Kuasigrup

Dalam matematika, terutama dalam aljabar abstrak, grup semu adalah struktur aljabar yang menggunakan grup dalam arti bahwa "pembagian" selalu memungkinkan. Grup semu berbeda dari grup terutama karena mereka tidak selalu asosiatif.

Grup semu dengan elemen identitas disebut loop.

Definisi

Setidaknya ada dua definisi formal grup semu yang secara struktural setara. Satu mendefinisikan grup semu sebagai himpunan dengan satu operasi biner, dan yang lainnya, dari aljabar universal, mendefinisikan grup semu sebagai memiliki tiga operasi primitif. homomorfik galeri dari grup semu yang ditentukan dengan operasi biner tunggal, bagaimanapun, tidak perlu grup semu. Dengan mulai dengan definisi pertama.

Aljabar

Grup semu (Q, ∗) adalah himpunan Q yang tidak kosong dengan operasi biner ∗ (yaitu, magma) menggunakan sifat persegi Latin. Hal ini bahwa, untuk a dan b dalam Q , dengan elemen x dan y dalam Q sehingga keduanya

a ∗ x = b,

y ∗ a = b

(Dengan kata lain: Setiap elemen himpunan muncul tepat satu kali di setiap baris dan tepat satu kali di setiap kolom tabel perkalian grup semu, atau tabel Cayley. Properti ini memastikan bahwa tabel Cayley dari grup semu hingga, dan, khususnya, grup hingga, adalah persegi latin.) Persyaratan keunikan dapat diganti dengan persyaratan bahwa magma menjadi pembatalan.

Solusi untuk persamaan ini ditulis x = a \ b dan y = b / a. Operasi '\' dan '/' yaitu, kiri dan kanan divisi.

Himpunan kosong yang dilengkapi dengan operasi biner kosong memenuhi definisi kuasigroup ini. Beberapa penulis menerima grup semu kosong tetapi yang lain secara eksplisit mengecualikannya.

Aljabar universal

Mengingat beberapa struktur aljabar, identitas adalah persamaan di mana semua variabel diam-diam diukur secara universal, dan di mana semua operasi termasuk di antara operasi primitif yang sesuai dengan struktur. Struktur aljabar yang didiami oleh identitas disebut varietas. Banyak hasil standar dalam aljabar universal hanya berlaku untuk varietas. Grup semu adalah varietas jika pembagian kiri dan kanan dianggap primitif.

Grup semu (Q, ∗, \, /) adalah tipe (2,2,2) aljabar (yaitu, dilengkapi dengan tiga operasi biner) yang memenuhi identitas:

y = x ∗ (x \ y),

y = x \ (x ∗ y),

y = (y / x) ∗ x,

y = (y ∗ x) / x.

Dengan kata lain: Perkalian dan pembagian dalam urutan, satu demi satu, pada sisi yang sama dengan elemen yang sama, tidak memiliki efek bersih.

Karenanya jika (Q, ∗) adalah grup semu menurut definisi pertama, maka (Q, ∗, \, /) adalah grup semu yang sama dalam arti aljabar universal. Dan sebaliknya: jika (Q, ∗, \, /) adalah grup semu menurut pengertian aljabar universal, kemudian (Q, ∗) adalah grup semu menurut definisi pertama.

Loop

Struktur aljabar antara magma dan grup.

Loop adalah kuasigroup dengan elemen identitas; yaitu, elemen e

x ∗ e = x dan e ∗ x = x untuk x pada Q.

Oleh karena itu, elemen identitas e , dan bahwa setiap elemen Q memiliki unik kiri dan invers kanan (yang tidak harus sama).

Sebuah quasigroup dengan idempotent element disebut pique ("kuasigroup idempoten titik"); ini adalah gagasan yang lebih lemah daripada loop tetapi tetap umum karena, misalnya, diberikan grup abelian (A, +), mengambil operasi pengurangannya sebagai perkalian kuasigroup menghasilkan pique (A, −) dengan identitas grup (nol) berubah menjadi "idempoten tajam". (Yaitu, ada isotop utama (x, y, z) ↦ (x, −y, z).)

