Batas (topologi)

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian
Suatu himpunan (berwarna biru muda) dan batasnya (berwarna biru tua).

Dalam topologi dan matematika pada umumnya, batas, perbatasan, atau sempadan (bahasa Inggris: boundary) himpunan dari ruang topologis merupakan himpunan titik yang keduanya dapat didekatkan dari dan dari luar . Lebih tepatnya, ini merupakan himpunan titik dalam ketertutupan tidak menjadi milik interior . Sebuah unsur dari batas disebut titik batas . Istilah operasi batas merujuk untuk mencari atau mengambil batas himpunan. Notasi yang digunakan untuk batas himpunan termasuk , , dan . Beberapa penulis (contohnya Willard, di General Topology) menggunakan istilah frontier daripada "boundary" dalam upaya untuk menghindari kebingungan dengan sebuah definisi yang berbeda di topologi aljabar dan teori manifold. Meskipun diterima secara luas mengenai arti istilah "boundary" dan "frontier", mereka terkadang digunakan untuk merujuk ke himpunan lainnya. Contohnya, Metric Spaces oleh E. T. Copson menggunakan istilah "boundary" untuk merujuk ke perbatasan Hausdorff (bahasa Inggris: Hausdorff's border), yang didefinisikan sebagai irisan himpunan dengan batasnya.[1] Hausdorff juga memperkenalkan istilah residu, yang didefinisikan sebagai irisan himpunan dengan ketertutupan dari perbatasan komplemennya.[2]

Definisi umum[sunting | sunting sumber]

Terdapat beberapa definisi yang setara untuk mengenai batas himpunan bagian dari ruang topologis :

  • ketertutupan dikurangi interior :  
  • irisan ketertutupan dengan ketertutupan komplemennya:  
  • himpunan titik sehingga setiap lingkungan berisi setidaknya satu titik dan setidaknya satu titik yang bukan :  

Contoh-contoh[sunting | sunting sumber]

Batas komponen hiperbolik himpunan Mandelbrot.

Anggap garis real dengan topologi biasa (yaitu topologi yang himpunan basisnya merupakan selang terbuka) dan , himpunan bagian rasional (dengan interior kosong). Salah satunya memiliki:

Kedua contoh terakhir ini mengilustrasikan fakta bahwa batas himpunan rapat dengan interior kosong adalah ketertutupannya.

Dalam ruang bilangan rasional dengan topologi biasa (topologi subruang ), batas dari adalah kosong, dimana adalah bilangan irasional.

Batas himpunannya adalah gagasan topologis dan dapat berubah jika salah satunya mengubah topologi. Contohnya, dengan adanya topologi biasa pada , batas cakram tertutup adalah lingkaran sekeliling cakram: . Jika cakramnya dipandang sebagai sebuah himpunan di dengan topologi biasanya sendiri, yaitu , maka batas cakramnya adalah cakram itu sendiri: .  Jika cakramnya dipandang sebagai ruang topologisnya sendiri (dengan topologi subruang ), maka batas cakramnya kosong.

Sifat-sifat[sunting | sunting sumber]

  • Batas himpunannya adalah tertutup.[3]
  • Batas dari interior himpunan seperti halnya batas dari ketertutupan himpunan berisi di batas himpunan.
  • Sebuah himpunan adalah batas suatu himpunan buka jika dan hanua jika himpunan tersebut adalah tertutup dan rapat tak di mana-mana.
  • Batas himpunannya adalah batas dari komplemen himpunan:   .
  • Interior dari batas himpunan tertutup adalah himpunan kosong.
  • Jika merupakan sebuah himpunan bagian buka rapat , maka .

Karena itu:

  • ("Trikotomi") Dengan adanya himpunan , sebuah titik terletak tepat di salah satu himpunan , , dan .
  • merupakan sebuah titik batas himpunan jika dan hanya jika setiap lingkungan berisi setidaknya satu titik di himpunan dan setidaknya satu titik yang bukan di himpunannya.
  • Sebuah himpunan adalah tertutup jika dan hanya jika himpunan tersebut berisi batasnya, dan buka jika dan hanya jika himpunan tersebut lepas dari batasnya.
  • Ketertutupan himpunan sama dengan gabungan dari himpunan dengan batasnya: .
  • Batas himpunannya adalah kosong jika dan hanya jika kedua himpunannya adalah tertutup dan buka (yakni, sebuah himpunan buka tertutup).
  • Interior dari batas ketertutupan himpunan adalah himpunan kosong.
Accumulation And Boundary Points Of S.PNG
Pengertian diagram Venn menunjukkan hubunga di antara titik himpunan bagian yang berbeda dari . adalah himpuan titik limit dari , adalah himpunan titik batas dari luas dinaungi warna hijau merupakan himpunan titik interior dari , luas dinaungi warna kuning merupakan himpunan titik pencil dari , luas dinaungi warna hitam adalah himpunan kosong. Setiap titik adalah titik interior maupun titik batas. Juga, setiap titik adalah sebuah titik kumpulan maupun sebuah titik pencil. Demikian juga, setiap titik batas adalah sebuah titik kumpulan maupun sebuah titik pencil. Titik pencil selalu merupakan titik batas.

Batas dari sebuah batas[sunting | sunting sumber]

Untuk suatu himpunan , , dengan persamaan berlaku jika dan hanya jika batas tidak memiliki titik interior, yang akan menjadi kasus sebagai contohnya jika baik tertutup atau buka. Karena batas himpunan tertutup, untuk suatu himpunan . Demikian operator batas memenuhi sebuah jenis lemah keidempotenan.

Dalam membahas batas manifold atau simpleks dan kompleks simplisialnya, salah satunya seringkali menemukan pernyataan bahwa batas dari batas selalu kosong. Memang, pembangunan dari homologi singular sangat penting pada fakta ini. Penjelasan untuk keanehan yang jelas ini adalah bahwa batas topologis (subjek artikel ini) adalah konsep yang agak berbeda dari batas manifold atau sebuah kompleks simplisial. Contohnya, batas cakram buka yang dipandang sebagai sebuah manifold adalah kosong, karena batas topologisnya dipandang sebagai sebuah himpunan bagiannya sendiri, sementara batas topologisnya yang dipandang sebagai sebuah himpunan bagian dari bidang real adalah lingkaran yang mengelilingi cakram. Akibatnya, batas cakram tertutup yang dipandang sebagai sebuah manifold adalah lingkaran pembatas, karena batas topologisnya dipandang sebagai sebuah himpunan bagian dari bidang real, sementara batas topologisnya yang dipandang sebagai sebuah himpunan bagiannya sendiri adalah kosong. (Khususnya, batas topologisnya bergantung pada ruang sekitar, sementara batas manifoldnya adalah invarian.)

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Hausdorff, Felix (1914). Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig: Veit. hlm. 214. ISBN 978-0-8284-0061-9.  Reprinted by Chelsea in 1949.
  2. ^ Hausdorff, Felix (1914). Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig: Veit. hlm. 281. ISBN 978-0-8284-0061-9.  Reprinted by Chelsea in 1949.
  3. ^ Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introduction to Topology (edisi ke-Third). Dover. hlm. 86. ISBN 0-486-66352-3. Corollary 4.15 For each subset A, Brdy (A) is closed. 

Bacaan lebih lanjut[sunting | sunting sumber]