Pertidaksamaan

Daerah "feasible" dalam pemrograman linear merupakan kumpulan dari beberapa pertidaksamaan.

Pertidaksamaan dalam matematika adalah kalimat/pernyataan matematika yang menunjukkan perbandingan ukuran dua objek atau lebih. Dua notasi dasar dalam pertidaksamaan adalah:

Notasi pertidaksamaan

Notasi	Arti	Contoh
<	lebih kecil kurang dari	2 < 3 x + 1 < 3
>	lebih besar lebih dari	3 > 2 3x + 1 > 5
≤	lebih kecil atau sama dengan batas dibawah maksimum maksimal sebanyaknya paling banyak tidak lebih dari sekurangnya	2 ≤ 3 x + 1 ≤ 3
≥	lebih besar atau sama dengan batas diatas minimum minimal sesedikitnya paling sedikit tidak kurang dari selebihnya	3 ≥ 2 3x + 1 ≥ 5
≠	tidak sama dengan	2 ≠ 3 x + 1 ≠ 3
a < x < b	diantara a dan b	2 < x < 5
a ≤ x < b	diantara a dan b bila nilai minimal a	2 ≤ x < 5
a < x ≤ b	diantara a dan b bila maksimal b	2 < x ≤ 5
a ≤ x ≤ b	diantara a dan b bila minimal a dan maksimal b	2 ≤ x ≤ 5

Jenis-jenis pertidaksamaan

Pertidaksamaan Linear

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan $6x-7<5x+3$!

$6x-7<5x+3$

$6x-5x<3+7$

$x<10$

$HP=\{x|x<10,x\in R\}$

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan $5-2x\geq 4x-1$!

$5-2x\geq 4x-1$

$-2x-4x\geq -1-5$

$-6x\geq -6$ (karena nilai negatif maka tanda harus terbalik)

$x\leq 1$

$HP=\{x|x\leq 1,x\in R\}$

Pertidaksamaan Kuadrat

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan $x^{2}-7x>10-4x$!

$x^{2}-7x>10-4x$

$x^{2}-3x-10>0$

dibuat harga nol

$x^{2}-3x-10=0$

$(x+2)(x-5)=0$

$x=-2\lor x=5$

dibuat irisan

	-2		5
+++	N/A	----	N/A	+++

$HP=\{x|x<-2\lor x>5,x\in R\}$

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan $2-x^{2}\leq x-10$!

$2-x^{2}\leq x-10$

$x^{2}+x-12\geq 0$

dibuat harga nol

$x^{2}+x-12=0$

$(x+4)(x-3)=0$

$x=-4\lor x=3$

dibuat irisan

	(-4)		(3)
+++	N/A	----	N/A	+++

$HP=\{x|x\leq -4\lor x\geq 3,x\in R\}$

Pertidaksamaan Irrasional

Dalam bentuk pertidaksamaan irrasional sebagai berikut:

${\sqrt {f(x)}}<0$ atau ${\sqrt {f(x)}}>0$

haruslah mempunyai syarat yaitu f(x) ≥ 0.

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan ${\sqrt {x^{2}-4x}}<{\sqrt {10-x}}$!

${\sqrt {x^{2}-4x}}<{\sqrt {10-x}}$

$({\sqrt {x^{2}-4x}})^{2}<({\sqrt {10-x}})^{2}$

$x^{2}-4x<10-x$

$x^{2}-3x-10<0$

Irisan 1

$x^{2}-3x-10<0$

dibuat harga nol

$x^{2}-3x-10=0$

$(x+2)(x-5)=0$

$x=-2\lor x=5$

karena ada syarat akar maka:

Irisan 2

$x^{2}-4x\geq 0$

dibuat harga nol

$x^{2}-4x=0$

$x(x-4)=0$

$x=0\lor x=4$

Irisan 3

$10-x\geq 0$

$x\leq 10$

gabungkan umum dan syarat

Irisan		-2		(0)		(4)		5		(10)
pertama	tidak	N/A	ya	N/A	ya	N/A	ya	N/A	tidak	N/A	tidak
kedua	ya	N/A	ya	N/A	tidak	N/A	ya	N/A	ya	N/A	ya
ketiga	ya	N/A	ya	N/A	ya	N/A	ya	N/A	ya	N/A	tidak

$HP=\{x|-2<x\leq 0\lor 4\leq x<5,x\in R\}$

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan ${\sqrt {x^{2}-4}}\geq {\sqrt {3x+50}}$!

