Bagian riil dan imajiner

Ilustrasi pada bidang kompleks. Bagian riil dari bilangan kompleks z = x + iy adalah x, dan bagian imajinernya adalah y.

Dalam matematika, jika diketahui bilangan kompleks z = x + iy (yang mana i adalah bilangan imajiner sedang x dan y adalah bilangan riil) maka x disebut bagian riil dan y disebut bagian imajiner dari z.

Bagian riil dari bilangan kompleks z ditulis Re(z) atau ℜ(z) dan bagian imajiner ditulis Im(z) atau ℑ(z), ℜ dan ℑ adalah huruf kapital R dan I dalam huruf gothic. Penulisan tanpa tanda kurung dapat pula digunakan, Re z atau ℜ z dan Im z atau ℑ z, selama tidak ada ambiguitas dalam pembacaan.

Untuk bilangan kompleks dalam bentuk polar, $z=(r,\theta )$, koordinat Kartesiannya adalah $z=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$, atau $z=r(\cos \theta +i\sin \theta ).$ Hal ini sesuai dengan rumus Euler yang menyatakan $z=re^{i\theta }$, jadi bagian riil dari $re^{i\theta }$ adalah $r\cos \theta$ dan bagian imajinernya adalah $r\sin \theta$.

Untuk konjugasi bilangan kompleks ${\bar {z}}$, bagian riil dari $z$ sama dengan $z+{\bar {z}} \over 2$, dan bagian imajinernya sama dengan ${\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}$.

Kegunaan

Perhitungan fungsi periodik dalam bilangan riil, seperti misalnya grafik arus bolak-balik atau medan elektromagnetik, sebenarnya merupakan penyederhanaan perhitungan bilangan kompleks dengan hanya memperhatikan bagian riil-nya saja.

Dalam bidang kelistrikan, jika tegangan gelombang sinus diberi beban linear (yaitu beban yang nantinya jika tegangannya sinus maka arus yang mengalir berupa gelombang sinus juga), arus listrik $I$ yang mengalir dalam kabel dapat ditulis sebagai bilangan kompleks $I=x+jy$ (dalam ilmu kelistrikan sering digunakan j sebagai bilangan imajiner karena lambang i biasa digunakan untuk arus listrik). Dalam notasi bilangan kompleks tersebut x adalah "arus sebenarnya" (arus yang timbul ketika ada tegangan) sedang y adalah "arus imajiner" (arus ketika tidak ada tegangan listrik).

Dalam trigonometri, perhitungan sering menjadi lebih mudah dengan memandang fungsi periodik dalam bidang kompleks.

Referensi

• Conway, John B., Functions of One Complex Variable I (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 2 edition (September 12, 2005). ISBN 0-387-90328-3.