Lapangan (matematika)

Halaman ini berisi artikel tentang struktur aljabar. Untuk fungsi nilai vektor, lihat Bidang vektor. Untuk kegunaan lain, lihat Bidang (disambiguasi).

Segi tujuh biasa tidak dapat dibangun hanya dengan menggunakan konstruksi garis lurus dan kompas; ini dapat dibuktikan menggunakan bidang bilangan konstruksibel.

Untuk kegunaan lain, lihat Medan.

Lapangan atau medan dalam matematika adalah suatu struktur aljabar dengan operasi seperti penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian yang memenuhi aksioma tertentu. Lapangan yang kerap kali dijumpai adalah lapangan bilangan riil, lapangan bilangan kompleks dan bilangan rasional.

Definisi

Contoh sebuah lapangan adalah himpunan bilangan rasional Q. Dalam Q terdapat empat operasi dasar: penjumlahan bersama dengan pengurangan, dan perkalian dengan pembagian. Secara intuitif, suatu lapangan adalah himpunan bilangan yang memiliki empat operasi seperti itu. Agar memenuhi syarat sebagai lapangan, operasi-operasi tersebut harus memenuhi aksioma tertentu.

Sebuah lapangan adalah sebuah himpunan, misalkan dinamakan F, bersama dengan dua operasi biner, yang biasanya dinamakan sebagai penambahan dan perkalian, masing-masing dilambangkan sebagai + dan ·, sehingga aksioma berikut berlaku:

Tertutup terhadap penambahan dan perkalian

Untuk semua a, b anggota F, baik a + b dan a · b ada dalam F (atau, dengan rumusan lebih formal, + dan . adalah operasi biner terhadap F).

Sifat asosiatif penambahan dan perkalian

Untuk semua a, b, and c dalam F, persamaan berikut berlaku:

a + (b + c) = (a + b) + c dan a · (b · c) = (a · b) · c.

Sifat komutatif penjumlahan dan perkalian

Untuk semua a dan b dalam F, kesamaan berikut berlaku:

a + b = b + a dan a · b = b · a.

Unsur identitas dalam penambahan dan perkalian

Terdapat anggota atau unsur F, yang dinamakan unsur identitas penambahan yang dilambangkan sebagai 0, sehingga untuk semua a dalam F,

a + 0 = a. Begitu pula, terdapat anggota, yang dinamakan sebagai unsur identitas perkalian yang dilambangkan dengan 1, sehingga untuk semua a dalam F, a · 1 = a. Unsur identitas penambahan dan perkalian disyaratkan berbeda, untuk alasan teknis.

Invers penambahan dan perkalian

Untuk setiap a dalam F, terdapat sebuah anggota, -a dalam F, sehingga

a + (−a) = 0. Dengan cara yang sama, untuk setiap a dalam F selain 0, terdapat anggota a⁻¹ in F,sehingga a · a⁻¹ = 1. (Unsur a + (−b) dan a · b⁻¹ masing-masing dinamakan a − b and a/b) Dengan kata lain, terdapat operasi pengurangan dan pembagian.

Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

Untuk semua a, b dan c dalam F, kesamaan berikut berlaku:

a · (b + c) = (a · b) + (a · c).

Contoh

Bilangan rasional

Artikel utama: Bilangan rasional

Bilangan rasional telah banyak digunakan jauh sebelum elaborasi konsep lapangan. Itu adalah bilangan yang dapat ditulis sebagai pecahan a/b, dimana a dan b adalah bilangan bulat, dan b ≠ 0. Kebalikan aditif dari pecahan tersebut adalah −a/b, dan pembalikan perkalian (asalkan a ≠ 0) adalah b/a, yang bisa dilihat sebagai berikut:

${\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {ba}{ab}}=1.$

Aksioma bidang yang diperlukan secara abstrak direduksi menjadi sifat standar bilangan rasional. Misalnya hukum distributivitas dapat dibuktikan sebagai berikut:

${\begin{aligned}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}\cdot {\frac {f}{f}}+{\frac {e}{f}}\cdot {\frac {d}{d}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {cf}{df}}+{\frac {ed}{fd}}\right)={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {cf+ed}{df}}\\[6pt]={}&{\frac {a(cf+ed)}{bdf}}={\frac {acf}{bdf}}+{\frac {aed}{bdf}}={\frac {ac}{bd}}+{\frac {ae}{bf}}\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {e}{f}}.\end{aligned}}$

Bilangan riil dan kompleks

Perkalian bilangan kompleks dapat divisualisasikan secara geometris dengan rotasi dan skala.