${\sqrt {x^{2}-4}}\geq {\sqrt {3x+50}}$

$({\sqrt {x^{2}-4}})^{2}\geq ({\sqrt {3x+50}})^{2}$

$x^{2}-4\geq 3x+50$

$x^{2}-3x-54\geq 0$

Irisan 1

$x^{2}-3x-54\geq 0$

dibuat harga nol

$x^{2}-3x-54=0$

$(x+6)(x-9)=0$

$x=-6\lor x=9$

karena ada syarat akar maka:

Irisan 2

$x^{2}-4\geq 0$

dibuat harga nol

$x^{2}-4=0$

$(x+2)(x-2)=0$

$x=-2\lor x=2$

Irisan 3

$3x+50\geq 0$

$x\geq -{\frac {50}{3}}$

gabungkan umum dan syarat

Irisan		(-50/3)		(-6)		(-2)		(2)		(9)
pertama	ya	N/A	ya	N/A	tidak	N/A	tidak	N/A	tidak	N/A	ya
kedua	ya	N/A	ya	N/A	ya	N/A	tidak	N/A	ya	N/A	ya
ketiga	tidak	N/A	ya	N/A	ya	N/A	ya	N/A	ya	N/A	ya

$HP=\{x|{\frac {-50}{3}}\leq x\leq -6\lor x\geq 9,x\in R\}$

Pertidaksamaan Pecahan

Dalam bentuk pertidaksamaan pecahan sebagai berikut:

${\frac {f(x)}{g(x)}}<0$ atau ${\frac {f(x)}{g(x)}}>0$

haruslah mempunyai syarat yaitu penyebut atau g(x) ≠ 0.

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan ${\frac {x-4}{x-3}}<{\frac {x+1}{x-2}}$!

${\frac {x-4}{x-3}}<{\frac {x+1}{x-2}}$

${\frac {x-4}{x-3}}-{\frac {x+1}{x-2}}<0$

${\frac {(x-4)(x-2)-(x+1)(x-3)}{(x-3)(x-2)}}<0$

${\frac {(x^{2}-6x+8)-(x^{2}-2x-3)}{(x-3)(x-2)}}<0$

${\frac {-4x+11}{(x-3)(x-2)}}<0$

$-4x+11<0$

$x<{\frac {11}{4}}$

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1

$x-3\neq 0$

$x\neq 3$

penyebut 2

$x-2\neq 0$

$x\neq 2$

dibuat irisan

	2		11/4		3
+++	N/A	----	N/A	+++	N/A	----

$HP=\{x|2<x<{\frac {11}{4}}\lor x>3,x\in R\}$

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan ${\frac {x+6}{x+17}}\geq {\frac {1}{x-3}}$!

${\frac {x+6}{x+17}}\geq {\frac {1}{x-3}}$

${\frac {x+6}{x+17}}-{\frac {1}{x-3}}\geq 0$

${\frac {(x+6)(x-3)-(x+17)}{(x+17)(x-3)}}\geq 0$

${\frac {x^{2}+3x-18-x-17}{(x+17)(x-3)}}\geq 0$

${\frac {x^{2}+2x-35}{(x-3)(x-2)}}\geq 0$

$x^{2}+2x-35\geq 0$

dibuat harga nol

$x^{2}+2x-35=0$

$(x+7)(x-5)=0$

$x=-7\lor x=5$ (tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1

$x+17\neq 0$

$x\neq -17$

penyebut 2

$x-3\neq 0$

$x\neq 3$

dibuat irisan

	-17		(-7)		3		(5)
+++	N/A	----	N/A	+++	N/A	----	N/A	+++

$HP=\{x|x<-17\lor -7\leq x<3\lor x\geq 5,x\in R\}$

Pertidaksamaan Mutlak

Dalam bentuk pertidaksamaan mutlak sebagai berikut:

$|f(x)|<g(x)$ atau $|f(x)|>g(x)$

haruslah mempunyai dua nilai yaitu

$|f(x)|=\left\{{\begin{matrix}|f(x)|<g(x),&{\mbox{maka penyelesaian}}-g(x)<f(x)<g(x)\\\\|f(x)|>g(x),&{\mbox{maka penyelesaian}}f(x)<-g(x)\lor f(x)>g(x)\end{matrix}}\right.$

Pertidaksamaan mutlak akan memungkinkan definit + dan - karena tidak memotong dan menyinggung sumbu y.

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan $|x^{2}+x|<12$!

