Lompat ke isi

Jumlah taktentu

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Dalam matematika, operator jumlah taktentu atau operator antiselisih, dilambangkan sebagai atau ,[1][2][3] adalah operator linear, yang kebalikan dari operator selisih (atau selisih tentu) . Ini berhubungan dengan operasi selisih maju sebagai integral tak tentu yang berhubungan dengan turunan. Demikian juga,

.

Lebih eksplisit lagi, jika , kemudian

Jika adalah solusi untuk persamaan fungsional ini untuk fungsi , maka untuk setiap fungsi periodik dengan periode 1. Demikian pula, setiap penjumlahan tak tentu mewakili keluarga pada fungsi. Maka, penyelesaiannya sama dengan pengembangan dari deret Newton adalah unik untuk ke konstanta aditif . Penyelesaian yang unik ini mewakili perubahan deret berpangkat secara formal pada operasi anti-selisihː

Teorema Fundamental pada kalkulus diskrit

[sunting | sunting sumber]

Penjumlahan tak hingga digunakan sebagai penjumlahan tentu dengan rumusː [4]

Rumus Penjumlahan Laplace

[sunting | sunting sumber]

dimana adalah bilangan Cauchy untuk jenis yang pertama atau disebut sebagai bilangan Bernoulli untuk Jenis Kedua.[5] [butuh rujukan]

Rumus Newton

[sunting | sunting sumber]

dimana adalah faktorial menurun.

Rumus Faulhaber

[sunting | sunting sumber]

persamaan pada ruas kanan adalah konvergen.

Rumus Mueller

[sunting | sunting sumber]

Jika maka

Rumus Euler–Maclaurin

[sunting | sunting sumber]

Pilihan dengan suku konstanta

[sunting | sunting sumber]

Seringkali, konstanta pada jumlah tak tentu diperbaiki dengan kondisi berikut.

Misalnya

Maka, konstanta diperbaiki dengan kondisi

atau

Secara alternatif, penjumlahan Ramanujan digunakan sebagaiː

atau dengan 1

.[6]

Penjumlahan menurut bagian

[sunting | sunting sumber]

Penjumlahan tak hingga dengan bagian tertentuː

Penjumlahan tentu berdasarkan bagian, yaitu:

Kaidah periode

[sunting | sunting sumber]

Jika adalah periode fungsi , maka

Jika adalah fungsi antiperiode , yaitu , maka

Penggunaan alternatif

[sunting | sunting sumber]

Beberapa penulis menggunakan frasa "jumlah tak tentu" untuk mendeskripsikan sebuah penjumlahan dimana tidak diberikan nilai numerik pada indeks atas.

Dalam kasus seperti tersebut, perubahan ekspresi tertutup untuk penjumlahan adalah solusi untuk

disebut sebagai persamanan teleskop. Kebalikan dari operator selisih mundur . Berhubungan dengan operasi selisih maju menggunakan teorema fundanmental pada kalkulus diskrit yang dideskripsi sebelumnya.

Daftar jumlah tak tentu

[sunting | sunting sumber]

Inilah daftar jumlah-jumlah tak tentu pada berbagai fungsi. Tidak setiap fungsi memiliki sebuah jumlah tak tentu yang dapat diekspresikan dalam hal fungsi dasar.

Antiselisih pada Fungsi rasional

[sunting | sunting sumber]
dimana , yang digeneralisasikan ke orde polinomial Bernoulli yang sebenarnya.
dimana adalah fungsi poligamma .
dimana adalah fungsi digamma.

Antiselisih pada Fungsi eksponensial

[sunting | sunting sumber]

Terutama,

Antiselisih pada fungsi logaritma

[sunting | sunting sumber]

Antiselisih pada Fungsi Hiperbolik

[sunting | sunting sumber]
dimana adalah fungsi q-digamma .

Antiselisih pada fungsi trigonometri

[sunting | sunting sumber]
dimana adalah fungsi q-digamma .

Antiselisih pada fungsi invers hiperbolik

[sunting | sunting sumber]

Antiselisih pada fungsi invers trigonometri

[sunting | sunting sumber]

Antiselisih pada fungsi khusus

[sunting | sunting sumber]
dimana adalah fungsi gamma tidak kompleks.
dimana adalah faktorial menurun .
(lihat fungsi eksponensial super)

Lihat pula

[sunting | sunting sumber]

Referensi

[sunting | sunting sumber]
  1. ^ Indefinite Sum di PlanetMath.
  2. ^ On Computing Closed Forms for Indefinite Summations. Yiu-Kwong Man. J. Symbolic Computation (1993), 16, 355-376[pranala nonaktif permanen]
  3. ^ "If Y is a function whose first difference is the function y, then Y is called an indefinite sum of y and denoted Δ−1y" Introduction to Difference Equations, Samuel Goldberg
  4. ^ "Handbook of discrete and combinatorial mathematics", Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999, ISBN 0-8493-0149-1
  5. ^ Bernoulli numbers of the second kind on Mathworld
  6. ^ Éric Delabaere, Ramanujan's Summation, Algorithms Seminar 2001–2002, F. Chyzak (ed.), INRIA, (2003), pp. 83–88.

Bacaan lebih lanjut

[sunting | sunting sumber]