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, Harvard University Press 118–23

[10] Haack, Susan (1978), Philosophy of Logics, Cambridge University Press, hlm. 245, ISBN 9780521293297

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]