Artikel utama: Bilangan riil dan Bilangan kompleks

Bilangan riil R, dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang biasa, juga membentuk bidang. Bilangan kompleks C terdiri dari ekspresi

a + bi, dengan a, b,

dimana i adalah unit imajiner, yaitu bilangan (non-nyata) memuaskan i² = −1. Penjumlahan dan perkalian bilangan real didefinisikan sedemikian rupa sehingga ekspresi jenis ini memenuhi semua aksioma medan dan karenanya berlaku untuk C. Misalnya, penegakan hukum distributif

(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi² = ac−bd + (bc + ad)i.

Ini langsung bahwa ini lagi-lagi merupakan ekspresi dari tipe di atas, dan bilangan kompleks membentuk bidang. Bilangan kompleks dapat direpresentasikan secara geometris sebagai titik dalam bidang. dengan koordinat kartesius yang diberikan oleh bilangan real dari ekspresi yang mendeskripsikannya, atau sebagai panah dari asal ke titik-titik ini, ditentukan oleh panjangnya dan sudut tertutup dengan beberapa. Penambahan kemudian sesuai dengan penggabungan panah ke jajaran genjang intuitif (menambahkan koordinat Kartesius), dan perkaliannya, kurang intuitif, menggabungkan putaran dan skala panah (menambahkan sudut dan mengalikan panjangnya). Bidang bilangan real dan kompleks digunakan di seluruh matematika, fisika, teknik, statistik, dan banyak disiplin ilmu lainnya.

Bilangan konstruksibel

Teorema rata-rata geometris menegaskan bahwa h² = pq. Memilih q = 1 memungkinkan pembangunan akar kuadrat dari bilangan yang dapat dibangun p.

Artikel utama: Bilangan konstruksibel

Di zaman kuno, beberapa masalah geometris menyangkut kelayakan (dalam) konstruksi bilangan tertentu dengan kompas dan garis lurus. Misalnya, orang Yunani tidak mengetahui bahwa secara umum tidak mungkin untuk membagi dua sudut tertentu dengan cara ini. Masalah ini dapat diselesaikan dengan menggunakan bidang bilangan konstruksibel. Bilangan konstruktif riil, menurut definisi, adalah panjang segmen garis yang dapat dibangun dari titik 0 dan 1 dalam banyak langkah tak terhingga hanya dengan menggunakan kompas dan garis lurus. Angka-angka ini, diberkahi dengan operasi bidang bilangan real, terbatas pada bilangan yang dapat dibangun, membentuk bidang, yang mencakup bidang Q of angka rasional. Ilustrasi menunjukkan konstruksi akar kuadrat dari bilangan yang dapat dibangun, tidak harus terkandung di dalamnya Q. Menggunakan label dalam ilustrasi, buat segmen AB, BD, dan setengah lingkaran berakhir AD (pusatkan di titik tengah C), yang memotong garis tegak lurus melalui B pada satu titik F, pada jarak tepat $h={\sqrt {p}}$ dari B jika BD memiliki panjang satu.

Tidak semua bilangan real dapat dibangun. Dapat ditunjukkan bahwa ${\sqrt[{3}]{2}}$ bukanlah bilangan yang dapat dibangun, yang menyiratkan bahwa tidak mungkin untuk membangun dengan kompas dan meluruskan panjang sisi sebuah kubus dengan volume 2, masalah lain yang ditimbulkan oleh orang Yunani kuno.

Bidang dengan empat elemen

Penambahan	Perkalian
+ O I A B O O I A B I I O B A A A B O I B B A I O	· O I A B O O O O O I O I A B A O A B I B O B I A

Selain sistem bilangan yang sudah dikenal seperti rasio, ada contoh bidang lain yang kurang langsung. Contoh berikut adalah bidang yang terdiri dari empat elemen yang disebut O, I, A, dan B. Notasi O memainkan peran elemen identitas aditif (dilambangkan 0 dalam aksioma di atas), dan I adalah identitas perkalian (dilambangkan 1 dalam aksioma di atas). Aksioma medan dapat diverifikasi dengan menggunakan beberapa teori medan lagi, atau dengan perhitungan langsung. Sebagai contoh,

A · (B + A) = A · I = A, yang sama dengan A · B + A · A = I + B = A, seperti yang dipersyaratkan oleh distribusi.