$|x^{2}+x|<12$

karena f(x) < g(x) maka penyelesaian -g(x) < f(x) < g(x)

$-12<x^{2}+x<12$

untuk $-12<x^{2}+x$

$-12<x^{2}+x$

$x^{2}+x+12>0$ definit +

untuk $x^{2}+x<12$

$x^{2}+x<12$

$x^{2}+x-12<0$

dibuat harga nol

$x^{2}+x-12=0$

$(x+4)(x-3)<0$

$x=-4\lor x=3$

dibuat irisan

	-4		3
+++	N/A	----	N/A	+++

$-4<x<3$

$HP=\{x|-4<x<3,x\in R\}$

• Tentukan nilai x dari persamaan $|x^{2}-4x-12|-|7-6x|\geq 5$!

terlebih dahulu untuk mempunyai batas-batas yang ada

untuk | x^2 - 4x - 12 |

$|x^{2}-4x-12|=\left\{{\begin{matrix}x^{2}-4x-12,&{\mbox{maka penyelesaian}}x^{2}-4x-12\geq 0\\\\-(x^{2}-4x-12),&{\mbox{maka penyelesaian}}x^{2}-4x-12<0\end{matrix}}\right.$

batasan f(x)

$x^{2}-4x-12\geq 0$

dibuat harga nol

$x^{2}-4x-12=0$

$(x+2)(x-6)=0$

$x=-2\lor x=6$

dibuat irisan

	-2		6
+++	N/A	----	N/A	+++

$x\leq -2\lor x\geq 6$

batasan -f(x)

$x^{2}-4x-12<0$

dibuat harga nol

$x^{2}-4x-12=0$

$(x+2)(x-6)=0$

$x=-2\lor x=6$

dibuat irisan

	-2		6
+++	N/A	----	N/A	+++

$-2<x<6$

untuk | 7 - 6x |

$|7-6x|=\left\{{\begin{matrix}7-6x,&{\mbox{maka penyelesaian}}7-6x\geq 0\\\\-(7-6x),&{\mbox{maka penyelesaian}}7-6x<0\end{matrix}}\right.$

batasan f(x)

$7-6x\geq 0$

$x\leq {\frac {7}{6}}$

batasan -f(x)

$7-6x<0$

$x>{\frac {7}{6}}$

keempat batas-batas akan dibuat irisan

irisan		-2		7/6		6
pertama	x^2 - 4x - 12	N/A		N/A		N/A	x^2 - 4x - 12
kedua		N/A	-(x^2 - 4x - 12)	N/A	-(x^2 - 4x - 12)	N/A
ketiga	7 - 6x	N/A	7 - 6x	N/A		N/A
keempat		N/A		N/A	-(7 - 6x)	N/A	-(7 - 6x)

untuk x <= -2

$x^{2}-4x-12-(7-6x)\geq 5$

$x^{2}-4x-12-7+6x-5\geq 0$

$x^{2}+2x-24\geq 0$

dibuat harga nol

$x^{2}+2x-24=0$

$(x+6)(x-4)=0$

$x=-6\lor x=4$

dibuat irisan

	(-6)		(-2)		(4)
Ya	N/A	Ya	N/A	Tidak	N/A	Tidak
+++	N/A	----	N/A	----	N/A	+++

$x\leq -6$

untuk -2 < x <= 7/6

$-(x^{2}-4x-12)-(7-6x)\geq 5$

$-x^{2}+4x+12-7+6x-5\geq 0$

$x^{2}-10x\leq 0$

dibuat harga nol

$x^{2}-10x=0$

$x(x-10)=0$

$x=0\lor x=10$

dibuat irisan

	-2		(0)		(7/6)		(10)
Tidak	N/A	Ya	N/A	Ya	N/A	Tidak	N/A	Tidak
+++	N/A	+++	N/A	----	N/A	----	N/A	+++

$0\leq x\leq {\frac {7}{6}}$

untuk 7/6 < x < 6

$-(x^{2}-4x-12)-(-(7-6x))\geq 5$

$-x^{2}+4x+12+7-6x-5\geq 0$

$x^{2}+2x\leq 0$

dibuat harga nol

$x^{2}+2x=0$

$x(x+2)=0$

$x=0\lor x=-2$

dibuat irisan

	(-2)		(0)		7/6		6
Tidak	N/A	Tidak	N/A	Tidak	N/A	Ya	N/A	Tidak
+++	N/A	----	N/A	+++	N/A	+++	N/A	+++

