Polinomial karakteristik

Dalam aljabar linear, polinomial karakteristik dari matriks persegi adalah suatu polinomial yang invarian dalam keserupaan dan memiliki nilai-nilai eigen sebagai akar-akarnya. Nilai Determinan dan teras dari matriks ada di dalam koefisien-koefisien polinomial karakteristik. Persamaan karakteristik atau juga dikenal sebagai persamaan determinan, adalah persamaan yang diperoleh dengan menyamakan polinomial karakteristik dengan nol.

Dengan definisi yang serupa, polinomial karakteristik dari endomorfisme suatu ruang vektor dimensi terhingga, adalah polinomial karakteristik dari representrasi matriks dari endomorfisme tersebut, atas sebarang basis; yang mengartikan polinomial karakteristik tidak bergantung pada pemilihan basis. Dalam teori graf spektral, polinomial karakteristik dari sebuah graf adalah polinomial karakteristik dari matriks kedampingan graf tersebut.

Motivasi

Dalam aljabar linear, nilai dan vektor eigen memainkan peran penting, karena untuk sebarang pilihan transformasi linear, vektor eigen adalah vektor yang arahnya tidak berubah akibat transformasi tersebut, dan nilai eigen yang berkorespodensi dengan vektor eigen tersebut menyatakan perubahan besar vektor.

Dalam penjelasan yang lebih presisi, jika transformasi dinyatakan sebagai sebuah matriks persegi $A,$ maka vektor eigen $\mathbf {v}$ dan nilai eigen $\lambda$ yang berkorespoden dengannya, harus memenuhi persamaan berikut

$$A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,$$

atau, setara dengan bentuk di atas,

$$(\lambda I-A)\mathbf {v} =0$$

dengan $I$ menyatakan matriks identitas, dan $\mathbf {v} \neq \mathbf {0}$ (vektor nol tidak dianggap sebagai vektor eigen, walaupun memenuhi persamaan tersebut untuk semua nilai $\lambda$). Hal ini menyimpulkan bahwa matriks $(\lambda I-A)$ harus bersifat singular, dan determinan-nya bernilai nol, yang ditulis sebagai $\det(\lambda I-A)=0.$ Dengan kata lain, nilai eigen dari $A$ adalah akar-akar dari ${\textstyle \det(xI-A),}$ yakni polinomial monik dalam $x$ dan berderajat $n$, ketika $A$ berukuran $n\times n$. Polinomial ini merupakan polinomial karakteristik dari $A$.

Definisi formal

Misalkan $A$ adalah matriks atas lapangan $K$ dan berukuran $n\times n$. Polinomial karakterisitik dari $A$, yang dinyatakan dengan notasi $p_{A}(t),$ adalah polinomial yang didefinisikan sebagai

$$p_{A}(t)=\det(tI-A)$$

dengan $I$ melambangkan matriks identitas berukuran $n\times n$.

Ada sebagian penulis yang mendefinisikan polinomial karakteristik sebagai $\det(A-tI)$. Polinomial tersebut berbeda dengan polinomial yang didefinisikan sebelumnya, dengan sebuah tanda $(-1)^{n}$. Walau tidak ada perbedaan untuk sifat-sifat seperti akar-akarnya adalah nilai eigen dari $A$, polinomial $\det(A-tI)$ hanya bersifat monik ketika $n$ genap.

Contoh-contoh

Misalkan kita ingin menentukan polinomial karakteristik dari matriks

$$A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}.$$

Untuk itu, kita perlu menghitung determinan dari matriks

$$tI-A={\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t-0\end{pmatrix}}$$

sehingga diperoleh polinomial karakteristik dari matriks $A$, yaitu $(t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1$.

Contoh berikut menggunakan fungsi hiperbolik dari sudut hiperbolik $\varphi$. Untuk matriks

$$A={\begin{pmatrix}\cosh(\varphi )&\sinh(\varphi )\\\sinh(\varphi )&\cosh(\varphi )\end{pmatrix}},$$

polinomial karakteristik dari matriks tersebut adalah

$$\det(tI-A)=(t-\cosh(\varphi ))^{2}-\sinh ^{2}(\varphi )=t^{2}-2t\ \cosh(\varphi )+1=(t-e^{\varphi })(t-e^{-\varphi }).$$

