Lompat ke isi

Batas (topologi)

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
(Dialihkan dari Titik batas)
Suatu himpunan (berwarna biru muda) dan batasnya (berwarna biru tua).

Dalam topologi dan matematika, batas, perbatasan, atau sempadan (bahasa Inggris: boundary) himpunan dari ruang topologis merupakan himpunan titik yang dapat didekatkan dari dan dari luar . Lebih tepatnya, batas (dalam topologi) merupakan himpunan titik dalam ketertutupan bukan merupakan milik interior . Sebuah unsur dari batas disebut titik batas , dan istilah operasi batas mengartikan sebagai pencarian atau pengambilan batas himpunan. Notasi yang digunakan untuk batas himpunan di antaranya , , dan .

Definisi umum

[sunting | sunting sumber]

Ada beberapa definisi yang ekuivalen mengenai batas himpunan bagian dari ruang topologis yang dapat dilambangkan sebagai atau cukup ditulis :

  1. Batas himpunan merupakan ketertutupan dikurangi interior : dengan menyatakan ketertutupan di , dan menyatakan interior topologis di .
  2. Batas himpunan merupakan irisan ketertutupan dengan ketertutupan komplemen:
  3. Batas himpunan merupakan himpunan titik sehingga setiap lingkungan memuat setidaknya satu titik dan setidaknya satu titik yang bukan :

Contoh-contoh

[sunting | sunting sumber]
Batas komponen hiperbolik himpunan Mandelbrot.

Tinjau garis real dengan topologi biasa (yaitu topologi yang himpunan basisnya merupakan selang terbuka) dan merupakan himpunan bagian rasional (yang interior topologi di kosong). Maka

Kedua contoh terakhir ini mengilustrasikan bahwa batas himpunan rapat dengan interior kosong adalah ketertutupannya. Kedua contoh tersebut dapat diperlihatkan bahwa untuk batas dari subhimpunan , memuat subhimpunan terbuka takkosong dari . Dalam artian untuk interior di adalah subhimpunan terbuka takkosong. Akan tetapi, batas himpunan tertutup juga selalu mempunyai interior kosong.

Dalam ruang bilangan rasional dengan topologi biasa (topologi subruang ), batas dari adalah kosong, dimana bilangan irasional.

Batas himpunan merupakan gagasan topologis, dan batas himpunan dapat berubah jika salah satunya mengubah topologi. Sebagai contoh, diberikan topologi biasa pada , maka batas cakram tertutup merupakan lingkaran sekeliling cakram: . Jika cakramnya dipandang sebagai himpunan di dengan topologi biasa itu sendiri, yaitu , maka batas cakramnya adalah cakram itu sendiri: . Jika cakramnya dipandang sebagai ruang topologisnya sendiri (dengan topologi subruang ), maka batas cakramnya kosong.

Sifat-sifat

[sunting | sunting sumber]

Ketertutupan dari himpunan sama dengan gabungan dari himpunan dengan batas himpunan :dengan menyatakan ketertutupan di . Sebuah himpunan dikatakan tertutup jika dan hanya jika memuat batas himpunan , dan terbuka jika dan hanya jika melepas dari batas himpunan . Batas himpunannya adalah tertutup,[1] yang diikuti dari rumus . Notasi merupakan perpotongan dari dua subhimpunan tertutup

("Trikotomi") Diberikan suatu himpunan maka setiap titik , tepatnya, terletak di salah satu dari tiga himpunan, yaitu dan

Pengertian diagram Venn memperlihatkan kaitan antara titik himpunan bagian yang berbeda dari . adalah himpunan titik limit dari , adalah himpunan titik batas dari luas dinaungi warna hijau merupakan himpunan titik interior dari , luas dinaungi warna kuning merupakan himpunan titik pencil dari , luas dinaungi warna hitam adalah himpunan kosong. Setiap titik adalah titik interior maupun titik batas dan setiap titik adalah sebuah titik kumpulan maupun sebuah titik pencil. Demikian juga, setiap titik batas adalah sebuah titik kumpulan maupun sebuah titik pencil. Titik pencil selalu merupakan titik batas.

Ketiga himpunan (yaitu dan ) adalah himpunan lepas berpasangan. Akibatnya, jika ketiga himpunan tersebut bukan himpunan kosong,[note 1] maka ketiga himpunan tersebut membentuk partisi dari

Sebuah titik merupakan titik batas himpunan jika dan hanya jika setiap tetangga memuat setidaknya satu titik di himpunan dan yang bukan di himpunan. Batas interior himpunan yang juga merupakan batas dari ketertutupan himpunan memuat di batas himpunan.

Batas dari sebuah batas

[sunting | sunting sumber]

Untuk suatu himpunan , , dengan persamaan berlaku jika dan hanya jika batas tidak memiliki titik interior. Himpunan tersebut akan menjadi kasus sebagai contohnya jika baik tertutup atau buka. Karena batas himpunan tertutup, untuk suatu himpunan . Demikian, operator batas memenuhi sebuah jenis keidempotenan lemah.

Dalam membahas batas manifold atau simpleks dan kompleks simplisialnya, batas himpunan sering kali menemukan pernyataan bahwa batas dari batas selalu kosong. Memang bahwa konstruksi dari homologi singular sangat penting pada fakta ini. Penjelasan untuk keanehan yang jelas ini adalah bahwa batas topologis (subjek artikel ini) adalah konsep yang agak berbeda dari batas manifold atau sebuah kompleks simplisial. Contohnya, batas cakram buka yang dipandang sebagai sebuah manifold adalah kosong, karena batas topologisnya dipandang sebagai sebuah himpunan bagiannya sendiri, sementara batas topologisnya yang dipandang sebagai sebuah himpunan bagian dari bidang real adalah lingkaran yang mengelilingi cakram. Sebaliknya, batas cakram tertutup yang dipandang sebagai sebuah manifold adalah lingkaran pembatas, karena batas topologisnya dipandang sebagai sebuah himpunan bagian dari bidang real, sementara batas topologisnya yang dipandang sebagai sebuah himpunan bagiannya sendiri adalah kosong. (Khususnya, batas topologisnya bergantung pada ruang sekitar, sementara batas manifoldnya adalah invarian.)

Lihat pula

[sunting | sunting sumber]
  1. ^ Pernyataan ini memerlukan syarat bahwa himpunan tersebut adalah tak kosong, sebab berdasarkan definisi, himpunan dalam sebuah partisi diperlukan agar menjadi himpunan tak kosong.

Referensi

[sunting | sunting sumber]
  1. ^ Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introduction to Topology (edisi ke-Third). Dover. hlm. 86. ISBN 0-486-66352-3. Corollary 4.15 For each subset is closed. 

Bacaan lebih lanjut

[sunting | sunting sumber]