Metode integrasi numerik adalah suatu cara untuk menghitung aproksimasi luas daerah di bawah fungsi yang dimaksud pada selang yang diberikan. Berikut ini adalah beberapa metode integrasi numerik yang lazim digunakan :
Metode Euler Eksplisit merupakan metode integrasi yang paling mudah
x
˙
k
−
1
=
A
x
k
−
1
+
B
u
k
−
1
=
f
(
x
k
−
1
,
u
k
−
1
)
{\displaystyle {\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})}
x
k
=
x
k
−
1
+
h
x
˙
k
−
1
{\displaystyle x_{k}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k-1}}
Metode Euler Implisit
x
˙
k
−
1
=
A
x
k
+
B
u
k
=
f
(
x
k
,
u
k
)
{\displaystyle {\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k}+Bu_{k}=f(x_{k},u_{k})}
x
k
=
x
k
−
1
+
h
x
˙
k
{\displaystyle x_{k}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k}}
Pada metode integrasi implisit nilai aktual
x
k
{\displaystyle x_{k}}
umpan balik . Umpan balik ini dapat menyebabkan terjadinya lingkaran aljabar . Untuk menghindarinya maka bentuk persamaan diubah menjadi seperti ini
x
˙
k
=
A
x
k
−
1
+
B
u
k
=
f
(
x
k
−
1
,
u
k
)
{\displaystyle {\dot {x}}_{k}=Ax_{k-1}+Bu_{k}=f(x_{k-1},u_{k})}
x
k
=
x
k
−
1
+
h
[
I
−
h
J
]
−
1
x
˙
k
{\displaystyle x_{k}=x_{k-1}+h[I-hJ]^{-1}{\dot {x}}_{k}}
J adalah matrix Jacobi. Pada sistem linear dan invarian terhadap waktu, maka matrix J = A
Metode Heun Algoritma integrasi Heun memerlukan dua masukan yaitu
u
k
{\displaystyle u_{k}}
u
k
−
1
{\displaystyle u_{k-1}}
x
˙
k
−
1
=
A
x
k
−
1
+
B
u
k
−
1
=
f
(
x
k
−
1
,
u
k
−
1
)
{\displaystyle {\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})}
x
k
p
=
x
k
−
1
+
h
x
˙
k
−
1
{\displaystyle x_{k}^{p}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k-1}}
x
˙
k
p
=
f
(
x
k
p
,
u
k
)
{\displaystyle {\dot {x}}_{k}^{p}=f(x_{k}^{p},u_{k})}
x
k
=
x
k
−
1
+
h
2
(
x
˙
k
−
1
+
x
˙
k
p
)
{\displaystyle x_{k}=x_{k-1}+{h \over 2}({\dot {x}}_{k-1}+{\dot {x}}_{k}^{p})}
Metode Runge-Kutta merupakan integrator dengan empat masukan.
x
˙
k
−
1
=
A
x
k
−
1
+
B
u
k
−
1
=
f
(
x
k
−
1
,
u
k
−
1
)
{\displaystyle {\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})}
x
k
−
0.5
p
1
=
x
k
−
1
+
h
2
x
˙
k
−
1
{\displaystyle x_{k-0.5}^{p1}=x_{k-1}+{h \over 2}{\dot {x}}_{k-1}}
x
˙
k
−
0.5
p
1
=
f
(
x
k
−
0.5
p
1
,
u
k
−
0.5
)
{\displaystyle {\dot {x}}_{k-0.5}^{p1}=f(x_{k-0.5}^{p1},u_{k-0.5})}
x
k
−
0.5
p
2
=
x
k
−
1
+
h
2
x
˙
k
−
0.5
p
1
{\displaystyle x_{k-0.5}^{p2}=x_{k-1}+{h \over 2}{\dot {x}}_{k-0.5}^{p1}}
x
˙
k
−
0.5
p
2
=
f
(
x
k
−
0.5
p
2
,
u
k
−
0.5
)
{\displaystyle {\dot {x}}_{k-0.5}^{p2}=f(x_{k-0.5}^{p2},u_{k-0.5})}
x
k
p
3
=
x
k
−
1
+
h
x
˙
k
−
0.5
p
2
{\displaystyle x_{k}^{p3}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k-0.5}^{p2}}
x
˙
k
p
3
=
f
(
x
k
p
3
,
u
k
)
{\displaystyle {\dot {x}}_{k}^{p3}=f(x_{k}^{p3},u_{k})}
x
k
=
x
k
−
1
+
h
6
(
x
˙
k
−
1
+
2
x
˙
k
−
0.5
p
1
+
2
x
˙
k
−
0.5
p
2
+
x
˙
k
p
3
)
{\displaystyle x_{k}=x_{k-1}+{h \over 6}({\dot {x}}_{k-1}+2{\dot {x}}_{k-0.5}^{p1}+2{\dot {x}}_{k-0.5}^{p2}+{\dot {x}}_{k}^{p3})}
Metode Trapesium (Trapez)merupakan nilai tengah dari metode Euler eksplisit dan metode Euler implisit.