Bidang ini disebut bidang hingga dengan empat elemen, dan dilambangkan F₄ or GF(4). Bagian terdiri dari O and I (disorot dengan warna merah pada tabel di sebelah kanan) juga merupakan bidang, yang dikenal sebagai bidang biner F₂ atau GF(2). Dalam konteks ilmu komputer dan Aljabar Boolean, O dan I masing-masing sering dilambangkan dengan false dan true , penambahan kemudian dilambangkan XOR (eksklusif atau), dan perkalian dilambangkan AND. Dengan kata lain, struktur bidang biner adalah struktur dasar yang memungkinkan dilakukannya komputasi dengan bit.

Konsekuensi dari definisi

Satu memiliki a · 0 = 0 dan −a = (−1) · a. Secara khusus, seseorang dapat menyimpulkan kebalikan aditif dari setiap elemen segera setelah dia mengetahui –1.

Jika ab = 0 kemudian a atau b harus 0, karena, jika a ≠ 0, kemudian b = (a^–1a)b = a^–1(ab) = a^–1⋅0 = 0. Ini berarti bahwa setiap bidang adalah domain integral.

Selain itu, properti berikut ini berlaku untuk semua elemen a dan b:

−0 = 0

1⁻¹ = 1

(−(−a)) = a

(a^–1)⁻¹ = a

(–a) · b = a · (−b) = −(a · b)

Bidang hingga

Artikel utama: Bidang hingga

Bidang hingga (juga disebut bidang Galois ) adalah bidang dengan banyak elemen berhingga, yang jumlahnya juga disebut sebagai urutan bidang. Contoh pengantar di atas F₄ adalah bidang dengan empat elemen. Subbidang nya F₂ adalah bidang terkecil, karena menurut definisi bidang memiliki setidaknya dua elemen berbeda 1 ≠ 0.

Dalam aritmetika modular 12, 9 + 4 = 1 karena 9 + 4 = 13 in Z, yang dibagi 12 daun sisa 1. Namun, Z/12Z bukan bidang karena 12 bukan bilangan prima.

Kolom terbatas paling sederhana, dengan orde utama, paling langsung dapat diakses menggunakan aritmetika modular. Untuk bilangan bulat positif tetap n, aritmetika "modulo n" artinya bekerja dengan angka

Z/nZ = {0, 1, ..., n − 1}.

Penambahan dan perkalian pada himpunan ini dilakukan dengan melakukan operasi yang dimaksud pada himpunan Z bilangan bulat, membaginya dengan n dan mengambil sisanya sebagai hasil. Konstruksi ini menghasilkan bidang persis jika n adalah bilangan prima. Misalnya mengambil bilangan prima n = 2 hasil di bidang yang disebutkan di atas F₂. Untuk n = 4 dan secara lebih umum, untuk setiap bilangan komposit (yaitu, bilangan apa pun n yang dapat diekspresikan sebagai produk n = r⋅s dari dua bilangan asli yang lebih kecil), Z/nZ bukan bidang: produk dari dua elemen bukan nol adalah nol karena r⋅s = 0 pada Z/nZ, yang, seperti yang dijelaskan di atas, dengan Z/nZ dari menjadi lapangan. Lapangan Z/pZ dengan p elemen (p menjadi prima) dibangun dengan cara ini biasanya dilambangkan dengan F_p.

Setiap bidang terbatas yang dimiliki F adalah q = pⁿ elemen, di mana p adalah bilangan prima dan n ≥ 1. Pernyataan ini berlaku karena F dapat dilihat sebagai ruang vektor di atas bidang utamanya. dimensi dari ruang vektor ini harus terbatas, katakanlah n , yang menyiratkan pernyataan yang ditegaskan.

Bidang dengan q = pⁿ elemen dapat dibuat sebagai bidang pemisah dari polinomial

f(x) = x^q − x.