Sifat-sifat

Polinomial karakteristik $p_{A}(t)$ dari sebuah matriks $n\times n$ bersifat monik (koefisien dari suku terbesarnya adalah 1) dan derajatnya adalah $n$. Fakta yang terpenting mengenai polinomial karakteristik sudah disebut di bagian Motivasi: nilai-nilai eigen $A$ adalah akar-akar dari $p_{A}(t)$ (fakta ini juga berlaku untuk polinomial minimal dari $A$, namun derajatnya dapat lebih kecil dari $n$). Semua koefisien dari polinomial karakteristik adalah ekspresi dari entri-entri matriks. Secara khusus, koefisien $t^{0}$ bernilai $\det(-A)=(-1)^{n}\det(A)$, koefisien $t^{n}$ bernilai $1$, dan koefisien $t^{n-1}$ bernilai $\operatorname {tr} (-A)=-\operatorname {tr} (A)$, dengan $\operatorname {tr} (A)$ melambangkan teras dari $A$. (Tanda yang diberikan di bagian ini disesuaikan dengan definisi formal yang diberikan dalam bagian sebelumnya; sedangkan untuk definisi alternatif, masing-masing koefisien tersebut akan memiliki nilai $\det(A)$ dan $(-1)^{n-1}\operatorname {tr} (A)$.) Sebagai contoh, untuk sebarang matriks $A$ dengan ukuran $2\times 2$, polinomial karakteristiknya dirumuskan dengan

$$t^{2}-\operatorname {tr} (A)t+\det(A).$$

Dengan menggunakan bahasa aljabar eksterior, polinomial karakteristik dari matriks $A$ berukuran $n\times n$ dapat dinyatakan sebagai

$$p_{A}(t)=\sum _{k=0}^{n}t^{n-k}(-1)^{k}\operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\right)$$

dengan ${\textstyle \operatorname {tr} \left(\bigwedge ^{k}A\right)}$ menyatakan teras dari pangkat eksterior dari $A$, yang memiliki dimensi ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$. Teras ini dapat dihitung sebagai jumlah semua minor utama ukuran $k$ dari $A$. Algoritme rekursif Faddeev–LeVerrier menghitung koefisien-koefisien tersebut dengan cara yang lebih efisien. Ketika lapangan dari koefisien-koefisien memiliki karakteristik bernilai 0, setiap teras dapat dihitung sebagai sebuah determinan tunggal dari matriks $k\times k$, yakni

$$\operatorname {tr} \left(\bigwedge ^{k}A\right)={\frac {1}{k!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&k-1&0&\cdots &\\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&k-2&\cdots &\\\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\\operatorname {tr} A^{k-1}&\operatorname {tr} A^{k-2}&&\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{k}&\operatorname {tr} A^{k-1}&&\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}.$$

Teorema Cayley–Hamilton menyatakan bahwa mensubtitusi $t$ dalam polinomial karakteristik dengan $A$ (dan memandang operasi perpangkatan sebagai perpangkatan matriks, dan suku konstan $c$ sebagai perkalian $c$ dengan matriks identitas), akan menghasilkan matriks nol. Secara informal, hubungan ini mengartikan setiap matriks memenuhi persamaan karakteristik mereka. Pernyataan ini sama saja dengan mengatakan bahwa polinomial minimal $A$ membagi polinomial karakteristik $A$.

Dua matriks serupa memiliki polinomial karakteristik yang sama, tetapi pernyataan sebaliknya tidak benar secara umum: dua matriks dengan polinomial karakteristik yang sama belum tentu serupa.

Sebarang matriks dan transpos-nya memiliki polinomial karakteristik yang sama. Matriks $A$ serupa dengan matriks segitiga jika dan hanya jika polinomial karakteristiknya dapat difaktorkan dengan lengkap menjadi faktor-faktor linear atas $K$ (pernyataan yang sama juga benar dengan polinomial minimal). Dalam kasus ini, $A$ serupa dengan suatu matriks dalam bentuk normal Jordan.

Polinomial karakteristik dari perkalian dua matriks

Jika $A$ dan $B$ adalah dua matriks persegi berukuran $n\times n$, maka polinomial karakteristik dari $AB$ dan $BA$ adalah sama; dengan kata lain,

$$p_{AB}(t)=p_{BA}(t).$$

Jika $A$ bersifat tak singular (terbalikkan), maka hasil berikut dapat disimpulkan dari fakta $AB$ dan $BA$ serupa:

$$BA=A^{-1}(AB)A.$$

Sedangkan untuk kasus $A$ dan $B$ berupa matriks singular, identitas yang diinginkan adalah sebuah kesamaan pada kedua polinomial karakteristik (dalam $t$) mereka dan pada koefisien-koefisien dari matriks. Dengan demikian, kesamaan dapat ditunjukkan dengan cukup membuktikan bahwa kesamaan tersebut berlaku pada suatu subhimpunan buka tak kosong (untuk topologi biasa, atau lebih umumnya untuk topologi Zariski) dari ruang semua koefisien. Karena matriks tak singular membentuk subhimpunan buka dari ruang semua matriks, maka kesamaan berhasil ditunjukkan.

