E (konstanta matematika)

"Bilangan Euler" beralih ke halaman ini. Untuk kegunaan lain, lihat Daftar benda yang dinamai menurut nama Leonhard Euler § Bilangan.

"E (bilangan)" beralih ke halaman ini. Untuk kode yang mewakili bahan tambahan makanan, lihat Bilangan E.

Grafik persamaan $y=1/x$. Di antaranya, $e$ adalah bilangan unik yang lebih besar dari 1 yang membuat daerah yang diarsir sama dengan 1.

Bilangan $e$ (atau, disebut juga sebagai bilangan Euler) adalah konstanta matematika yang dimana nilai kira-kiranya sama dengan 2,71828 dan dikarakterisasi dalam berbagai cara. Hal ini termasuk basis dari logaritma alami. Ini adalah limit dari $(1+1/n)^{n}$ sebagai $n$ yang mendekati nilai tak hingga, ekspresi yang muncul dalam studi bunga majemuk. Ini dihitung sebagai jumlah dari deret tak hingga

$e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots$

Ini juga merupakan bilangan positif unik $a$ sehingga grafik fungsi $y=a^{x}$ memiliki kemiringan dari 1 pada $x=0$.

Fungsi eksponensial (alami) $f(x)=e^{x}$ adalah fungsi unik $f$ sama dengan turunan-diri dan memenuhi persamaan $f''(0)=1$; maka seseorang juga mendefinisikan $e$ sebagai $f(1)$. Logaritma alami atau logaritma ke basis $e$, adalah fungsi invers pada fungsi eksponensial alami. Logaritma alamai suatu bilangan $k>1$ didefinisikan secara langsung sebagai luas bawah kurva $y=1/x$ antara $x=1$ dan $x=k$, dalam hal ini $e$ adalah nilai $k$ yang luasnya sama dengan satu (lihat gambar diatas).

$e$ kadang-kadang disebut bilangan Euler, setelah metematikawan asal Swiss Leonhard Euler (jangan keliru dengan $\gamma$, konstanta Euler–Mascheroni, terkadang disebut juga sebagai konstanta Euler), atau konstanta Napier. Namun, pilihan Euler atas simbol $e$ dikatakan sudah dipertahankan untuk menghormatinya. Konstanta ini ditemukan oleh matematikawan Swiss Jacob Bernoulli saat mempelajari bunga majemuk.

Bilangan $e$ sangat penting digunakan dalam bidang matematika, disamping 0, 1, $\pi$, dan $\mathrm {i}$. Kelimanya muncul dalam satu formulasi identitas Euler, dan memainkan peran penting dan berulang di seluruh bidang matematika. Seperti konstanta $\pi$, $e$ adalah irasional (yaitu, tidak dapat direpresentasikan sebagai rasio bilangan bulat) dan transendental (yaitu bukan akar dari polinomial bukan nol dengan koefisien rasional). Untuk 50 tempat desimal nilai $e$ adalah:

2.71828182845904523536028747135266249775724709369995... (barisan A001113 pada OEIS).

Sejarah

Referensi pertama untuk konstanta diterbitkan pada tahun 1618 dalam tabel lampiran dari sebuah karya tentang logaritma oleh John Napier. Namun, semua tidak berisi konstanta itu sendiri, tetapi hanya daftar logaritma yang dihitung dari nilai konstanta. Diasumsikan bahwa tabel tersebut ditulis oleh William Oughtred.

Penemuan konstanta itu sendiri dikreditkan ke Jacob Bernoulli pada tahun 1683, yang mencoba to find the value of the following expression (which is equal to e):

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$

Aplikasi

Bunga majemuk

Pengaruh memperoleh bunga tahunan 20% pada sebuah awal $1,000 investasi pada berbagai frekuensi penggabungan

Jacob Bernoulli menemukan konstanta ini pada tahun 1683, ketika mempelajari pertanyaan tentang bunga majemuk:

Sebuah akun dimulai dengan $1,00 dan membayar bunga 100 persen per tahun. Jika bunga dikreditkan sekali, pada akhir tahun, nilai akun di akhir tahun adalah $2,00. Apa yang terjadi jika bunga dihitung dan dikreditkan lebih sering sepanjang tahun?

Jika bunga dikreditkan dua kali dalam setahun, tingkat bunga untuk setiap 6 bulan akan menjadi 50%, jadi $ 1 awal dikalikan 1,5 dua kali, menghasilkan $1.00 × 1.5² = $2.25 di akhir tahun. Peracikan hasil kuartalan $1.00 × 1.25⁴ = $2.4414..., dan menggabungkan hasil bulanan $1.00 × (1 + 1/12)¹² = $2.613035… Bila ada n interval majemuk, bunga untuk setiap interval akan 100%/n dan nilainya pada akhir tahun akan menjadi $1.00 × (1 + 1/n)ⁿ.

