Konjektur Poincaré

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian
Konjektur Poincaré
P1S2all.jpg
Kompak permukaan 2-dimensi tanpa batas secara topologi homeomorfik menjadi bola-2 adalah loop. Dugaan Poincaré menegaskan bahwa hal yang sama berlaku untuk ruang 3 dimensi.
BidangTopologi geometris
Penemuan pertamaHenri Poincaré
Tanggal penemuan1904
Bukti pertama terpecahkan (oleh)Grigori Perelman
Bukti pertama terpecahkan (tanggal)2006
Bagian dari
Ekuivalen
GeneralisasiKonjektur generalisasi Poincaré

Dalam matematika, konjektur Poincaré (UK /ˈpwæ̃kær/,[2] US /ˌpwæ̃kɑːˈr/,[3][4] bahasa Prancis: [pwɛ̃kaʁe]) adalah teorema tentang karakterisasi dari bola-3 yang merupakan bagian hiperbola dengan batas bola satuan dalam empat dimensi ruang.

Konjektur tersebut menyatakan:

Setiap ruang terhubung, tertutup lipatan-3 adalah homeomorfik ke bola-3.

Bentuk ekuivalen dari konjektur dari bentuk kesetaraan homeomorfisme yang disebut ekuivalen homotopi: jika manifold-3 adalah ekuivalen homotopi dengan bola-3, maka manifold tersebut adalah homeomorfik.

Awalnya konjektur ini ditemukan oleh Henri Poincaré, teorema tersebut dari ruang lokal terlihat seperti ruang tiga dimensi biasa tetapi terhubung, berukuran terbatas, dan tidak memiliki batas (lipatan-3). Konjektur Poincaré mengklaim bahwa jika ruang yang memiliki sifat tambahan putaran dalam ruang tersebut dapat dikencangkan terus-menerus ke suatu titik, maka itu harus bola-3. Konjektur analog untuk dimensi lebih tinggi dibuktikan sebelum bukti dari konjektur asli ditemukan.

Setelah hampir satu abad upaya oleh matematikawan, Grigori Perelman menyajikan bukti konjektur dalam tiga makalah yang tersedia pada tahun 2002 dan 2003 di arXiv. Bukti dibangun di atas program Richard S. Hamilton untuk menggunakan aliran Ricci untuk mencoba memecahkan masalah. Hamilton kemudian memperkenalkan modifikasi aliran Ricci standar, yang disebut aliran Ricci dengan pembedahan untuk secara sistematis memotong daerah tunggal saat berkembang, dengan cara terkendali, tetapi tidak dapat membuktikan metode ini "menyatu" dalam tiga dimensi.[5] Perelman melengkapi bagian pembuktian ini. Beberapa tim matematikawan memverifikasi bahwa bukti Perelman benar.

Konjektur Poincaré, sebelum dibuktikan, adalah salah satu pertanyaan terbuka terpenting dalam topologi. Pada tahun 2000, Parelman dinobatkan sebagai salah satu dari tujuh Masalah Hadiah Milenium, di mana Clay Mathematics Institute menawarkan hadiah $1 juta untuk solusi pertama yang benar. Pekerjaan Perelman selamat dari tinjauan dan dikonfirmasi pada tahun 2006, yang menyebabkan dia ditawari Fields Medal. Perelman dianugerahi Hadiah Milenium pada 18 Maret 2010.[6] Pada tanggal 1 Juli 2010, dia menolak hadiah tersebut, mengatakan bahwa dia yakin kontribusinya dalam membuktikan konjektur Poincaré tidak lebih besar dari Hamilton.[7][8] Per 2021, konjektur Poincaré adalah satu-satunya masalah Milenium yang terpecahkan.

Pada tanggal 22 Desember 2006, jurnal Science menghormati bukti konjektur Poincaré oleh Perelman sebagai "Terobosan Tahun Ini", pertama kali kehormatan ini dianugerahkan di bidang matematika.[9]

Sejarah[sunting | sunting sumber]

Tidak memiliki dua loop berwarna pada torus dapat dikencangkan terus-menerus ke suatu titik. Torus tidak bersifat homeomorfik bagi sebuah bola.