Lebih umumnya, jika matriks $A$ berukuran $m\times n$ dan $B$ berukuran $n\times m$, maka $AB$ adalah matriks $m\times m$ dan $BA$ adalah matriks $n\times n$, dan terdapat hubungan

$$p_{BA}(t)=t^{n-m}p_{AB}(t).$$

Untuk membuktikan hal tersebut, anggap $n>m$, dengan menukarkan $A$ dan $B$ kalau diperlukan. Lalu, dengan menambahkan $n-m$ baris nol setelah baris terbawah di matriks $A$, dan menambahkan $n-m$ kolom nol setelah kolom terkanan di matriks $B$, akan didapatkan dua matriks berukuran $n\times n$, yakni $A'$ dan $B'$. Kedua matriks yang baru ini memenuhi $B'A'=BA$ dan $A'B'$ sama dengan $AB$ yang dibatasi oleh $n-m$ baris dan kolom nol. Dengan demikian, hubungan dapat ditunjukkan dengan menggunakan kasus matriks persegi lalu membandingkan polinomial karakteristik $A'B'$ dan $AB$.

Polinomial karakteristik dari A^k

Jika $\lambda$ adalah nilai eigen dari matriks persegi $A$ yang berkorespodensi dengan vektor eigen $\mathbf {v}$, maka $\lambda ^{k}$ adalah nilai eigen dari $A^{k}$, sebab

$$A^{k}{\textbf {v}}=A^{k-1}A{\textbf {v}}=\lambda A^{k-1}{\textbf {v}}=\dots =\lambda ^{k}{\textbf {v}}.$$

Sifat yang sama dapat ditunjukkan berlaku untuk kelipatan dari matriks, dan dapat diperumum untuk sebarang polinomial:

Teorema — Misalkan $A$ adalah matriks persegi $n\times n$, dan misalkan $f(t)$ adalah suatu polinomial. Jika polinomial karakteristik dari $A$ memiliki faktorisasi

$$p_{A}(t)=(t-\lambda _{1})(t-\lambda _{2})\cdots (t-\lambda _{n}),$$

maka polinomial karakteristik dari matriks $f(A)$ dirumuskan sebagai

$$p_{f(A)}(t)=(t-f(\lambda _{1}))(t-f(\lambda _{2}))\cdots (t-f(\lambda _{n})).$$

Teorema ini mengartikan bahwa kelipatan aljabar (algebraic multiplicity) dari $\lambda$ dalam $f(A)$ sama dengan jumlah kelipatan-kelipatan aljabar $\lambda '$ dalam $A$ atas $\lambda '$ yang memenuhi $f(\lambda ')=\lambda$. Secara khusus, ${\textstyle \operatorname {tr} (f(A))=\sum _{i=1}^{n}f(\lambda _{i})}$dan ${\textstyle \operatorname {det} (f(A))=\prod _{i=1}^{n}f(\lambda _{i})}$. Sebagai contoh, polinomial $f(t)=t^{3}+1$ yang dievaluasi pada matriks $A$, dapat ditulis dengan sederhana sebagai $f(A)=A^{3}+1$.

Teorema tersebut berlaku untuk matriks dan polinomial atas sebarang lapangan maupun gelanggang komutatif. Akan tetapi, asumsi bahwa $p_{A}(t)$ memiliki faktorisasi berupa faktor-faktor linear tidak selalu benar, kecuali untuk matriks atas suatu lapangan tertutup secara aljabar seperti bilangan kompleks.

