Penggunaan Archimedes infinitesimal

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian


Metode Teorema Mekanik[diragukan] (bahasa Yunani: Περὶ μηχανικῶν θεωρημάτων πρὸς Ἐρατοσθένη ἔφοδος), atau disebut juga sebagai Metode, dianggap sebagai salah satu karya utama yang masih hidup dari Yunani kuno polymath Archimedes. Metode mengambil bentuk surat dari Archimedes kepada Eratosthenes,[1] kepala pustakawan di Perpustakaan Alexandria, dan berisi penggunaan eksplisit pertama yang terbukti dari indivisibles (terkadang disebut sebagai infinitesimal).[1][2] Karya tersebut awalnya dianggap hilang, tetapi pada tahun 1906 ditemukan kembali di Archimedes Palimpsest. Palimpsest mencakup akun Archimedes tentang "metode mekanis", yang disebut demikian karena ia bergantung pada hukum tuas, yang pertama kali didemonstrasikan oleh Archimedes, dan dari pusat massa (atau centroid), yang telah dia temukan untuk banyak bentuk khusus.

Archimedes tidak mengakui metode indivisibles sebagai bagian dari matematika yang ketat, dan karena itu tidak mempublikasikan metodenya dalam risalah formal yang berisi hasil. Dalam risalah ini, ia membuktikan teorema yang sama dengan kelelahan, menemukan batas atas dan bawah yang ketat yang keduanya bertemu dengan jawaban yang diperlukan. Namun demikian, metode mekanis adalah apa yang dia gunakan untuk menemukan hubungan yang kemudian dia berikan bukti yang kuat.

Luas parabola[sunting | sunting sumber]

Untuk menjelaskan metode Archimedes hari ini, akan lebih mudah untuk menggunakan sedikit geometri kartesius, meskipun ini tentu saja tidak tersedia pada saat itu. Idenya adalah menggunakan hukum tuas untuk menentukan bidang bangun dari pusat massa benda lain yang diketahui. Contoh paling sederhana dalam bahasa modern adalah luas parabola. Archimedes menggunakan metode yang lebih elegan, namun dalam bahasa Cartesian, metodenya menghitung integral

yang sekarang dapat dengan mudah diperiksa menggunakan dasar kalkulus integral.

Idenya adalah untuk menyeimbangkan parabola secara mekanis (bidang lengkung yang terintegrasi di atas) dengan segitiga tertentu yang terbuat dari bahan yang sama. Parabola adalah wilayah di x-y bidang antara sumbu x dan y = x2 as x bervariasi dari 0 hingga 1. Segitiga adalah wilayah di x-y pesawat antara sumbu x dan garis y = x, juga karena x bervariasi dari 0 hingga 1.

Proposisi pertama di palimpsest[sunting | sunting sumber]

Pertimbangkan parabola pada gambar di sebelah kanan. Pilih dua titik pada parabola dan beri nama A dan B .

Archie1small.png

Misalkan ruas garis AC sejajar dengan sumbu simetri parabola. Selanjutnya anggaplah bahwa ruas garis BC terletak pada garis yang tangent dengan parabola di B . Proposisi pertama menyatakan:

Luas segitiga ABC persis tiga kali luas yang dibatasi oleh parabola dan garis potong garis AB .
Bukti:

Misalkan D menjadi titik tengah dari AC . Buat segmen garis JB hingga D , di mana jarak dari J ke D sama dengan jarak dari B ke D . Kami akan menganggap segmen JB sebagai "pengungkit" dengan D sebagai titik tumpu. Seperti yang ditunjukkan Archimedes sebelumnya, pusat massa segitiga berada pada titik I pada "tuas" di mana DI :DB = 1:3. Oleh karena itu, cukup untuk menunjukkan bahwa jika seluruh berat bagian dalam segitiga berada pada I , dan seluruh berat penampang parabola pada J , tuas berada dalam kesetimbangan.

Pertimbangkan penampang segitiga yang sangat kecil yang diberikan oleh segmen HE , di mana titik H terletak pada BC , titik E terletak di AB , dan HE sejajar dengan sumbu simetri parabola. Sebut persimpangan HE dan parabola F dan persimpangan HE dan tuas G . Jika seluruh berat segitiga bertumpu pada I , torsi yang sama diberikan pada tuas JB seperti pada HE .

Volume bola[sunting | sunting sumber]

Sekali lagi, untuk menerangi metode mekanis, akan lebih mudah untuk menggunakan sedikit geometri koordinat. Jika sebuah bola berjari-jari 1 ditempatkan dengan pusatnya pada x = 1, persilangan vertikal di setiap x antara 0 dan 2 diberikan oleh rumus berikut:

Massa penampang ini, untuk tujuan penyeimbangan pada tuas, sebanding dengan luas:

Archimedes kemudian mempertimbangkan untuk memutar daerah segitiga antara y = 0 dan y = x dan x = 2 pada x - y pesawat di sekitar sumbu x -, untuk membentuk kerucut. Penampang kerucut ini adalah lingkaran dengan jari-jari

dan luas penampang ini adalah

Jadi jika irisan kerucut dan bola keduanya harus ditimbang, luas penampang gabungan adalah:

Jika dua irisan ditempatkan bersama pada jarak 1 dari titik tumpu, berat totalnya akan persis diimbangi dengan lingkaran luas. pada jarak x dari titik tumpu di sisi lain. Ini berarti kerucut dan bola menyatu, jika semua materialnya dipindahkan x = 1, akan menyeimbangkan silinder dengan radius dasar 1 dan panjang 2 di sisi lain.