Pertanyaan Poincaré[sunting | sunting sumber]

Pada awal abad ke-20, Henri Poincaré sedang mengerjakan fondasi topologi, kemudian disebut topologi kombinatorial dan kemudian topologi aljabar. Poincaré sangat tertarik pada sifat topologi yang mengkarakterisasi sebuah bola.

Poincaré mengklaim pada tahun 1900 bahwa homologi, alat yang digunakan berdasarkan pekerjaan sebelumnya oleh Enrico Betti, untuk mengetahui apakah lipatan-3 adalah bola-3. Namun, dalam sebuah makalah tahun 1904 dia menggambarkan contoh yang berlawanan dengan klaim dari ruang yang sekarang disebut lingkup homologi Poincaré. Bola Poincaré adalah contoh pertama dari bola homologi, lipatan yang memiliki homologi dengan bola. Untuk menetapkan bahwa bola Poincaré berbeda dari bola 3, Poincaré memperkenalkan invarian topologi baru, grup fundamental, dan menunjukkan bahwa bola Poincaré memiliki grup fundamental berorde 120, sedangkan bola-3 memiliki grup fundamental trivial. Dengan cara ini dapat menyimpulkan bahwa kedua ruang ini memang berbeda.

Dalam kertas yang sama, Poincaré menyatakan:

Apakah lipatan-3 dengan homologi dari bola-3 dan juga grup dasar trivial harus menjadi bola-3

Kondisi baru Poincaré, yaitu, "grup fundamental trivial" dinyatakan kembali sebagai

setiap lingkaran dapat disusutkan menjadi satu titik.

Ungkapan aslinya adalah sebagai berikut:

Pertimbangkan lipatan-3 dimensi kompak V tanpa batas. Mungkinkah gugus dasar V menjadi trivial, meski V bukan homeomorfik untuk bola 3 dimensi?

Poincaré tidak pernah menyatakan apakah dia percaya kondisi tambahan ini akan menjadi ciri bola-3, tetapi pernyataan itu dikenal sebagai konjektur Poincaré. Berikut adalah bentuk standar dari dugaan tersebut:

Setiap koneksi sederhana, lipatan tertutup-3 adalah homeomorfik ke bola-3.

Perhatikan bahwa "tertutup" berarti, kondisi menjadi kompak dalam hal topologi himpunan, dan juga tanpa batas (3-dimensi ruang Euklides adalah contoh lipatan-3 terhubung sederhana bukan homeomorfik ke bola-3; tetapi tidak kompak dan karena itu bukan contoh tandingan).

Solusi yang dicoba[sunting | sunting sumber]

Masalah ini tampaknya tertidur sampai J. H. C. Whitehead membangkitkan kembali, minatnya terhadap konjektur tersebut ketika pada tahun 1930-an, Whitehead pertama kali mengklaim sebuah bukti dan kemudian mencabutnya. Dalam prosesnya, Whitehead menemukan beberapa contoh lipatan-3 terhubung-sederhana (dikontraskan, yaitu secara homotopik setara dengan suatu titik) lipatan-3 non-kompak tidak homeomorfik ke , prototipe sekarang disebut lipatan Whitehead.

Pada 1950-an dan 1960-an, matematikawan lainnya mencoba membuktikan konjektur tersebut hanya untuk menemukan bahwa mereka terdapat kekurangan. Matematikawan seperti Georges de Rham, R. H. Bing, Wolfgang Haken, Edwin E. Moise, dan Christos Papakyriakopoulos berusaha membuktikan konjektur tersebut. Pada tahun 1958 Bing membuktikan versi lemah dari konjektur Poincaré: jika kurva tertutup sederhana dari lipatan-3 kompak terdapat dalam bola-3, maka manifol tersebut bersifat homeomorfik terhadap bola-3.[10] Bing juga menggambarkan untuk membuktikan konjektur Poincaré.[11]

Włodzimierz Jakobsche menunjukkan pada tahun 1978 bahwa, jika konjektur Bing–Borsuk benar dalam dimensi 3, maka konjektur Poincaré juga harus benar.[12]