Bidang pemisahan seperti itu merupakan perpanjangan dari F_p di mana polinomial f memiliki q nol. Ini berarti f memiliki angka nol sebanyak mungkin karena derajat dari f adalah q. Untuk q = 2² = 4, itu dapat diperiksa kasus per kasus menggunakan tabel perkalian di atas yang keempat elemennya F₄ memenuhi persamaan x⁴ = x, jadi mereka adalah nol f. Sebaliknya, pada F₂, f hanya memiliki dua angka nol (yaitu 0 dan 1), jadi f tidak dibagi menjadi faktor linier dalam bidang yang lebih kecil ini. Menguraikan lebih lanjut pengertian teori medan dasar, dapat ditunjukkan bahwa dua bidang berhingga dengan urutan yang sama adalah isomorfik. Oleh karena itu, adalah kebiasaan untuk menyebut bidang berhingga dengan elemen q , dilambangkan dengan F_q atau GF(q).

Sejarah

Secara historis, tiga disiplin ilmu aljabar mengarah pada konsep bidang: soal menyelesaikan persamaan polinomial, teori bilangan aljabar, dan geometri aljabar. Langkah pertama menuju gagasan bidang dibuat pada tahun 1770 oleh Joseph-Louis Lagrange, yang mengamati bahwa mengubah angka nol x₁, x₂, x₃ dari polinomial kubik dalam pernyataan tersebut

(x₁ + ωx₂ + ω²x₃)³

(dengan ω menjadi akar persatuan ketiga) hanya menghasilkan dua nilai. Dengan cara ini, Lagrange secara konseptual menjelaskan metode solusi klasik Scipione del Ferro dan François Viète, yang melanjutkan dengan mengurangi persamaan kubik untuk x yang tidak diketahui menjadi persamaan kuadrat untuk x³. Bersama dengan pengamatan serupa untuk persamaan derajat 4, Lagrange menghubungkan apa yang akhirnya menjadi konsep bidang dan konsep grup. Vandermonde, juga pada tahun 1770, dan secara lebih luas, Carl Friedrich Gauss, dalam karyanya Disquisitiones Arithmeticae (1801), mempelajari persamaan

x^p = 1

untuk bilangan prima p dan, lagi-lagi menggunakan bahasa modern, hasil siklik grup Galois. Gauss menyimpulkan bahwa regular p-gon dapat dibangun jika p = 2^2k + 1. Berdasarkan karya Lagrange, Paolo Ruffini menyatakan (1799) bahwa persamaan kuintik s (persamaan polinomial derajat 5) tidak dapat diselesaikan secara aljabar; Namun, argumennya salah. Celah ini diisi oleh Niels Henrik Abel pada tahun 1824. Évariste Galois, pada tahun 1832, merancang kriteria yang diperlukan dan cukup agar persamaan polinomial dapat dipecahkan secara aljabar, sehingga menetapkan efek yang sekarang dikenal sebagai teori Galois. Baik Abel dan Galois bekerja dengan apa yang sekarang disebut bidang angka aljabar, tetapi tidak memahami gagasan eksplisit tentang bidang, atau pun grup.

Pada tahun 1871 Richard Dedekind diperkenalkan, untuk satu set bilangan real atau kompleks yang ditutup di bawah empat operasi aritmatika, kata Jerman Körper , yang berarti "tubuh" atau "korpus" (untuk menyarankan entitas yang tertutup secara organik). Istilah Inggris "field" diperkenalkan oleh (Moore 1893).

Yang kami maksud dengan bidang adalah setiap sistem tak terbatas dari bilangan real atau kompleks yang begitu tertutup dengan sendirinya dan menyempurnakan penjumlahan, pengurangan itu, perkalian, dan pembagian salah satu dari dua bilangan ini lagi-lagi menghasilkan bilangan sistem.

— Richard Dedekind, 1871

Pada tahun 1881 Leopold Kronecker mendefinisikan apa yang dia sebut sebagai domain rasionalitas , yang merupakan bidang pecahan rasional dalam istilah modern. Gagasan Kronecker tidak mencakup bidang semua bilangan aljabar (yang merupakan bidang dalam pengertian Dedekind), tetapi di sisi lain lebih abstrak daripada Dedekind karena tidak membuat asumsi khusus tentang sifat elemen suatu bidang. Kronecker menafsirkan bidang seperti Q(π) secara abstrak sebagai bidang fungsi rasional Q(X). Sebelum ini, contoh bilangan transendental telah diketahui sejak karya Joseph Liouville pada tahun 1844, sampai Charles Hermite (1873) dan Ferdinand von Lindemann (1882) membuktikan transendensi {math|e}} dan π.