Volume silinder adalah luas penampang, dikalikan tinggi, yaitu 2, atau . Archimedes juga dapat menghitung volume kerucut dengan menggunakan metode mekanis, karena dalam istilah modern, integral yang terlibat persis sama dengan volume untuk luas parabola. Volume kerucut adalah 1/3 luas alasnya dikalikan tinggi. Alas kerucut adalah lingkaran dengan jari-jari 2, dengan luas , sedangkan tingginya 2, jadi luasnya . Pengurangan volume kerucut dari volume silinder menghasilkan volume bola:

Ketergantungan volume bola pada jari-jari terlihat jelas dari penskalaan, meskipun itu juga tidak sepele untuk dibuat ketat saat itu. Metode tersebut kemudian memberikan rumus yang sudah dikenal untuk volume bola. Dengan menskalakan dimensi secara linier Archimedes dengan mudah memperluas hasil volume ke spheroid.

Argumen Archimedes hampir identik dengan argumen di atas, tetapi silindernya memiliki radius yang lebih besar, sehingga kerucut dan silinder digantung pada jarak yang lebih jauh dari titik tumpu. Dia menganggap argumen ini sebagai pencapaian terbesarnya, meminta agar sosok bola, kerucut, dan silinder yang seimbang diukir di atas batu nisannya.

Luas permukaan Bola[sunting | sunting sumber]

Luas permukaan pada bola yaitu.

Archimedes pertama kali memperoleh rumus ini[3] dari fakta bahwa proyeksi ke permukaan lateral dari silinder yang dibatasi adalah pengawet area.[4] Pendekatan lain untuk memperoleh rumus berasal dari fakta bahwa rumus tersebut sama dengan turunan rumus untuk volume sehubungan dengan karena volume total di dalam bola jari-jari dapat dianggap sebagai penjumlahan dari luas permukaan jumlah yang tidak terbatas dari cangkang bola dengan ketebalan sangat kecil yang ditumpuk secara konseptual di dalam satu sama lain dari jari jari hingga jari jari . Pada ketebalan sangat kecil perbedaan antara luas permukaan bagian dalam dan luar setiap shell yang diberikan sangat kecil, dan volume unsur pada jari-jari hanyalah produk dari luas permukaan pada jari-jari dan ketebalan sangat kecil.

Pada jari-jari tertentu , volume tambahan ( δV ) sama dengan produk dari luas permukaan pada jari-jari r ( A ( r ) dan ketebalan cangkang ( δr ):

Volume total adalah penjumlahan dari semua volume shell:

Dalam batas ketika approachesr mendekati nol [5] persamaan ini menjadi:

Pengganti :

Membedakan kedua sisi persamaan ini sehubungan dengan menghasilkan sebagai fungsi :

di mana r sekarang dianggap sebagai jari-jari bola yang tetap.

Atau, elemen luas pada bola diberikan dalam koordinat bola oleh dA = r2 sin θ dθ dφ. Dalam Kordinat Kartesius, elemen luas adalah

Total luas dengan demikian dapat diperoleh dengan integral:

Bola memiliki luas permukaan terkecil dari semua permukaan yang membungkus volume tertentu, dan melingkupi volume terbesar di antara semua permukaan tertutup dengan luas permukaan tertentu.[6] Karenanya bola muncul di alam: misalnya, gelembung dan tetesan air kecil secara kasar berbentuk bola karena tegangan permukaan secara lokal meminimalkan luas permukaan.

Luas permukaan relatif terhadap massa bola disebut luas permukaan spesifik dan dapat dinyatakan dari persamaan yang dinyatakan di atas sebagai

di mana ρ adalah kepadatan (rasio massa terhadap volume).

Proposisi lain di palimpsest[sunting | sunting sumber]

Serangkaian proposisi geometri dibuktikan dalam palimpsest dengan argumen serupa. Salah satu teorema adalah bahwa lokasi sebuah pusat massa a belahan bumi terletak 5/8 dari kutub ke pusat bola. Masalah ini penting, karena mengevaluasi integral kubik.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ a b Archimedes 1912
  2. ^ Netz, Reviel; Saito, Ken; Tchernetska, Natalie: Bacaan baru Proposisi Metode 14: bukti awal dari palimpsest Archimedes. I. SCIAMVS 2 (2001), 9–29.
  3. ^ (Inggris) Eric W. Weisstein, Sphere di MathWorld.
  4. ^ Steinhaus 1969, p. 221.
  5. ^ E.J. Borowski; J.M. Borwein (1989). Collins Dictionary of Mathematics. hlm. 141, 149. ISBN 978-0-00-434347-1. 
  6. ^ Osserman, Robert (1978). "The isoperimetric inequality". Bulletin of the American Mathematical Society. 84: 1187. Diakses tanggal 14 December 2019. 

Referensi[sunting | sunting sumber]

Templat:Archimedes Templat:Infinitesimals