Seiring waktu, konjektur tersebut mendapatkan reputasi sebagai yang paling sulit untuk ditangani. John Milnor berkomentar bahwa terkadang kesalahan dalam pembuktian palsu bisa jadi "agak tidak kentara dan sulit dideteksi".[13] Bekerja pada konjektur meningkatkan pemahaman lipatan-3. Para ahli di lapangan enggan untuk mengumumkan bukti, dan cenderung memandang pengumuman dengan skeptis. Tahun 1980-an dan 1990-an beberapa bukti keliru yang dipublikasikan dengan baik (yang sebenarnya tidak diterbitkan dalam bentuk ulasan-peer).[14][15]

Sebuah eksposisi upaya untuk membuktikan konjektur ini dapat ditemukan dalam buku non-teknis Poincaré's Prize oleh George Szpiro.[16]

Dimensi[sunting | sunting sumber]

Klasifikasi permukaan tertutup memberikan jawaban tegas untuk pertanyaan analogi dalam dua dimensi. Untuk dimensi yang lebih besar dari tiga, seseorang dapat mengajukan konjektur generalisasi Poincaré: apakah sebuah homotropi bola-n bersifat homeomorfik terhadap bola-n? Diperlukan asumsi yang lebih kuat; dalam dimensi empat dan lebih tinggi lipatan tertutup yang terhubung-sederhana yang tidak ekuivalen homotopi ke bola-n.

Secara historis, sementara konjektur dalam dimensi tiga tampak masuk akal, konjektur generalisasi dianggap salah. Pada tahun 1961 Stephen Smale mengejutkan para ahli matematika dengan membuktikan konjektur generalisasi Poincaré untuk dimensi yang lebih besar dari empat dan memperluas tekniknya untuk membuktikan teorema h-kobordisme fundamental. Pada tahun 1982 Michael Freedman membuktikan konjektur Poincaré dalam empat dimensi. Karya Freedman membuka kemungkinan bahwa ada homeomorfik lipatan-ke-empat yang halus ke bola-ke-empat yang tidak diffeomorfik ke empat bola. Konjektur Poincaré halus dalam dimensi empat, tetap terbuka dan dianggap sangat sulit. Bola eksotis milnor menunjukkan bahwa konjektur halus Poincaré salah satu dalam dimensi tujuh.

Sebelumnya dalam dimensi yang lebih tinggi dengan kasus tiga dimensi dalam ketidakpastian. Konjektur Poincaré pada dasarnya benar di kedua dimensi empat dan dimensi lebih tinggi untuk alasan berbeda. Dalam dimensi tiga, konjektur memiliki reputasi yang tidak pasti sampai dugaan geometri memasukkannya ke dalam kerangka kerja yang mengatur semua lipatan-3. John Morgan menulis:[17]

Ini adalah pandangan saya bahwa sebelum karya Thurston pada hyperbolic 3-manifold dan. . . Dalam konjektur geometri, Setelah pekerjaan Thurston, terlepas dari fakta bahwa tidak langsung dengan konjektur Poincaré, sebuah konsensus berkembang bahwa dugaan Poincaré (dan konjektur Geometriisasi) adalah benar.

Program Hamilton dan solusi Perelman[sunting | sunting sumber]

Beberapa tahapan alir Ricci pada manifold dua dimensi

Program Hamilton dimulai pada makalah tahun 1982 di mana Hamilton memperkenalkan alir Ricci secara berlipat ganda dan menunjukkan bagaimana menggunakannya untuk membuktikan beberapa kasus khusus dari konjektur Poincaré.[18] Pada tahun berikutnya, Hamilton memperluas pekerjaan ini, tetapi tidak dapat membuktikan konjektur tersebut. Solusi sebenarnya tidak ditemukan sampai Grigori Perelman menerbitkan makalahnya.

Pada akhir 2002 dan 2003 Perelman memposting tiga makalah di arXiv.[19][20][21] Dalam makalah ini, Hamilton membuat sketsa bukti konjektur Poincaré dan konjektur yang lebih umum yaitu konjektur geometri Thurston, menyelesaikan program aliran Ricci yang diuraikan oleh Richard S. Hamilton.

