Lompat ke isi

Kompleks Amitsur

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Dalam aljabar, kompleks Amitsur adalah kompleks alami yang terkait dengan homomorfisme gelanggang. Kompleks ini diperkenalkan oleh Shimshon Amitsur. Ketika homomorfisme dikatakan datar dan setia (bahasa Inggris: faithfully flat), maka kompleks Amitsur adalah eksak (yang menentukan resolusi) dasar dari teori penurunan rata tepat.

Gagasan tersebut seharusnya dipandang sebagai mekanisme untuk melampaui konvensional lokalisasi gelanggang dan modul.[1]

Misal adalah homomorfisme dari gelanggang yang tidak memerlukan sifat komutatif. Untuk memulainya, yang harus dilakukan pertama adalah mendefinisikan himpunan kosimplisial (dengan merujuk pada , bukan ). Kemudian, definisikan wajah peta dengan menyisipkan 1 pada titik ke-i :[a]

Kemudian, definisikan degenerasi dengan mengalikan ke-i dan titik-(i' ' + 1):

Definisi-definisi di atas memenuhi identitas sederhana "jelas", dan dengan demikian, adalah himpunan kosimplisial. Hal tersebut menentukan kompleks dengan augumentasi pada kompleks Amitsur:[2]

dengan

Ketepatan kompleks Amitsur

[sunting | sunting sumber]

Kasus faithfully flat

[sunting | sunting sumber]

Dalam notasi di atas, jika adalah rata tepat kanan, maka teorema Alexander Grothendieck menyatakan bahwa kompleks (imbuhan) adalah eksak dan karenanya adalah resolusi. Lebih umum, jika adalah rata tepat kanan, maka M untuk setiap modul kiri-R,

adalah eksak.[3]

Bukti:

Langkah 1: Pernyataan benar jika terbagi sebagai homomorfisme gelanggang.

Bahwa "terbagi " adalah menyatakan untuk beberapa homomorfisme ( merupakan retraksi dan terbagi ). Diberikan sebagai

oleh

Perhitungan yang mudah menunjukkan identitas berikut: dengan ,

.

Hal ini untuk menyebutkan bahwa h adalah operator homotopi dan dengan demikian sebagai menentukan nol peta pada kohomologi: yaitu, kompleksnya adalah eksak.

Langkah 2: Pernyataan tersebut benar secara umum.

Kami berkomentar bahwa adalah bagian dari . Jadi, Langkah 1 yang diterapkan pada homomorfisme gelanggang terbagi menyatakan:

dimana adalah eksak. Karena , dsg., dengan "rata tepat" maka urutan aslinya adalah eksak.

Kasus topologi busur

[sunting | sunting sumber]

Bhargav Bhatt and Peter Scholze (2019, §8) tunjukkan bahwa kompleks Amitsur eksak jika R dan S adalah gelanggang sempurna (komutatif), dan peta harus menjadi peliputan pada topologi busur (yang merupakan kondisi yang lebih lemah daripada peliputan pada topologi datar).

  1. ^ Dalam referensi (M. Artin), tampaknya memiliki kesalahan ketik, dan ini harus menjadi rumus yang benar; lihat perhitungan dan di catatan.

Referensi

[sunting | sunting sumber]
  1. ^ Artin 1999, III.7.
  2. ^ Artin 1999, III.6.
  3. ^ Artin 1999, Theorem III.6.6.

Bibliografi

[sunting | sunting sumber]