Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Dalam matematika, Ketaksamaan Cauchy-Schwarz, atau dikenal juga Ketaksamaan Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz, adalah sebuah pertidaksamaan yang sering ditemukan dalam berbagai bidang matematis, seperti aljabar linear, analisis, teori peluang, aljabar vektor, dan bidang-bidang lainnya.[1]

Ketaksamaan untuk jumlahan diterbitkan oleh Augustin-Louis Cauchy (1821), sedangkan ketaksamaan untuk integral pertama kali dibuktikan oleh Viktor Bunyakovsky (1859). Kemudian ketaksamaaan integral ditemukan kembali oleh Hermann Amandus Schwarz (1888).[1]

Pernyataan Ketaksamaan[sunting | sunting sumber]

Ketaksamaan Cauchy-Schwarz menyatakan bahwa untuk setiap vektor u dan v anggota suatu ruang hasil kali dalam, berlaku

dengan adalah hasil kali dalam.[2][3] Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, ketaksamaan di atas dapat dituliskan sebagai

[4][5]

Jika dan , dan operasi hasil kali dalamnya adalah hasil kali dalam kompleks standar, maka ketaksamaan dapat dinyatakan secara lebih eksplisit sebagai berikut:

atau

Lemma Titu[sunting | sunting sumber]

Lemma Titu (ditemukan oleh Titu Andreescu, atau dikenal juga lemma T2, bentuk Engel, atau Pertidaksamaan Sedrakyan) menyatakan bahwa untuk dan , bilangan real positif, diperoleh

Ini merupakan akibat dari Ketaksamaan Cauchy-Schwarz yang diperoleh dengan mensubstitusikan dan Bentuk ini membantu kita saat ketaksamaan melibatkan pecahan di mana bilangannya adalah kuadrat sempurna.

Rn (Ruang Euklides n-Dimensi)[sunting | sunting sumber]

Dalam Ruang Euklides dengan hasil kali dalam standar, Ketaksamaan Cauchy-Schwarz berbentuk

Ketaksamaan Cauchy-Schwarz dapat dijelaskan dengan menggunakan ide dari aljabar dasar. Perhatikan polinomial kuadrat dalam sebagai berikut

L2[sunting | sunting sumber]

Untuk hasil kali dalam dari fungsi bernilai kompleks terintegral kuadrat, didapat

Teorema yang digunakan adalah Ketaksamaan Hölder.

Lihat juga[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ a b Steele, J. Michael (2004). The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. The Mathematical Association of America. hlm. 1. ISBN 978-0521546775. ...there is no doubt that this is one of the most widely used and most important inequalities in all of mathematics. 
  2. ^ Strang, Gilbert (19 July 2005). "3.2". Linear Algebra and its Applications (edisi ke-4th). Stamford, CT: Cengage Learning. hlm. 154–155. ISBN 978-0030105678. 
  3. ^ Hunter, John K.; Nachtergaele, Bruno (2001). Applied Analysis. World Scientific. ISBN 981-02-4191-7. 
  4. ^ Bachmann, George; Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2012-12-06). Fourier and Wavelet Analysis. Springer Science & Business Media. hlm. 14. ISBN 9781461205050. 
  5. ^ Hassani, Sadri (1999). Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations. Springer. hlm. 29. ISBN 0-387-98579-4. Equality holds iff <c|c>=0 or |c>=0. From the definition of |c>, we conclude that |a> and |b> must be proportional.