Dari Mei hingga Juli 2006, beberapa grup mempresentasikan makalah yang berisi rincian bukti konjektur Poincaré Perelman, sebagai berikut:

  • Bruce Kleiner dan John W. Lott membuat makalah di arXiv pada bulan Mei 2006 yang berisi rincian bukti konjektur geometri Perelman, mengikuti versi parsial yang telah tersedia untuk umum sejak 2003.[22] Naskah mereka diterbitkan dalam jurnal "Geometri dan Topologi" pada tahun 2008. Sejumlah kecil koreksi dilakukan pada tahun 2011 dan 2013; misalnya, versi pertama dari makalah diterbitkan menggunakan versi yang salah dari teorema kekompakan Hamilton untuk aliran Ricci.
  • Huai-Dong Cao dan Xi-Ping Zhu menerbitkan makalah dalam edisi Juni 2006 dari Asian Journal of Mathematics dengan eksposisi bukti lengkap dari konjektur Poincaré dan geometriisasi.[23] Paragraf pembuka makalah mereka menyatakan

Dalam tulisan ini, kami akan menyajikan teori aliran Ricci Hamilton-Perelman. Berdasarkan kami akan memberikan catatan tertulis pertama dari bukti lengkap dari konjektur Poincaré dan konjektur geometriisasi Thurston. Sementara pekerjaan untuk upaya terakumulasi dari banyak analis geometris, kontributor utamanya tidak diragukan lagi adalah Hamilton dan Perelman.

Beberapa pengamat menafsirkan Cao dan Zhu sebagai pujian atas pekerjaan Perelman. Mereka kemudian memposting versi revisi, dengan kata baru, di arXiv.[24] Selain itu, halaman eksposisi pada dasarnya identik dengan halaman di salah satu draf awal Kleiner dan Lott; "hal ini juga diubah dalam versi revisi, dengan permintaan maaf oleh dewan editorial jurnal".
  • John Morgan dan Gang Tian memposting makalah di arXiv pada bulan Juli 2006 dengan bukti rinci dari konjektur Poincaré (dari konjektur geometri)[25] dan mengembangkannya menjadi sebuah buku.[26] Pada tahun 2015, Abbas Bahri menunjukkan bahwa halaman 441-445 dari eksposisi Morgan dan Tian adalah salah.[27] Kesalahan tersebut kemudian diperbaiki oleh Morgan dan Tian.[28]

Ketiga grup menemukan bahwa dalam makalah Perelman kecil dan dapat diisi dengan menggunakan tekniknya sendiri.

Pada tanggal 22 Agustus 2006, ICM menganugerahi Perelman Fields Medal untuk karyanya tentang konjektur tersebut, tetapi Perelman menolak medali tersebut.[29][30][31] John Morgan berbicara di ICM tentang konjektur Poincaré pada 24 Agustus 2006, menyatakan bahwa "pada tahun 2003, Perelman memecahkan konjektur Poincaré."[32]

Pada bulan Desember 2006, jurnal Science percaya bahwa bukti konjektur Poincaré sebagai Terobosan Tahun Ini dan menampilkannya di sampulnya.[9]

Alir Ricci dengan operasi[sunting | sunting sumber]

Program Hamilton untuk membuktikan konjektur Poincaré melibatkan penempatan metrik Riemannian pada lipatan-3 tertutup terhubung sederhana dan tidak diketahui. Ide dasarnya adalah mencoba "meningkatkan" metrik ini; misalnya, jika metrik ditingkatkan memiliki kelengkungan positif yang konstan, maka menurut hasil klasik dalam geometri Riemannian adalah bola-3. Hamilton merumuskan "persamaan alir Ricci" dengan meningkatkan metrik;

dimana g adalah metrik dan R adalah lengkungan Ricci, dan t adalah lipatan yang mudah dipahami. Alir Ricci memperluas bagian lengkungan negatif dari lipatan dan lengkungan positif.

Dalam beberapa kasus Hamilton mampu menunjukkan bahwa ini berhasil; misalnya, terobosan aslinya adalah untuk menunjukkan bahwa jika lipatan Riemannian memiliki lengkungan Ricci positif, maka prosedur di atas diikuti untuk interval nilai parameter sebagai batas, with , dan bilangan dengan , metrik Riemannian dengan salah satu lengkungan positif konstan. Menurut geometri Riemannian klasik, lipatan kompak terhubung sederhana digunakan metrik Riemannian dengan lengkungan positif konstan adalah bola. Jadi, pada dasarnya, Hamilton menunjukkan kasus khusus dari konjektur Poincaré: jika lipatan-3 terhubung sederhana dan kompak menggunakan metrik Riemannian dengan lengkungan Ricci positif, maka difeomorfik tersebut ke bola-3.

