Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz

Dalam matematika, Ketaksamaan Cauchy-Schwarz, atau dikenal juga Ketaksamaan Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz, adalah sebuah pertidaksamaan yang sering ditemukan dalam berbagai bidang matematis, seperti aljabar linear, analisis, teori peluang, aljabar vektor, dan bidang-bidang lainnya.

Ketaksamaan untuk jumlahan diterbitkan oleh Augustin-Louis Cauchy (1821), sedangkan ketaksamaan untuk integral pertama kali dibuktikan oleh Viktor Bunyakovsky (1859). Kemudian ketaksamaaan integral ditemukan kembali oleh Hermann Amandus Schwarz (1888).

Pernyataan Ketaksamaan

Ketaksamaan Cauchy-Schwarz menyatakan bahwa untuk setiap vektor u dan v anggota suatu ruang hasil kali dalam, berlaku

$|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,$

dengan $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ adalah hasil kali dalam. Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, ketaksamaan di atas dapat dituliskan sebagai

$|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |\leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|.$

Jika $u_{1},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {C}$ dan $v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {C}$, dan operasi hasil kali dalamnya adalah hasil kali dalam kompleks standar, maka ketaksamaan dapat dinyatakan secara lebih eksplisit sebagai berikut:

$|u_{1}{\bar {v}}_{1}+\cdots +u_{n}{\bar {v}}_{n}|^{2}\leq (|u_{1}|^{2}+\cdots +|u_{n}|^{2})(|v_{1}|^{2}+\cdots +|v_{n}|^{2})$

atau

$\left|\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\bar {v}}_{i}\right|^{2}\leq \sum _{j=1}^{n}|u_{j}|^{2}\sum _{k=1}^{n}|v_{k}|^{2}.$

Lemma Titu

Lemma Titu (ditemukan oleh Titu Andreescu, atau dikenal juga lemma T2, bentuk Engel, atau Pertidaksamaan Sedrakyan) menyatakan bahwa untuk $u_{i}$ dan $v_{i}$, $i=1,2,3,...,n$ bilangan real positif, diperoleh

${\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{n}v_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}.$

Ini merupakan akibat dari Ketaksamaan Cauchy-Schwarz yang diperoleh dengan mensubstitusikan $u_{i}'={\frac {u_{i}}{\sqrt {v_{i}}}}$ dan $v_{i}'={\sqrt {v_{i}}}.$ Bentuk ini membantu kita saat ketaksamaan melibatkan pecahan di mana bilangannya adalah kuadrat sempurna.

Rⁿ (Ruang Euklides n-Dimensi)

Dalam Ruang Euklides $\mathbb {R} ^{n}$ dengan hasil kali dalam standar, Ketaksamaan Cauchy-Schwarz berbentuk

$\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right)$

Ketaksamaan Cauchy-Schwarz dapat dijelaskan dengan menggunakan ide dari aljabar dasar. Perhatikan polinomial kuadrat dalam $x$ sebagai berikut

$0\leq (u_{1}x+v_{1})^{2}+\cdots +(u_{n}x+v_{n})^{2}=\left(\sum u_{i}^{2}\right)x^{2}+2\left(\sum u_{i}v_{i}\right)x+\sum v_{i}^{2}.$

L²

Untuk hasil kali dalam dari fungsi bernilai kompleks terintegral kuadrat, didapat

$\left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\overline {g(x)}}\,dx\right|^{2}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|^{2}\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}|g(x)|^{2}\,dx.$

Teorema yang digunakan adalah Ketaksamaan Hölder.