Keserupaan matriks
Dalam aljabar linear, dua matriks persegi and berukuran disebut serupa jika ada matriks terbalikkan yang memenuhi hubungan
Gambaran umum[sunting | sunting sumber]
Saat mendefinisikan suatu transformasi linear, terkadang ada keadaan ketika perubahan basis dari transformasi tersebut, dapat menghasilkan bentuk yang lebih sederhana. Sebagai contoh, matriks yang merepresentasikan rotasi di dengan sumbu rotasi yang tidak sejajar dengan sumbu koordinat, mungkin rumit untuk dihitung. Akan tetapi, jika sumbu rotasi sejajar dengan sumbu-z positif, matriks tersebut dapat dituliskan sebagai
Sifat-sifat[sunting | sunting sumber]
Keserupaan adalah salah satu relasi ekuivalensi pada ruang matriks persegi. Karena matriks-matriks yang serupa jika dan hanya jika mereka menyatakan operator linear yang sama menurut basis-basis yang (mungkin) berbeda, matriks-matriks yang serupa memiliki semua sifat dari operator yang mereka nyatakan:
- Rank
- Polinomial karakteristik, dan nilai-nilai yang dapat diperoleh dari polinomial tersebut, seperti:
- Determinan
- Teras
- Nilai-nilai eigen, dan kegandaan aljabar mereka.
- Kegandaan geometrik dari nilai-nilai eigen (namun tidak ruang-ruang eigen, karena itu berubah akibat perubahan basis oleh )
- Polinomial minimal
- Bentuk normal Frobenius
- Bentuk normal Jordan, hingga permutasi dari blok-blok Jordan
- Indeks nilpoten
Hubungan-hubungan ini mengakibatkan, untuk sebarang matriks , pencarian matriks "bentuk normal" yang serupa dengan dapat lebih disukai karena penelitian terkait matriks dapat dimudahkan dengan menelitik matriks yang lebih sederhana.
Keserupaan matriks-matriks tidak bergantung pada lapangan yang digunakan: jika adalah sublapangan dari lapangan , dan dan adalah matriks atas , maka dan saling serupa atas jika dan hanya jika mereka juga saling serupa atas . Hal ini diakibatkan bentuk kanonik rasional atas juga merupakan bentuk kanonik rasional atas . Akibatnya, bentuk-bentuk Jordan yang ada di lapangan yang lebih besar, untuk menentukan keserupaan dari matriks-matriks.
Lihat pula[sunting | sunting sumber]
Referensi[sunting | sunting sumber]
Kutipan[sunting | sunting sumber]
- ^ Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973). A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields. Boston: Houghton Mifflin Co. hlm. 240–243. ISBN 0-395-14017-X.
- ^ Bronson, Richard (1970), Matrix Methods: An Introduction, New York: Academic Press, hlm. 176–178, LCCN 70097490
Pustaka[sunting | sunting sumber]
- Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2. (Similarity is discussed many places, starting at page 44.)