Metode integrasi numerik

Metode integrasi numerik adalah suatu cara untuk menghitung aproksimasi luas daerah di bawah fungsi yang dimaksud pada selang yang diberikan. Berikut ini adalah beberapa metode integrasi numerik yang lazim digunakan :

Metoda Euler Eksplisit: merupakan metoda integrasi yang paling mudah

${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})$ ${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})$ $x_{k}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k-1}$ $x_{k}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k-1}$

Metoda Euler Implisit

${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k}+Bu_{k}=f(x_{k},u_{k})$ ${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k}+Bu_{k}=f(x_{k},u_{k})$ $x_{k}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k}$ $x_{k}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k}$

Pada metoda integrasi implisit nilai aktual $x_{k}$ $x_{k}$ juga digunakan sebagai umpan balik. Umpan balik ini dapat menyebabkan terjadinya lingkaran aljabar. Untuk menghindarinya maka bentuk persamaan diubah menjadi seperti ini

${\dot {x}}_{k}=Ax_{k-1}+Bu_{k}=f(x_{k-1},u_{k})$ ${\dot {x}}_{k}=Ax_{k-1}+Bu_{k}=f(x_{k-1},u_{k})$ $x_{k}=x_{k-1}+h[I-hJ]^{-1}{\dot {x}}_{k}$ $x_{k}=x_{k-1}+h[I-hJ]^{-1}{\dot {x}}_{k}$

J adalah matrix Jacobi. Pada sistem linear dan invarian terhadap waktu, maka matrix J = A

Metoda Heun: Algoritma integrasi Heun memerlukan dua masukan yaitu $u_{k}$ $u_{k}$ dan $u_{k-1}$ $u_{k-1}$

${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})$ ${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})$

$x_{k}^{p}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k-1}$ $x_{k}^{p}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k-1}$ ${\dot {x}}_{k}^{p}=f(x_{k}^{p},u_{k})$ ${\dot {x}}_{k}^{p}=f(x_{k}^{p},u_{k})$

$x_{k}=x_{k-1}+{h \over 2}({\dot {x}}_{k-1}+{\dot {x}}_{k}^{p})$ $x_{k}=x_{k-1}+{h \over 2}({\dot {x}}_{k-1}+{\dot {x}}_{k}^{p})$

Metoda Runge-Kutta: merupakan integrator dengan empat masukan.

${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})$ ${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})$

$x_{k-0.5}^{p1}=x_{k-1}+{h \over 2}{\dot {x}}_{k-1}$ $x_{k-0.5}^{p1}=x_{k-1}+{h \over 2}{\dot {x}}_{k-1}$ ${\dot {x}}_{k-0.5}^{p1}=f(x_{k-0.5}^{p1},u_{k-0.5})$ ${\dot {x}}_{k-0.5}^{p1}=f(x_{k-0.5}^{p1},u_{k-0.5})$

$x_{k-0.5}^{p2}=x_{k-1}+{h \over 2}{\dot {x}}_{k-0.5}^{p1}$ $x_{k-0.5}^{p2}=x_{k-1}+{h \over 2}{\dot {x}}_{k-0.5}^{p1}$ ${\dot {x}}_{k-0.5}^{p2}=f(x_{k-0.5}^{p2},u_{k-0.5})$ ${\dot {x}}_{k-0.5}^{p2}=f(x_{k-0.5}^{p2},u_{k-0.5})$

$x_{k}^{p3}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k-0.5}^{p2}$ $x_{k}^{p3}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k-0.5}^{p2}$ ${\dot {x}}_{k}^{p3}=f(x_{k}^{p3},u_{k})$ ${\dot {x}}_{k}^{p3}=f(x_{k}^{p3},u_{k})$

$x_{k}=x_{k-1}+{h \over 6}({\dot {x}}_{k-1}+2{\dot {x}}_{k-0.5}^{p1}+2{\dot {x}}_{k-0.5}^{p2}+{\dot {x}}_{k}^{p3})$ $x_{k}=x_{k-1}+{h \over 6}({\dot {x}}_{k-1}+2{\dot {x}}_{k-0.5}^{p1}+2{\dot {x}}_{k-0.5}^{p2}+{\dot {x}}_{k}^{p3})$

Metoda Trapesium (Trapez): merupakan nilai tengah dari metoda Euler eksplisit dan metoda Euler implisit.

${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})$ ${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})$ ${\dot {x}}_{k}=Ax_{k}+Bu_{k}=f(x_{k},u_{k})$ ${\dot {x}}_{k}=Ax_{k}+Bu_{k}=f(x_{k},u_{k})$ $x_{k}=x_{k-1}+{h \over 2}({\dot {x}}_{k}+{\dot {x}}_{k+1})$ $x_{k}=x_{k-1}+{h \over 2}({\dot {x}}_{k}+{\dot {x}}_{k+1})$

Sama halnya dengan metoda Euler implisit, metoda ini dapat menyebabkan lingkaran aljabar. Oleh karena itu, bentuk persamaan ini diubah menjadi seperti ini

${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+{B \over 2}(u_{k-1}+u_{k})=f(x_{k-1},u_{k-1},u_{k})$ ${\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+{B \over 2}(u_{k-1}+u_{k})=f(x_{k-1},u_{k-1},u_{k})$ $x_{k}=x_{k-1}+h[I-{h \over 2}J]^{-1}{\dot {x}}_{k}$ $x_{k}=x_{k-1}+h[I-{h \over 2}J]^{-1}{\dot {x}}_{k}$

Metode Newton–Cotes

No.	Nama Aturan	Rumus	Estimasi Kesalahan
1	Trapezoid	${\frac {b-a}{2}}(f_{0}+f_{1})$ ${\frac {b-a}{2}}(f_{0}+f_{1})$	$-{\frac {(b-a)^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )$ $-{\frac {(b-a)^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )$
2	Simpson 1/3	${\frac {b-a}{3}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})$ ${\frac {b-a}{3}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})$	$-{\frac {(b-a)^{5}}{90}}\,f^{(4)}(\xi )$ $-{\frac {(b-a)^{5}}{90}}\,f^{(4)}(\xi )$
3	Simpson 3/8	${\frac {3(b-a)}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})$ ${\frac {3(b-a)}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})$	$-{\frac {3(b-a)^{5}}{80}}\,f^{(4)}(\xi )$ $-{\frac {3(b-a)^{5}}{80}}\,f^{(4)}(\xi )$
4	Boole atau Bode	${\frac {2(b-a)}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})$ ${\frac {2(b-a)}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})$	$-{\frac {8(b-a)^{7}}{945}}\,f^{(6)}(\xi )$ $-{\frac {8(b-a)^{7}}{945}}\,f^{(6)}(\xi )$