Referensi

• Adamson, I. T. (2007), Introduction to Field Theory, Dover Publications, ISBN 978-0-486-46266-0 
• Allenby, R. B. J. T. (1991), Rings, Fields and Groups, Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-340-54440-2 
• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-004763-2 , especially Chapter 13
• Artin, Emil; Schreier, Otto (1927), "Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (dalam bahasa Jerman), 5: 225–231, doi:10.1007/BF02952522, ISSN 0025-5858, JFM 53.0144.01 
• Ax, James (1968), "The elementary theory of finite fields", Ann. of Math., 2, 88 (2): 239–271, doi:10.2307/1970573, JSTOR 1970573 
• Baez, John C. (2002), "The octonions", Bulletin of the American Mathematical Society, 39 (2): 145–205, arXiv:math/0105155 , doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X 
• Banaschewski, Bernhard (1992), "Algebraic closure without choice.", Z. Math. Logik Grundlagen Math., 38 (4): 383–385, doi:10.1002/malq.19920380136, Zbl 0739.03027 
• Beachy, John. A; Blair, William D. (2006), Abstract Algebra (edisi ke-3), Waveland Press, ISBN 1-57766-443-4 
• Blyth, T. S.; Robertson, E. F. (1985), Groups, rings and fields: Algebra through practice, Cambridge University Press . See especially Book 3 (ISBN 0-521-27288-2) and Book 6 (ISBN 0-521-27291-2).
• Borceux, Francis; Janelidze, George (2001), Galois theories, Cambridge University Press, ISBN 0-521-80309-8, Zbl 0978.12004 
• Bourbaki, Nicolas (1994), Elements of the history of mathematics, Springer, doi:10.1007/978-3-642-61693-8, ISBN 3-540-19376-6, MR 1290116 
• Bourbaki, Nicolas (1988), Algebra II. Chapters 4–7, Springer, ISBN 0-387-19375-8 
• Cassels, J. W. S. (1986), Local fields, London Mathematical Society Student Texts, 3, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9781139171885, ISBN 0-521-30484-9, MR 0861410 
• Clark, A. (1984), Elements of Abstract Algebra, Dover Books on Mathematics Series, Dover, ISBN 978-0-486-64725-8 
• Conway, John Horton (1976), On Numbers and Games, Academic Press 
• Corry, Leo (2004), Modern algebra and the rise of mathematical structures (edisi ke-2nd), Birkhäuser, ISBN 3-7643-7002-5, Zbl 1044.01008 
• Dirichlet, Peter Gustav Lejeune (1871), Dedekind, Richard, ed., Vorlesungen über Zahlentheorie (Lectures on Number Theory) (dalam bahasa Jerman), 1 (edisi ke-2nd), Braunschweig, Germany: Friedrich Vieweg und Sohn 
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 0-387-94268-8, MR 1322960 
• Escofier, J. P. (2012), Galois Theory, Springer, ISBN 978-1-4613-0191-2 
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (edisi ke-2nd), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 
• Fricke, Robert; Weber, Heinrich Martin (1924), Lehrbuch der Algebra (dalam bahasa Jerman), Vieweg, JFM 50.0042.03 
• Gouvêa, Fernando Q. (1997), p-adic numbers, Universitext (edisi ke-2nd), Springer 
• Gouvêa, Fernando Q. (2012), A Guide to Groups, Rings, and Fields, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-355-9 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Field", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Hensel, Kurt (1904), "Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (dalam bahasa Jerman), 128: 1–32, ISSN 0075-4102, JFM 35.0227.01 
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (edisi ke-2nd), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 
• Jannsen, Uwe; Wingberg, Kay (1982), "Die Struktur der absoluten Galoisgruppe 𝔭-adischer Zahlkörper. [The structure of the absolute Galois group of 𝔭-adic number fields]", Invent. Math., 70 (1): 71–98, Bibcode:1982InMat..70...71J, doi:10.1007/bf01393199, MR 0679774 
• Kleiner, Israel (2007), Kleiner, Israel, ed., A history of abstract algebra, Birkhäuser, doi:10.1007/978-0-8176-4685-1, ISBN 978-0-8176-4684-4, MR 2347309 
• Kiernan, B. Melvin (1971), "The development of Galois theory from Lagrange to Artin", Archive for History of Exact Sciences, 8 (1–2): 40–154, doi:10.1007/BF00327219, MR 1554154 
