Homomorfisme aljabar

Pada matematika, homomorfisme aljabar adalah homomorfisme di antara dua aljabar asosiatif. Lebih tepatnya, jika A dan B adalah aljabar atas suatu lapangan (atau gelanggang komutatif) K, fungsi$F\colon A\to B$ merupakan homomorfisme aljabar apabila untuk setiap k anggota K dan x, y anggota A,

• $F(kx)=kF(x)$
• $F(x+y)=F(x)+F(y)$
• $F(xy)=F(x)F(y)$

Dua kondisi pertama merupakan syarat agar F menjadi pemetaan linier-K (atau homomorfisme modul-K jika K adalah gelanggang komutatif), dan kondisi terakhir merupakan syarat agar fungsi F menjadi homomorfisme gelanggang (nonunit).

Jika invers dari F merupakan homomorfisme atau dengan kata lain F bijektif, maka fungsi F merupakan isomorfisme antara A dan B.

Homomorfisme aljabar unital

Misalkan A dan B adalah dua aljabar dengan unsur satuan. Homomorfisme aljabar F : A → B disebut homomofisme unital jika F memetakan unsur satuan di A ke unsur satuan di B. Homomorfisme aljabar seringkali diasumsikan juga bersifat unital, sekalipun tidak secara eksplisit disebut unital.

Homomorfisme aljabar unital merupakan bagian dari homomorfisme gelanggang yang unital.

Contoh

• Setiap gelanggang adalah aljabar-Z. Hal ini dikarenakan terdapat homomorfisme unik Z → R. Konversnya juga berlaku, i.e. setiap aljabar-Z merupakan gelanggang.
• Homomorfisme antar gelanggang komutatif dengan unsur satuan R → S menginduksi struktur aljabar-R komutatif pada S. Sebaliknya, jika S merupakan aljabar-R komutatif, maka pemetaan r ↦ r ⋅ 1_S merupakan homomorfisme antar gelanggang komutatif dengan unsur satuan. Dengan demikian, overcategory gelanggang-R komutatif adalah kategori aljabar-R komutatif.
• Misalkan A adalah subaljabar dari B, maka untuk setiap unsur unit b, fungsi yang mengirim setiap elemen a di A ke b⁻¹ab merupakan homomorfisme aljabar. (Jika A = B, homomorfisme ini disebut automorfisme dalam dari B ). Homomorfisme ini biasa disebut sebagai pemetaan konjugasi oleh b. Misalkan pula A adalah aljabar sederhana dan B merupakan central simple algebra, maka semua homomorfisme dari A ke B merupakan pemetaan konjugasi; ini merupakan bunyi dari teorema Skolem – Noether .

Lihat pula

• Morfisme
• Universal algebra § Basic constructions
• Spektrum gelanggang
• Augmentasi (aljabar)