Bukti

Bukti ini hanya berlaku kepada matriks dan polinomal atas bilangan kompleks (atau sebarang lapangan tertutup secara aljabar lainnya). Dalam kasus ini, polinomial karakteristik dari sebarang matriks persegi dapat selalu difaktorkan sebagai $$p_{A}(t)=(t-\lambda _{1})(t-\lambda _{2})\cdots (t-\lambda _{n})$$ dengan $\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\dots ,\,\lambda _{n}$ adalah nilai-nilai eigen dari $A$, mungkin beberapanya kembar (repeated). Selain itu, teorema penguraian Jordan menjamin bahwa sebarang matriks persegi $A$ dapat diuraikan sebagai $A=S^{-1}US$, dengan $S$ adalah sebuah matriks terbalikkan dan $U$ adalah matriks segitiga atas yang diagonal utamanya memiliki entri $\lambda _{1},\,\dots ,\,\lambda _{n}$ (dengan setiap nilai eigen kembar menurut kelipatan aljabarnya). Bentuk normal Jordan memiliki beberapa sifat yang kuat, namun ini sudah cukup; penguraian Schur dapat digunakan sebagai alternatif pembuktian, yang lebih mudah namun kurang populer. Misalkan $f(t)=\sum _{i}\alpha _{i}t^{i}$. Dengan menggunakan penguraian Jordan, $${\begin{aligned}f(A)&=\sum \alpha _{i}(S^{-1}US)^{i}\\&=\sum \alpha _{i}S^{-1}USS^{-1}US\cdots S^{-1}US=\sum \alpha _{i}S^{-1}U^{i}S\\&=S^{-1}(\sum \alpha _{i}U^{i})S\\&=S^{-1}f(U)S.\end{aligned}}$$ Untuk matriks segitiga atas $U$ dengan entri diagonal $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$, $U^{i}$ adalah matriks segitiga atas dengan entri diagonal $\lambda _{1}^{i},\dots ,\lambda _{n}^{i}$, dan akibatnya $f(U)$ adalah matriks segitiga atas dengan diagonal $f(\lambda _{1}),\dots ,f(\lambda _{n})$. Hal ini menyebabkan nilai-nilai eigen dari $f(U)$ adalah $f(\lambda _{1}),\dots ,f(\lambda _{n})$. Karena $f(A)=S^{-1}f(U)S$ serupa dengan $f(U)$, kedua matriks memiliki nilai-nilai eigen dan kelipatan aljabar yang sama.

Fungsi sekuler dan persamaan sekuler

Fungsi sekuler

Istilah fungsi sekuler digunakan untuk hal yang sekarang disebut polinomial karakteristik (beberapa literatur masih menggunakan istilah fungsi sekuler). Istilah tersebut muncul dari penggunaan polinomial karakteristik untuk menghitung pertubasi sekuler (pada suatu skala waktu sekitar dalam rentang abad, yang lebih lambat dibandingkan dengan gerakan tahunan) dari orbit-orbit planet, menurut teori Lagrange mengenai ayunan.

Persamaan sekuler

Persamaan sekuler memiliki beberapa arti.

• Dalam aljabar linear, istilah ini terkadang digunakan untuk merujuk persamaan karakteristik.
• Dalam astronomi, istilah merujuk pada ekspresi aljabar atau numerik dari besar pertidaksamaan dalam pada gerakan planet, yang tersisa setelah pertidaksamaan jangka pendek sudah disertakan.
• Dalam orbital molekul, perhitungan yang mengaitkan energi dari elektron dan fungsi gelombangnya.

Untuk aljabar asosiatif umum

Definisi di atas mengenai polinomial karakteristik dari sebuah matriks $A\in M_{n}(K)$ dengan entri-entri dari lapangan $K$, dapat diperumum tanpa perubahan ke kasus $K$ hanya berupa gelanggang komutatif. (Garibaldi 2004) mendefinisikan polinomial karakteristik untuk entri-entri dari sebarang aljabar dimensi-hingga (asosiatif, namun tidak perlu komutatif) atas sebuah lapangan $K$ dan membuktikan sifat-sifat standar dari polinomial karakteristik dalam keadaan umum ini.

Lihat pula

• Persamaan karakteristik (disambiguasi)
• Polinomial minimal (aljabar linear)
• Invarian tensor
• Matriks pendamping
• Algoritme Faddeev–LeVerrier
• Teorema Cayley–Hamilton
• Algoritme Samuelson–Berkowitz

Referensi

• T.S. Blyth & E.F. Robertson (1998) Basic Linear Algebra, hlm. 149, Springer ISBN 3-540-76122-5.
• John B. Fraleigh & Raymond A. Beauregard (1990) Linear Algebra 2nd edition, hlm. 246, Addison-Wesley ISBN 0-201-11949-8.
• Garibaldi, Skip (2004), "The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions", American Mathematical Monthly, 111 (9): 761–778, arXiv:math/0203276 , doi:10.2307/4145188, JSTOR 4145188, MR 2104048 
• Werner Greub (1974) Linear Algebra 4th edition, pp 120–5, Springer, ISBN 0-387-90110-8.
• Paul C. Shields (1980) Elementary Linear Algebra 3rd edition, hlm. 274, Worth Publishers ISBN 0-87901-121-1.
• Gilbert Strang (1988) Linear Algebra and Its Applications 3rd edition, hlm. 246, Brooks/Cole ISBN 0-15-551005-3.