Metode Newton

Dalam analisis numerik, metode Newton adalah suatu algoritma pencari akar fungsi yang mencari hampiran yang lebih baik hampiran terhadap akar fungsi bernilai riil. Metode ini juga dikenal sebagai metode Newton–Raphson, yang mendapat nama dari Isaac Newton dan Joseph Raphson. Metode ini dimulai dari diketahui suatu fungsi $f(x)$ yang terdefinisi dari untuk suatu bilangan real $x$, beserta turunannya $f'(x)$, serta memulai dengan tebakan nilai awal $x_{0}$. Jika suatu fungsi memenuhi asumsi serta tebakan nilai awal semakin mendekat, maka hampiran yang lebih baik untuk $x_{1}$ adalah

$$x_{1}=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}.$$

Hampiran di atas memberikan hampiran akar yang lebih baik daripada x₀. Secara geometris, (x₁, 0) merupakan perpotongan dari sumbu-x dan garis singgung dari grafik fungsi f di (x₀, f(x₀)). Ini berarti bahwa tebakan nilai yang diperhalus merupakan akar tunggal dari hampiran linear di titik awal. Proses tersebut akan berulang, yang dituliskan sebagai,

$$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}},$$

sampai proses tersebut mencapai nilai yang tepat.

Deskripsi

Gagasan metode ini menjelaskan dimulai dengan tebakan nilai awal. Setelah itu, fungsi tersebut dihampiri dengan garis singgungnya. dan terakhir menghitung perpotongan garis ini dengan sumbu-$x$. Perpotongan dengan sumbu-$x$ ini biasanya merupakan hampiran yang lebih baik ke akar fungsi daripada tebakan awal, dan metode ini dapat diiterasi.

Ilustrasi salah satu iterasi metode Newton (fungsi ƒ ditunjukkan dengan warna biru dan garis singgung dalam warna merah). Dapat dilihat bahwa x_n+1 adalah hampiran yang lebih baik daripada x_nuntuk akar x dari fungsi f.

Jika suatu garis yang menyinggung ke kurva $f(x)$ di $x=x_{n}$memotong sumbu-$x$ di $x_{n+1}$, maka kemiringannya adalah

$$f'(x_{n})={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x_{n})-0}{x_{n}-x_{n+1}}}.$$

Pada rumus di atas, $f'$ melambangkan turunan dari fungsi $f$. Dengan menyelesaikan $x_{n+1}$, akan memberikan

$$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}.$$

Proses ini dimulai dengan nilai awal sembarang $x_{0}$. Metode ini biasanya akan mengerucut pada akar, dengan syarat tebakan awal cukup dekat pada akar tersebut, dan bahwa $f'(x_{0})\neq 0$.

Sejarah

Nama "metode Newton" berasal dari karya milik Isaac Newton yang menjelaskan tentang kasus istimewa dari metode. Karya tersebut adalah De analysi per aequationes numero terminorum infinitas yang ditulis pada 1669, dan diterbitkan pada 1711 oleh William Jones; serta De metodis fluxionum et serierum infinitarum yang ditulis di tahun 1671, dan kemudian diterjemahkan dan diterbitkan sebagai Method of Fluxions di tahun 1736 oleh John Colson. Sayangnya, metode tersebut sangatlah berbeda daripada metode modern yang diberikan di atas. Metode yang digunakan Newton hanyalah polinomial, yang dimulai dari perkiraan akar awal dan menyaring barisan dari koreksi galat. Newton menggunakan setiap koreksi tersebut untuk menulis ulang polinomial dalam bentuk galat yang tersisa, dan kemudian menyelesaikan koreksi baru dengan mengabaikan suku-suku yang lebih tinggi. Newton dengan tegas tidak mengaitkan metode dengan turunan atau menyajikan rumus umum. Newton menerapkan metode ini pada masalah numerik dan aljabar, yang menghasilkan deret Taylor dalam kasus terakhir.

Ada kemungkinan bahwa metode yang dipakai Newton diambil dari metode milik Vieta, tetapi metode itu kurang akurat. Gagasan dasar tentang metode Vieta dapat ditemukan dalam karya seorang matematikawan berkebangsaan Persia yang bernama Sharaf al-Din al-Tusi, sedangkan penerusnya, Jamshīd al-Kāshī, menggunakan metode penyelesaian Newton $x^{P}-N=0$ untuk menemukan akar dari $N$. Kasus istimewa dari metode Newton untuk menghitung akar kuadrat telah dikenal sejak zaman kuno, dan metode tersebut kerapkali disebut metode Babilonia.