Sebuah loop asosiatif adalah grup. Suatu grup dapat memiliki isotop kekesalan non-asosiatif, tetapi tidak dapat memiliki isotop simpul non-asosiatif.

Ada sifat asosiatif yang lebih lemah yang telah diberi nama khusus.

Misalnya, Bol loop adalah loop:

x ∗ (y ∗ (x ∗ z)) = (x ∗ (y ∗ x)) ∗ zTemplat:Quad untuk x , y dan z dalam Q ( Bol kiri loop ),

atau

((z ∗ x) ∗ y) ∗ x = z ∗ ((x ∗ y) ∗ x)Templat:Quad untuk x , y dan z dalam Q ( Bol loop kanan ).

Sebuah loop yang merupakan loop Bol kiri dan kanan adalah Moufang loop. Ini setara dengan salah satu dari identitas Moufang berikut yang dimiliki untuk semua x, y, z:

x ∗ (y ∗ (x ∗ z)) = ((x ∗ y) ∗ x) ∗ z,

z ∗ (x ∗ (y ∗ x)) = ((z ∗ x) ∗ y) ∗ x,

(x ∗ y) ∗ (z ∗ x) = x ∗ ((y ∗ z) ∗ x), atau

(x ∗ y) ∗ (z ∗ x) = (x ∗ (y ∗ z)) ∗ x.

Simetri

Smith (2007) menyebutkan sifat dan subkelas penting berikut ini:

Semisimetri

Grup semu adalah semisimetris jika identitas setara berikut berlaku:

xy = y / x,

yx = x \ y,

x = (yx)y,

x = y(xy).

Meskipun kelas ini mungkin tampak istimewa, grup semu Q menginduksi quasigroup semisymmetric QΔ pada kubus produk langsung Q³ melalui operasi berikut:

$(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot (y_{1},y_{2},y_{3})=(y_{3}/x_{2},y_{1}\backslash x_{3},x_{1}y_{2})=(x_{2}//y_{3},x_{3}\backslash \backslash y_{1},x_{1}y_{2}),$

di mana "//" dan "\\" adalah operasi pembagian konjugasi $y//x=x/y$ dan $y\backslash \backslash x=x\backslash y$.

Total simetri

Kelas yang lebih sempit yang merupakan grup semu simetris total (terkadang disingkat grup semu-TS) di mana semua konjugasi bertepatan sebagai satu operasi: xy = x / y = x \ y. Cara lain untuk mendefinisikan (pengertian yang sama tentang) grup semu simetris total adalah sebagai grup semu semisimetris yang juga bersifat komutatif, yaitu xy = yx.

Grup semu simetris total idempoten tepat (yaitu dalam bijeksi dengan) Steiner triples, jadi grup semu seperti itu juga disebut Grup semu Steiner, dan kadang-kadang yang terakhir bahkan disingkat sebagai squag; istilah sloop didefinisikan serupa untuk grup semu Steiner yang juga merupakan loop. Tanpa idempotensi, kuasigroup simetris total sesuai dengan pengertian geometris extended Steiner triple, juga disebut Generalized Elliptic Cubic Curve (GECC).

Total antisimetri

Sebuah grup semu (Q, ∗) disebut totali anti-simetris jika untuk c, x, y ∈ Q, kedua implikasi berikut berlaku:

1. (c ∗ x) ∗ y = (c ∗ y) ∗ x menyiratkan x = y
2. x ∗ y = y ∗ x menyiratkan x = y.

Hal ini disebut anti-simetris lemah jika hanya implikasi pertama yang berlaku.

Sifat ini diperlukan, misalnya dalam Algoritma Damm.

