Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz
Artikel atau bagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz di Inggris.wikipedia.org. Isinya memiliki ketidakakuratan. Selain itu beberapa bagian yang diterjemahkan masih memerlukan penyempurnaan. Pengguna yang mahir dengan bahasa yang bersangkutan dipersilakan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini, atau Anda juga dapat ikut bergotong royong dalam ProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel) |
Dalam matematika, Ketaksamaan Cauchy-Schwarz, atau dikenal juga Ketaksamaan Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz, adalah sebuah pertidaksamaan yang sering ditemukan dalam berbagai bidang matematis, seperti aljabar linear, analisis, teori peluang, aljabar vektor, dan bidang-bidang lainnya.[1]
Ketaksamaan untuk jumlahan diterbitkan oleh Augustin-Louis Cauchy (1821), sedangkan ketaksamaan untuk integral pertama kali dibuktikan oleh Viktor Bunyakovsky (1859). Kemudian ketaksamaaan integral ditemukan kembali oleh Hermann Amandus Schwarz (1888).[1]
Pernyataan Ketaksamaan[sunting | sunting sumber]
Ketaksamaan Cauchy-Schwarz menyatakan bahwa untuk setiap vektor u dan v anggota suatu ruang hasil kali dalam, berlaku
dengan adalah hasil kali dalam.[2][3] Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, ketaksamaan di atas dapat dituliskan sebagai
Jika dan , dan operasi hasil kali dalamnya adalah hasil kali dalam kompleks standar, maka ketaksamaan dapat dinyatakan secara lebih eksplisit sebagai berikut:
atau
Lemma Titu[sunting | sunting sumber]
Lemma Titu (ditemukan oleh Titu Andreescu, atau dikenal juga lemma T2, bentuk Engel, atau Pertidaksamaan Sedrakyan) menyatakan bahwa untuk dan , bilangan real positif, diperoleh
Ini merupakan akibat dari Ketaksamaan Cauchy-Schwarz yang diperoleh dengan mensubstitusikan dan Bentuk ini membantu kita saat ketaksamaan melibatkan pecahan di mana bilangannya adalah kuadrat sempurna.
Rn (Ruang Euklides n-Dimensi)[sunting | sunting sumber]
Dalam Ruang Euklides dengan hasil kali dalam standar, Ketaksamaan Cauchy-Schwarz berbentuk
Ketaksamaan Cauchy-Schwarz dapat dijelaskan dengan menggunakan ide dari aljabar dasar. Perhatikan polinomial kuadrat dalam sebagai berikut
L2[sunting | sunting sumber]
Untuk hasil kali dalam dari fungsi bernilai kompleks terintegral kuadrat, didapat
Teorema yang digunakan adalah Ketaksamaan Hölder.
Referensi[sunting | sunting sumber]
- ^ a b Steele, J. Michael (2004). The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. The Mathematical Association of America. hlm. 1. ISBN 978-0521546775.
...there is no doubt that this is one of the most widely used and most important inequalities in all of mathematics.
- ^ Strang, Gilbert (19 July 2005). "3.2". Linear Algebra and its Applications (edisi ke-4th). Stamford, CT: Cengage Learning. hlm. 154–155. ISBN 978-0030105678.
- ^ Hunter, John K.; Nachtergaele, Bruno (2001). Applied Analysis. World Scientific. ISBN 981-02-4191-7.
- ^ Bachmann, George; Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2012-12-06). Fourier and Wavelet Analysis. Springer Science & Business Media. hlm. 14. ISBN 9781461205050.
- ^ Hassani, Sadri (1999). Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations. Springer. hlm. 29. ISBN 0-387-98579-4.
Equality holds iff <c|c>=0 or |c>=0. From the definition of |c>, we conclude that |a> and |b> must be proportional.