Metode Newton digunakan oleh seorang matematikawan berkebangsaan Jepang yang bernama Seki Kōwa pada abad ke-17. Seki menggunakan metode tersebut untuk menyelesaikan persamaan variabel tunggal, meskipun tidak terdapat kaitannya dengan kalkulus.

Metode Newton pertama kali diterbitkan dalam karya John Wallis pada tahun 1685, yang berjudul A Treatise of Algebra both Historical and Practical. Pada tahun 1690, Joseph Raphson menerbitkan deskripsi yang disederhanakan dalam karyanya, Analysis aequationum universalis. Raphson juga menerapkan metode ini hanya untuk polinomial, tetapi ia menghindari proses penulisan ulang Newton yang membosankan dengan menyaring setiap koreksi dari polinomial asli secara beruntun. Hal ini memungkinnya untuk mendapatkan ekspresi berulang yang dapat digunakan kembali untuk setiap masalah. Hingga pada tahun 1740, Thomas Simpson mendeskripsikan metode Newton sebagai metode berulang untuk menyelesaikan persamaan non-linear umum dengan menggunakan kalkulus. Dalam terbitan yang sama, Simpson juga memberikan perumuman untuk sistem dua persamaan, dan mencatat bahwa metode Newton dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi dengan menetapkan gradien bernilai nol.

Arthur Cayley dalam karyanya The Newton–Fourier imaginary problem, yang diterbitkan di tahun 1879, adalah orang pertama yang menyadari kesulitan dalam memperumum metode Newton ke akar kompleks polinomial dengan derajat yang lebih besar dari 2, dan nilai awalan kompleks. Adanya perumuman tersebut dapat membuka jalan untuk mempelajari teori iterasi dari fungsi rasional.

Lihat pula

• Akar kuadrat bilangan bulat
• Akar kuadrat invers cepat
• Algoritma pencari akar
• Ekstrapolasi Richardson
• Gradient descent
• Metode bagi dua
• Metode Euler
• Metode Laguerre
• Metode menghitung akar kuadrat
• Metode Newton dalam optimisasi
• Metode sekan
• Metode Steffensen
• Metode subgradien
• Proses delta kuadrat Aitken
• Skoring Fisher
• Teorema Kantorovich

Referensi

• Gil, A.; Segura, J.; Temme, N. M. (2007). Numerical methods for special functions. Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 978-0-89871-634-4. 
• Süli, Endre; Mayers, David (2003). An Introduction to Numerical Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-00794-1. 

Further reading

• Kendall E. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, (1989) John Wiley & Sons, Inc, ISBN 0-471-62489-6
• Tjalling J. Ypma, Historical development of the Newton–Raphson method, SIAM Review 37 (4), 531–551, 1995. DOI:10.1137/1037125.
• Bonnans, J. Frédéric; Gilbert, J. Charles; Lemaréchal, Claude; Sagastizábal, Claudia A. (2006). Numerical optimization: Theoretical and practical aspects. Universitext (edisi ke-Second revised ed. of translation of 1997 French). Berlin: Springer-Verlag. hlm. xiv+490. doi:10.1007/978-3-540-35447-5. ISBN 3-540-35445-X. MR 2265882. 
• P. Deuflhard, Newton Methods for Nonlinear Problems. Affine Invariance and Adaptive Algorithms. Springer Series in Computational Mathematics, Vol. 35. Springer, Berlin, 2004. ISBN 3-540-21099-7.
• C. T. Kelley, Solving Nonlinear Equations with Newton's Method, no 1 in Fundamentals of Algorithms, SIAM, 2003. ISBN 0-89871-546-6.
• J. M. Ortega, W. C. Rheinboldt, Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. Classics in Applied Mathematics, SIAM, 2000. ISBN 0-89871-461-3.
• Press, W. H.; Teukolsky, S. A.; Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. (2007). "Chapter 9. Root Finding and Nonlinear Sets of Equations Importance Sampling". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (edisi ke-3rd). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. . See especially Sections 9.4, 9.6, and 9.7.
• Avriel, Mordecai (1976). Nonlinear Programming: Analysis and Methods. Prentice Hall. hlm. 216–221. ISBN 0-13-623603-0. 

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Newton method", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Newton's Method". MathWorld. 
• Newton's method, Citizendium.
• Mathews, J., The Accelerated and Modified Newton Methods, Course notes.
• Wu, X., Roots of Equations, Course notes.