Contoh

• Setiap grup adalah satu lingkaran, karena a ∗ x = b jika dan hanya jika x = a⁻¹ ∗ b, dan y ∗ a = b jika dan hanya jika y = b ∗ a⁻¹.
• Bilangan bulat Z dengan pengurangan (-) membentuk grup semu.
• Bukan nol rasional Q^× (or bukan nol riil R^×) dengan pembagian (÷) membentuk grup semu.
• Setiap ruang vektor di atas bidang dari karakteristik tidak sama dengan 2 membentuk idempoten, grup semu komutatif di bawah operasi x ∗ y = (x + y) / 2.
• Setiap Sistem tripel Steiner mendefinisikan grup semu idempoten, komutatif: a ∗ b adalah elemen ketiga dari triple yang mengandung a dan b . Grup semu ini juga memenuhi (x ∗ y) ∗ y = x untuk x dan y dengan grup semu. Grup semu dikenal sebagai Grup semu Steiner .
• The set {±1, ±i, ±j, ±k} dimana ii = jj = kk = +1 dan dengan semua produk lain seperti pada grup kuaternion membentuk loop non-asosiatif dengan orde 8. Lihat kuartenion hiperbolik untuk penerapannya. (Kuartenion hiperbolik itu sendiri tidak membentuk lingkaran atau grup semu.)
• Oktonion bukan nol membentuk loop non-asosiatif dalam perkalian. Oktonion adalah tipe loop khusus yang dikenal sebagai loop Moufang.
• Sebuah grup semu asosiatif kosong atau sebuah grup, karena jika ada setidaknya satu elemen, keberadaan invers dan asosiatif menyiratkan adanya identitas.
• Pembangunan berikut ini karena Hans Zassenhaus. Pada himpunan dasar dari ruang vektor empat dimensi F⁴ di atas 3 elemen bidang Galois F = Z/3Z mengartikan

(x₁, x₂, x₃, x₄) ∗ (y₁, y₂, y₃, y₄) = (x₁, x₂, x₃, x₄) + (y₁, y₂, y₃, y₄) + (0, 0, 0, (x₃ − y₃)(x₁y₂ − x₂y₁)).

Kemudian, (F⁴, ∗) adalah komutatif Moufang loop yang bukan grup.

• Lebih umum lagi, himpunan elemen bukan nol dari aljabar pembagian mana pun membentuk grup semu.

Sifat

Di sisa artikel ini kami akan menunjukkan kuasigroup perkalian hanya dengan penjajaran.

Grup semu memiliki sifat pembatalan: jika ab = ac kemudian b = c. Ini mengikuti keunikan pembagian kiri ab atau ac oleh a . Begitu pula jika ba = ca, kemudian b = c.

Operator perkalian

Definisi dari grup semu dapat diperlakukan sebagai kondisi operator perkalian kiri dan kanan L(x), R(y): Q → Q, didefinisikan oleh

${\begin{aligned}L(x)y&=xy\\R(x)y&=yx\\\end{aligned}}$

Definisi tersebut mengatakan bahwa kedua pemetaan adalah bijeksi dari Q ke dirinya sendiri. Magma Q adalah kuasigroup tepatnya ketika semua operator ini, untuk setiap x dalam Q , bersifat bijektiva. Pemetaan invers adalah divisi kiri dan kanan, yaitu,

${\begin{aligned}L(x)^{-1}y&=x\backslash y\\R(x)^{-1}y&=y/x\end{aligned}}$

Dalam notasi ini, identitas di antara operasi perkalian dan pembagian kuasigroup (dinyatakan pada bagian aljabar universal) adalah

${\begin{aligned}L(x)L(x)^{-1}&=1\qquad &{\text{sesuai dengan}}\qquad x(x\backslash y)&=y\\L(x)^{-1}L(x)&=1\qquad &{\text{sesuai dengan}}\qquad x\backslash (xy)&=y\\R(x)R(x)^{-1}&=1\qquad &{\text{sesuai dengan}}\qquad (y/x)x&=y\\R(x)^{-1}R(x)&=1\qquad &{\text{sesuai dengan}}\qquad (yx)/x&=y\end{aligned}}$

dimana 1 menunjukkan pemetaan identitas pada Q .

Persegi Latin

Artikel utama: Persegi latin

Persegi Latin, tabel perkalian tak beraturan untuk kuasigroup yang 10 elemennya adalah angka 0–9.