x
˙
k
−
1
=
A
x
k
−
1
+
B
u
k
−
1
=
f
(
x
k
−
1
,
u
k
−
1
)
{\displaystyle {\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})}
x
˙
k
=
A
x
k
+
B
u
k
=
f
(
x
k
,
u
k
)
{\displaystyle {\dot {x}}_{k}=Ax_{k}+Bu_{k}=f(x_{k},u_{k})}
x
k
=
x
k
−
1
+
h
2
(
x
˙
k
+
x
˙
k
+
1
)
{\displaystyle x_{k}=x_{k-1}+{h \over 2}({\dot {x}}_{k}+{\dot {x}}_{k+1})}
Sama halnya dengan metode Euler implisit, metode ini dapat menyebabkan lingkaran aljabar. Oleh karena itu, bentuk persamaan ini diubah menjadi seperti ini
x
˙
k
−
1
=
A
x
k
−
1
+
B
2
(
u
k
−
1
+
u
k
)
=
f
(
x
k
−
1
,
u
k
−
1
,
u
k
)
{\displaystyle {\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+{B \over 2}(u_{k-1}+u_{k})=f(x_{k-1},u_{k-1},u_{k})}
x
k
=
x
k
−
1
+
h
[
I
−
h
2
J
]
−
1
x
˙
k
{\displaystyle x_{k}=x_{k-1}+h[I-{h \over 2}J]^{-1}{\dot {x}}_{k}}
Metode Newton–Cotes
No.
Nama Aturan
Rumus
Estimasi Kesalahan
1
Trapezoid
b
−
a
2
(
f
0
+
f
1
)
{\displaystyle {\frac {b-a}{2}}(f_{0}+f_{1})}
−
(
b
−
a
)
3
12
f
(
2
)
(
ξ
)
{\displaystyle -{\frac {(b-a)^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )}
2
Simpson 1/3
b
−
a
3
(
f
0
+
4
f
1
+
f
2
)
{\displaystyle {\frac {b-a}{3}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})}
−
(
b
−
a
)
5
90
f
(
4
)
(
ξ
)
{\displaystyle -{\frac {(b-a)^{5}}{90}}\,f^{(4)}(\xi )}
3
Simpson 3/8
3
(
b
−
a
)
8
(
f
0
+
3
f
1
+
3
f
2
+
f
3
)
{\displaystyle {\frac {3(b-a)}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})}
−
3
(
b
−
a
)
5
80
f
(
4
)
(
ξ
)
{\displaystyle -{\frac {3(b-a)^{5}}{80}}\,f^{(4)}(\xi )}
4
Boole atau Bode
2
(
b
−
a
)
45
(
7
f
0
+
32
f
1
+
12
f
2
+
32
f
3
+
7
f
4
)
{\displaystyle {\frac {2(b-a)}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})}
−
8
(
b
−
a
)
7
945
f
(
6
)
(
ξ
)
{\displaystyle -{\frac {8(b-a)^{7}}{945}}\,f^{(6)}(\xi )}
![{\displaystyle x_{k}=x_{k-1}+h[I-hJ]^{-1}{\dot {x}}_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c8d44a52caca3e6411978102f76493a5663e077)
![{\displaystyle x_{k}=x_{k-1}+h[I-{h \over 2}J]^{-1}{\dot {x}}_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8ecf44f47bdee29bc63d9a1b9da8592a82f690e)