$\varnothing$

untuk x >= 6

$x^{2}-4x-12-(-(7-6x))\geq 5$

$x^{2}-4x-12+7-6x-5\geq 0$

$x^{2}-10x-10\geq 0$ definit +

$\varnothing$

$HP=\{x|x\leq -6\lor 0\leq x\leq {\frac {7}{6}},x\in R\}$

gabungkan ketiga batas-batas. jadi:

$HP=\{x|-{\frac {11}{5}}\leq x<-{\frac {4}{3}}\lor -{\frac {4}{3}}\leq x\leq 3,x\in R\}$

$HP=\{x|-{\frac {11}{5}}\leq x\leq 3,x\in R\}$

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan $|{\frac {x+4}{10-x}}|<|{\frac {1}{x-2}}|$!

$|{\frac {x+4}{10-x}}|<|{\frac {1}{x-2}}|$

$({\frac {x+4}{10-x}})^{2}<({\frac {1}{x-2}})^{2}$

$({\frac {x+4}{10-x}})^{2}-({\frac {1}{x-2}})^{2}<0$

$({\frac {x+4}{10-x}}+{\frac {1}{x-2}})({\frac {x+4}{10-x}}-{\frac {1}{x-2}})<0$

$({\frac {(x+4)(x-2)+10-x}{(10-x)(x-2)}})({\frac {(x+4)(x-2)-(10-x)}{(10-x)(x-2)}})<0$

$({\frac {x^{2}+2x-8+10-x}{(10-x)(x-2)}})({\frac {x^{2}+2x-8-10+x}{(10-x)(x-2)}})<0$

$({\frac {x^{2}+x+2}{(10-x)(x-2)}})({\frac {x^{2}+3x-18}{(10-x)(x-2)}})<0$

akar dari ${\frac {x^{2}+x+2}{(10-x)(x-2)}}$

${\frac {x^{2}+x+2}{(10-x)(x-2)}}<0$

$x^{2}+x+2=0$ definit +

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1

$10-x\neq 0$

$x\neq 10$

penyebut 2

$x-2\neq 0$

$x\neq 2$

akar dari ${\frac {x^{2}+3x-18}{(10-x)(x-2)}}$

${\frac {x^{2}+3x-18}{(10-x)(x-2)}}<0$

$x^{2}+3x-18<0$

dibuat harga nol

$x^{2}+3x-18=0$

$(x+6)(x-3)=0$

$x=-6\lor x=3$ (tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1

$10-x\neq 0$

$x\neq 10$

penyebut 2

$x-2\neq 0$

$x\neq 2$

dibuat irisan

	-6		2*		3		10*
+++	N/A	----	N/A	----	N/A	+++	N/A	+++

nb: * = mempunyai 2 akar

$HP=\{x|-6<x<3,x\in R\}$

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan $|{\sqrt {x^{2}-4x}}|\geq |{\sqrt {3x-10}}|$!

$|{\sqrt {x^{2}-4x}}|\geq |{\sqrt {3x-10}}|$

$({\sqrt {x^{2}-4x}})^{2}\geq ({\sqrt {3x-10}})^{2}$

$x^{2}-4x\geq 3x-10$

$x^{2}-7x+10\geq 0$

dibuat harga nol

$x^{2}-7x+10=0$

$(x-2)(x-5)=0$

$x=2\lor x=5$

dibuat irisan

	2		5
+++	N/A	----	N/A	+++

$x\leq 2\lor x\geq 5$

karena ada syarat akar maka:

akar 1

$x^{2}-4x\geq 0$

dibuat harga nol

$x^{2}-4x=0$

$x(x-4)=0$

$x=0\lor x=4$

dibuat irisan

	0		4
+++	N/A	----	N/A	+++

$x\leq 0\lor x\geq 4$

akar 2

$3x-10\geq 0$

$x\geq {\frac {10}{3}}$

gabungkan umum dan syarat

irisan		(0)		(2)		(10/3)		(4)		(5)
pertama	ya	N/A	ya	N/A	tidak	N/A	tidak	N/A	tidak	N/A	ya
kedua	ya	N/A	tidak	N/A	tidak	N/A	tidak	N/A	ya	N/A	ya
ketiga	tidak	N/A	tidak	N/A	tidak	N/A	ya	N/A	ya	N/A	ya

$HP=\{x|x\geq 5,x\in R\}$

Lihat pula

• Persamaan
• Pertidaksamaan Trivial
• Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz
• Pertidaksamaan Rearragement
• Pertidaksamaan Chebyshvev
• Pertidaksamaan Jensen
• Pertidaksamaan Hölder