Tabel perkalian grup semu berhingga adalah persegi Latin: an n × n tabel diisi dengan simbol n yang berbeda sedemikian rupa sehingga setiap simbol muncul tepat satu kali di setiap baris dan tepat satu kali di setiap kolom.

Sebaliknya, setiap bujur sangkar Latin dapat dianggap sebagai tabel perkalian grup semu dengan banyak cara: baris perbatasan (berisi tajuk kolom) dan kolom tepi (berisi tajuk baris) dapat berupa permutasi elemen. Lihat persegi Latin kecil dan grup semu.

Grup semu tak hingga

Untuk grup semi terhitung tak hingga Q , adalah mungkin untuk membayangkan larik tak hingga di mana setiap baris dan setiap kolom sesuai dengan beberapa elemen q dari Q , dan dimana elemennya a*b adalah baris yang sesuai dengan a dan kolom merespons b . Dalam situasi ini juga, properti persegi Latin mengatakan bahwa setiap baris dan setiap kolom dari larik tak hingga akan berisi setiap nilai yang mungkin tepat satu kali.

For an uncountably infinite quasigroup, such as the group of non-zero real numbers under multiplication, the Latin square property still holds, although the name is somewhat unsatisfactory, as it is not possible to produce the array of combinations to which the above idea of an infinite array extends since the real numbers cannot all be written in a sequence.

Sifat invers

Setiap elemen loop memiliki invers kiri dan kanan yang unik yang diberikan oleh

$x^{\lambda }=e/x\qquad x^{\lambda }x=e$

$x^{\rho }=x\backslash e\qquad xx^{\rho }=e$

Sebuah loop dikatakan memiliki ( dua sisi ) inverses if $x^{\lambda }=x^{\rho }$ untuk x . Dalam hal ini elemen invers biasanya dilambangkan dengan $x^{-1}$.

Ada beberapa pengertian invers yang lebih kuat dalam loop yang sering berguna:

• Sebuah loop memiliki sifat inversi kiri jika $x^{\lambda }(xy)=y$ untuk $x$ dan $y$. Setara, $L(x)^{-1}=L(x^{\lambda })$ or $x\backslash y=x^{\lambda }y$.
• Sebuah loop memiliki properti invers kanan jika $(yx)x^{\rho }=y$ for all $x$ dan $y$. Setara, $R(x)^{-1}=R(x^{\rho })$ or $y/x=yx^{\rho }$.
• Sebuah loop memiliki properti kebalikan antiautomorphic if $(xy)^{\lambda }=y^{\lambda }x^{\lambda }$ atau, setara, jika $(xy)^{\rho }=y^{\rho }x^{\rho }$.
• Sebuah loop memiliki properti inversi lemah ketika $(xy)z=e$ jika dan hanya jika $x(yz)=e$. Ini dapat dinyatakan dalam inversi melalui $(xy)^{\lambda }x=y^{\lambda }$ atau setara $x(yx)^{\rho }=y^{\rho }$.

Sebuah loop memiliki properti invers jika ia memiliki properti invers kiri dan kanan. Loop properti invers juga memiliki properti invers antiautomorfik dan lemah. Nyatanya, setiap pengulangan yang memenuhi salah satu dari empat identitas di atas memiliki properti inversi dan karena itu memenuhi keempatnya.

Generalisasi

Grup semu poladik atau multier

Sebuah grup semu-ari-n adalah himpunan dengan operasi ari-n, (Q, f) dengan f: Qⁿ → Q, sehingga persamaannya f(x₁,...,x_n) = y memiliki solusi unik untuk satu variabel jika semua variabel n lainnya ditentukan. Poliadik atau multiari berarti ari-n untuk beberapa bilangan bulat nonnegatif n .

Contoh dari beberapa grup semu adalah operasi grup berulang, y = x₁ · x₂ · ··· · x_n; tidak perlu menggunakan tanda kurung untuk menentukan urutan operasi karena grup bersifat asosiatif. Seseorang juga dapat membentuk grup semu multi dengan melakukan urutan apapun dari operasi grup atau grup semu yang sama atau berbeda, jika urutan operasi ditentukan.