Bernoulli memperhatikan bahwa urutan ini mendekati batas (kekuatan minat) dengan lebih besar n dan, dengan demikian, interval penggabungan yang lebih kecil. Meracik mingguan (n = 52) menghasilkan $ 2,692597 ..., sementara penggabungan uang harian (n = 365) menghasilkan $ 2,714567 ... (sekitar dua sen lebih). Batasnya sebagai n tumbuh besar adalah jumlah yang kemudian dikenal sebagai e. Artinya, dengan penggabungan kontinu, nilai akun akan mencapai $2.7182818...

Secara lebih umum, akun yang dimulai dari $ 1 dan menawarkan tingkat bunga tahunan sebesar R, setelah itu t tahun, hasil dari e^Rt dolar dengan peracikan terus menerus.

(Perhatikan di sini karena R adalah desimal yang setara dengan suku bunga yang dinyatakan sebagai persentase, jadi untuk bunga 5%, R = 5/100 = 0.05.)

Pengadilan Bernoulli

Grafik probabilitas P jika not mengamati peristiwa independen masing-masing probabilitas 1/n sesudah n Pengadilan Bernoulli, dan 1 − P  vs n ; dapat diamati bahwa ketika n meningkat, probabilitas 1/n peristiwa kebetulan tidak pernah muncul setelah n mencoba dengan cepat menyatu dengan 1/e.

Bilangan dari e itu sendiri juga memiliki aplikasi dalam teori probabilitas, dengan cara yang tidak jelas terkait dengan pertumbuhan eksponensial:

${\binom {10^{6}}{k}}\left(10^{-6}\right)^{k}\left(1-10^{-6}\right)^{10^{6}-k}.$

Secara khusus, kemungkinan hadil nol kali (k = 0) adalah

$\left(1-{\frac {1}{10^{6}}}\right)^{10^{6}}.$

yang sangat mendekati batas

$\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}={\frac {1}{e}}.$

Distribusi normal standar

Artikel utama: Distribusi normal

Distribusi normal dengan rata-rata nol dan deviasi standar satuan dikenal sebagai distribusi normal standar, diberikan oleh fungsi kepadatan probabilitas

$\phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.$

Batasan varian unit (dan juga deviasi standar unit) menghasilkan 12 dalam eksponen, dan batasan luas total unit di bawah kurva $\phi (x)$ menghasilkan faktor $\textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}$.^[bukti] Fungsi ini simetris x = 0, di mana ia mencapai nilai maksimumnya $\textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}$, dan memiliki titik belok di x = ±1.

Kekacauan

Aplikasi lain dari e, juga ditemukan sebagian oleh Jacob Bernoulli bersama dengan Pierre Raymond de Montmort, Ada dalam masalah kekacauan, juga dikenal sebagai masalah cek topi: n tamu diundang ke pesta, dan di depan pintu, semua tamu memeriksa topi mereka dengan kepala pelayan, yang pada gilirannya menempatkan topi ke dalam n kotak, masing-masing diberi label dengan nama satu tamu. Tapi kepala pelayan belum menanyakan identitas para tamu, jadi dia menempatkan topi ke dalam kotak yang dipilih secara acak. Masalah de Montmort adalah menemukan probabilitas itu, tidak ada topi yang dimasukkan ke kotak kanan. Probabilitas ini, dilambangkan dengan $p_{n}\!$, is:

$p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.$

Sebagai nomor n sebagai tamu cenderung tak terbatas, p_n pendekatan 1 / e. Selanjutnya, banyaknya cara penempatan topi ke dalam kotak sehingga tidak ada topi yang berada di kotak yang tepat. n!/e (dibulatkan ke bilangan bulat terdekat untuk setiap positif n).

Masalah perencanaan yang optimal

Sebatang panjang L dipecah menjadi n bagian yang sama. Nilai dari n yang memaksimalkan produk dari panjang adalah:

$n=\left\lfloor {\frac {L}{e}}\right\rfloor$ or $\left\lfloor {\frac {L}{e}}\right\rfloor +1.$

Asimtotik

Angka e terjadi secara alami sehubungan dengan banyak masalah yang melibatkan asimtotik. Contohnya adalah Rumus Stirling untuk asimtotik dari fungsi faktorial, di mana kedua bilangan tersebut e dan π muncul:

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$

Sebagai konsekuensi,

$e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.$

Lihat pula

• Fungsi eksponensial
• Logaritma