• Kuhlmann, Salma (2000), Ordered exponential fields, Fields Institute Monographs, 12, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0943-1, MR 1760173 
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (edisi ke-3rd), Springer, doi:10.1007/978-1-4613-0041-0, ISBN 0-387-95385-X 
• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (2008), Finite fields (edisi ke-2nd), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-06567-2, Zbl 1139.11053 
• Lorenz, Falko (2008), Algebra, Volume II: Fields with Structures, Algebras and Advanced Topics, Springer, ISBN 978-0-387-72487-4 
• Marker, David; Messmer, Margit; Pillay, Anand (2006), Model theory of fields, Lecture Notes in Logic, 5 (edisi ke-2nd), Association for Symbolic Logic, CiteSeerX 10.1.1.36.8448 , ISBN 978-1-56881-282-3, MR 2215060 
• McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68015225 
• Mines, Ray; Richman, Fred; Ruitenburg, Wim (1988), A course in constructive algebra, Universitext, Springer, doi:10.1007/978-1-4419-8640-5, ISBN 0-387-96640-4, MR 0919949 
• Moore, E. Hastings (1893), "A doubly-infinite system of simple groups", Bulletin of the American Mathematical Society, 3 (3): 73–78, doi:10.1090/S0002-9904-1893-00178-X , MR 1557275 
• Prestel, Alexander (1984), Lectures on formally real fields, Lecture Notes in Mathematics, 1093, Springer, doi:10.1007/BFb0101548, ISBN 3-540-13885-4, MR 0769847 
• Ribenboim, Paulo (1999), The theory of classical valuations, Springer Monographs in Mathematics, Springer, doi:10.1007/978-1-4612-0551-7, ISBN 0-387-98525-5, MR 1677964 
• Scholze, Peter (2014), "Perfectoid spaces and their Applications" (PDF), Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2014, ISBN 978-89-6105-804-9 
• Schoutens, Hans (2002), The Use of Ultraproducts in Commutative Algebra, Lecture Notes in Mathematics, 1999, Springer, ISBN 978-3-642-13367-1 
• Serre, Jean-Pierre (1996) [1978], A course in arithmetic. Translation of Cours d'arithmetique, Graduate Text in Mathematics, 7 (edisi ke-2nd), Springer, ISBN 9780387900407, Zbl 0432.10001 
• Serre, Jean-Pierre (1979), Local fields, Graduate Texts in Mathematics, 67, Springer, ISBN 0-387-90424-7, MR 0554237 
• Serre, Jean-Pierre (1992), Topics in Galois theory, Jones and Bartlett Publishers, ISBN 0-86720-210-6, Zbl 0746.12001 
• Serre, Jean-Pierre (2002), Galois cohomology, Springer Monographs in Mathematics, Translated from the French by Patrick Ion, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42192-4, MR 1867431, Zbl 1004.12003 
• Sharpe, David (1987), Rings and factorization, Cambridge University Press, ISBN 0-521-33718-6, Zbl 0674.13008 
• Steinitz, Ernst (1910), "Algebraische Theorie der Körper" [Algebraic Theory of Fields], Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1910 (137): 167–309, doi:10.1515/crll.1910.137.167, ISSN 0075-4102, JFM 41.0445.03 
• Tits, Jacques (1957), "Sur les analogues algébriques des groupes semi-simples complexes", Colloque d'algèbre supérieure, tenu à Bruxelles du 19 au 22 décembre 1956, Centre Belge de Recherches Mathématiques Établissements Ceuterick, Louvain, Paris: Librairie Gauthier-Villars, hlm. 261–289 
• van der Put, M.; Singer, M. F. (2003), Galois Theory of Linear Differential Equations, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 328, Springer 
• von Staudt, Karl Georg Christian (1857), Beiträge zur Geometrie der Lage (Contributions to the Geometry of Position), 2, Nürnberg (Germany): Bauer and Raspe 
• Wallace, D. A. R. (1998), Groups, Rings, and Fields, SUMS, 151, Springer 
• Warner, Seth (1989), Topological fields, North-Holland, ISBN 0-444-87429-1, Zbl 0683.12014 
• Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83 (edisi ke-2nd), Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1934-7, ISBN 0-387-94762-0, MR 1421575 
• Weber, Heinrich (1893), "Die allgemeinen Grundlagen der Galois'schen Gleichungstheorie", Mathematische Annalen (dalam bahasa Jerman), 43 (4): 521–549, doi:10.1007/BF01446451, ISSN 0025-5831, JFM 25.0137.01