Sebaliknya, jika metrik Riemannian dengan persamaan alir Ricci menghasilkan singularitas yang lebih rumit. Pencapaian utama Perelman adalah untuk menunjukkan bahwa, "jika perspektif dalam waktu yang terbatas, singularitas hanya terlihat seperti bola atau tabung yang menyusut". Dengan pemahaman kuantitatif, memotong lipatan di sepanjang singularitas, membagi lipatan beberapa bagian, dan melanjutkan dengan alir Ricci.

Perelman dengan argumen terpisah berdasarkan alir pemendekan kurva untuk menunjukkan bahwa, pada lipatan-3 ringkas terhubung sederhana, solusi apapun dari aliran Ricci dengan pembedahan menjadi punah dalam waktu yang terbatas. Argumen alternatif, berdasarkan teori min-max permukaan minimal dan teori ukuran geometris, disediakan oleh Tobias Colding dan William Minicozzi. Oleh karena itu, dalam konteks terhubung sederhana, waktu terbatas di atas dari alir Ricci dengan pembedahan adalah relevan. Maka, grup fundamental adalah produk bebas dari grup hingga dan grup siklik.

Ekuivalen dengan dekomposisi utama lipatan tidak menggunakan komponen asiklik, dan ekuivalen dengan potongan geometris lipatan menggunakan geometri berdasarkan dua geometri Thurston S2×R dan S3. Dalam konteks dimana asumsi tentang grup fundamental, Perelman membuat studi teknis lebih lanjut tentang batas lipatan untuk waktu yang lama, dan dengan membuktikan konjektur geometriisasi Thurston: lipatan dekomposisi tebal-tipis bagian tebal menggunakan struktur hiperbolik, dan bagian tipisnya adalah lipatan grafik. Karena hasil Perelman dan Colding dan Minicozzi, hasil lebih lanjut tidak diperlukan untuk membuktikan konjektur Poincaré.

Solusi[sunting | sunting sumber]

Pada tanggal 13 November 2002, matematikawan Rusia Grigori Perelman memposting hasil pertama dari tiga eprint di arXiv yang menguraikan solusi dari konjektur Poincaré. Pembuktian Perelman menggunakan versi modifikasi dari program alir Ricci yang dikembangkan oleh Richard S. Hamilton. Pada bulan Agustus 2006, Perelman dianugerahi tetapi menolak hadiah yang diberikan oleh Fields Medal (senilai $ 15.000 CAD). Pada tanggal 18 Maret 2010, Clay Mathematics Institute memberikan Perelman $1 juta Hadiah Milenium sebagai pengakuan atas buktinya.[33][34] Perelman rejected that prize as well.[7][35]

Perelman membuktikan konjektur tersebut dengan mendeformasi lipatan menggunakan alir Ricci (persamaan panas menggambarkan difusi panas melalui suatu benda). Alir Ricci mengubah bentuk lipatan menjadi bentuk bulat, kecuali untuk beberapa kasus lipatan terpisah, yang dikenal sebagai singularitas. Perelman dan Hamilton kemudian memotong lipatan pada singularitas (proses yang disebut "pembedahan") bagian potongan terpisah terbentuk menjadi bentuk seperti bola. Langkah utama dalam pembuktian menunjukkan bagaimana lipatan ketika dideformasi oleh alir Ricci, jenis singularitas menentukan apakah proses pembedahan dapat diselesaikan dan menetapkan pembedahan tidak diulang berkali-kali tanpa batas.[butuh rujukan]

Hamilton membuat daftar kemungkinan singularitas dapat terbentuk, tetapi dia khawatir beberapa singularitas dapat menjadi sangat rumit. Hamilton memotong lipatan pada singularitas dan menempelkannya di tutup, dan menjalankan kembali alir Ricci, jadi Hamilton memahami singularitas dan menunjukkan bahwa jenis singularitas tertentu tidak terjadi. Perelman menemukan bahwa singularitas sangat sederhana: pada dasarnya tabung tiga dimensi terbuat dari bola direntangkan di sepanjang garis. Tabung biasa dibuat dengan mengambil lingkaran direntangkan di sepanjang garis. Perelman membuktikan dengan menggunakan "Volume Reduksi" terkait dengan nilai eigen dari persamaan eliptik tertentu.