Ada banyak grup semu yang tidak dapat direpresentasikan dengan cara ini. Sebuah semigrup ari-n adalah tidak bisa direduksi jika operasinya tidak dapat difaktorkan ke dalam komposisi dua operasi dengan cara berikut:

$f(x_{1},\dots ,x_{n})=g(x_{1},\dots ,x_{i-1},\,h(x_{i},\dots ,x_{j}),\,x_{j+1},\dots ,x_{n}),$

dimana 1 ≤ i < j ≤ n and (i, j) ≠ (1, n). Irreduksi hingga kuasi grup ari-n untuk n > 2; lihat Akivis dan Goldberg (2001) untuk detailnya.

Grup kanan dan kiri

Grup semu kanan (Q, ∗, /) adalah aljabar tipe (2,2) yang memenuhi kedua identitas: y = (y / x) ∗ x; y = (y ∗ x) / x.

Demikian pula, grup semu kiri (Q, ∗, \) adalah aljabar tipe (2,2) yang memenuhi kedua identitas: y = x ∗ (x \ y); y = x \ (x ∗ y).

Jumlah grup semu dan loop kecil

Artikel utama: Persegi latin kecil dan grup semi

Jumlah kelas isomorfisme dari kuasigroup kecil (barisan A057991 pada OEIS) dan loop (barisan A057771 pada OEIS) diberikan:

Urutan	Jumlah kuasigroup	Jumlah loop
0	1	0
1	1	1
2	1	1
3	5	1
4	35	2
5	1,411	6
6	1,130,531	109
7	12,198,455,835	23,746
8	2,697,818,331,680,661	106,228,849
9	15,224,734,061,438,247,321,497	9,365,022,303,540
10	2,750,892,211,809,150,446,995,735,533,513	20,890,436,195,945,769,617
11	19,464,657,391,668,924,966,791,023,043,937,578,299,025	1,478,157,455,158,044,452,849,321,016

Lihat pula

• Gelanggang pembagian - gelanggang di mana setiap elemen bukan nol memiliki pembalikan perkalian
• Semigrup - struktur aljabar yang terdiri dari himpunan bersama dengan operasi biner asosiatif
• Monoid - semigrup dengan elemen identitas
• Gelanggang terner Planar - memiliki struktur loop aditif dan perkalian
• Masalah dalam teori lingkaran dan teori kuasigroup
• Matematika Sudoku

Referensi

• Akivis, M. A.; Goldberg, Vladislav V. (2001). "Solution of Belousov's problem". Discussiones Mathematicae - General Algebra and Applications. 21 (1): 93–103. arXiv:math/0010175 . doi:10.7151/dmgaa.1030. 
• Bruck, R.H. (1971) [1958]. A Survey of Binary Systems. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-03497-3. 
• Chein, O.; Pflugfelder, H. O.; Smith, J.D.H., ed. (1990). Quasigroups and Loops: Theory and Applications. Berlin: Heldermann. ISBN 978-3-88538-008-5. 
• Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (2007), Handbook of Combinatorial Designs (edisi ke-2nd), Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC, ISBN 978-1-58488-506-1 
• Dudek, W.A.; Glazek, K. (2008). "Around the Hosszu-Gluskin Theorem for n-ary groups". Discrete Math. 308 (21): 4861–76. arXiv:math/0510185 . doi:10.1016/j.disc.2007.09.005. 
• Pflugfelder, H.O. (1990). Quasigroups and Loops: Introduction. Berlin: Heldermann. ISBN 978-3-88538-007-8. 
• Smith, J.D.H. (2007). An Introduction to Quasigroups and their Representations. Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 978-1-58488-537-5. 
• Shcherbacov, V.A. (2017). Elements of Quasigroup Theory and Applications. Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 978-1-4987-2155-4. 
• Smith, J.D.H.; Romanowska, Anna B. (1999). Post-Modern Algebra. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-12738-3. 

Pranala luar

• quasigroups
• Templat:Eom