Operasi yang lebih rumit direduksi menjadi perkalian dengan skalar (bilangan). Bilangan tersebut adalah nilai eigen dari operasi. Nilai eigen terkait dengan frekuensi getaran dan digunakan dalam menganalisis masalah terkenal: Anda dapat mendengar bentuk drum? Pada dasarnya, nilai eigen adalah nada yang dimainkan oleh lipatan. Perelman membuktikan bahwa nada naik karena lipatan dideformasi oleh alir Ricci. Menghilangkan beberapa singularitas yang mengkhawatirkan Hamilton, terutama solusi soliton cerutu, seperti untaian mencuat dari lipatan tanpa sisi lain. Intinya, Perelman menunjukkan bahwa bentuk dipotong serta tidak memiliki tonjolan pada satu sisi.

Melengkapi pembuktiannya, Perelman dengan lipatan tiga dimensi diringkas, terhubung sederhana, tanpa batas dan mulai menjalankan alir Ricci. Mengubah bentuk lipatan menjadi potongan bulat dengan untaian. Memotong untaian dan mendeformasi, lipatan akhirnya memiliki kumpulan bola bundar tiga dimensi. Kemudian, lipatan aslinya dengan menghubungkan bola bersama dengan silinder tiga dimensi, bentuk bulat, lipatan tersebut bersifat homeomorfik sebuah bola.

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Matveev, Sergei (2007). "1.3.4 Zeeman's Collapsing Conjecture". Algorithmic Topology and Classification of 3-Manifolds. Algorithms and Computation in Mathematics. 9. Springer. hlm. 46–58. ISBN 9783540458999. 
  2. ^ "Poincaré, Jules-Henri". Lexico UK Dictionary. Oxford University Press. Diakses tanggal 9 August 2019. 
  3. ^ "Poincaré". The American Heritage Dictionary of the English Language (edisi ke-5th). Boston: Houghton Mifflin Harcourt. 2014. 
  4. ^ "Poincaré". Merriam-Webster Dictionary. Diakses tanggal 9 Agustus 2019. 
  5. ^ Hamilton, Richard S. (1997). "Four-manifolds with positive isotropic curvature". Communications in Analysis and Geometry. 5 (1): 1–92. doi:10.4310/cag.1997.v5.n1.a1alt=Dapat diakses gratis. MR 1456308. Zbl 0892.53018. 
  6. ^ Clay Mathematics Institute (March 18, 2010). Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman. Siaran pers.  "Clay Mathematics Institute (CMI) hari ini mengumumkan bahwa Dr. Grigoriy Perelman dari St. Petersburg, Rusia, adalah penerima Hadiah Milenium untuk penyelesaian konjektur Poincaré."
  7. ^ a b "Последнее "нет" доктора Перельмана" [The last "no" Dr. Perelman]. Interfax (dalam bahasa Rusia). Juli 1, 2010. Diakses tanggal 5 April 2016.  Google Translated archived link at [1] (archived 2014-04-20)
  8. ^ Ritter, Malcolm (1 July 2010). "Russian mathematician rejects million prize". The Boston Globe. 
  9. ^ a b Mackenzie, Dana (2006-12-22). "The Poincaré Conjecture—Proved". Science. 314 (5807): 1848–1849. doi:10.1126/science.314.5807.1848. PMID 17185565. 
  10. ^ Bing, R. H. (1958). "Necessary and sufficient conditions that a 3-manifold be S3". Annals of Mathematics. Second Series. 68 (1): 17–37. doi:10.2307/1970041. JSTOR 1970041. 
  11. ^ Bing, R. H. (1964). "Some aspects of the topology of 3-manifolds related to the Poincaré conjecture". Lectures on Modern Mathematics. II. New York: Wiley. hlm. 93–128. 
  12. ^ M., Halverson, Denise; Dušan, Repovš (23 December 2008). "The Bing–Borsuk and the Busemann conjectures". Mathematical Communications (dalam bahasa Inggris). 13 (2). arXiv:0811.0886alt=Dapat diakses gratis. 
  13. ^ Milnor, John (2004). "The Poincaré Conjecture 99 Years Later: A Progress Report" (PDF). Diakses tanggal 2007-05-05. 
  14. ^ Taubes, Gary (July 1987). "What happens when hubris meets nemesis". Discover. 8: 66–77. 
  15. ^ Matthews, Robert (9 April 2002). "$1 million mathematical mystery "solved"". NewScientist.com. Diakses tanggal 2007-05-05. 
  16. ^ Szpiro, George (July 29, 2008). Poincaré's Prize: The Hundred-Year Quest to Solve One of Math's Greatest Puzzles. Plume. ISBN 978-0-452-28964-2. 
  17. ^ Morgan, John W., Kemajuan terbaru tentang konjektur Poincaré dan klasifikasi lipatan-3. Banteng. Amer. Matematika. Soc. (N.S.) 42 (2005), no. 1, 57–78
  18. ^ Hamilton, Richard (1982). "Three-manifolds with positive Ricci curvature". Journal of Differential Geometry. 17 (2): 255–306. doi:10.4310/jdg/1214436922alt=Dapat diakses gratis. MR 0664497. Zbl 0504.53034.  Reprinted in: Cao, H. D.; Chow, B.; Chu, S. C.; Yau, S.-T., ed. (2003). Collected Papers on Ricci Flow. Series in Geometry and Topology. 37. Somerville, MA: International Press. hlm. 119–162. ISBN 1-57146-110-8. 
  19. ^ Perelman, Grigori (2002). "The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications". arΧiv:math.DG/0211159. 
  20. ^ Perelman, Grigori (2003). "Ricci flow with surgery on three-manifolds". arΧiv:math.DG/0303109. 
  21. ^ Perelman, Grigori (2003). "Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds". arΧiv:math.DG/0307245. 
  22. ^ Kleiner, Bruce; John W. Lott (2008). "Notes on Perelman's Papers". Geometry and Topology. 12 (5): 2587–2855. arXiv:math.DG/0605667alt=Dapat diakses gratis. doi:10.2140/gt.2008.12.2587. 
  23. ^ Cao, Huai-Dong; Xi-Ping Zhu (June 2006). "A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures – application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow" (PDF). Asian Journal of Mathematics. 10 (2). Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2012-05-14. 
  24. ^ Cao, Huai-Dong; Zhu, Xi-Ping (December 3, 2006). "Hamilton–Perelman's Proof of the Poincaré Conjecture and the Geometrization Conjecture". arΧiv:math.DG/0612069. 
  25. ^ Morgan, John; Gang Tian (2006). "Ricci Flow and the Poincaré Conjecture". arΧiv:math.DG/0607607. 
  26. ^ Morgan, John; Gang Tian (2007). Ricci Flow and the Poincaré Conjecture. Clay Mathematics Institute. ISBN 978-0-8218-4328-4. 
  27. ^ Bahri, Abbas (2015). "Five gaps in mathematics". Adv. Nonlinear Stud. 15 (2): 289–319. doi:10.1515/ans-2015-0202. 
  28. ^ Morgan, John; Tian, Gang (2015). "Correction to Section 19.2 of Ricci Flow and the Poincare Conjecture". arΧiv:[[arXiv:|]] [math.DG]. 
  29. ^ Nasar, Sylvia; David Gruber (August 28, 2006). "Manifold destiny". The New Yorker. hlm. 44–57.  On-line version at the New Yorker website.
  30. ^ Chang, Kenneth (August 22, 2006). "Highest Honor in Mathematics Is Refused". The New York Times. 
  31. ^ "Reclusive Russian solves 100-year-old maths problem". China Daily. 23 August 2006. hlm. 7. 
  32. ^ Laporan tentang Konjektur Poincaré. Ceramah khusus oleh John Morgan.
  33. ^ "Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman". Clay Mathematics Institute. March 18, 2010. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2010-03-22. 
  34. ^ "Poincaré Conjecture". Clay Mathematics Institute. Diakses tanggal 2018-10-04. 
  35. ^ Malcolm Ritter (2010-07-01). "Russian mathematician rejects $1 million prize". Phys.Org. Diakses tanggal 2011-05-15. 

Bacaan lebih lanjut[sunting | sunting sumber]

Pranala luar[sunting | sunting sumber]

Templat:Terobosan Tahun Ini