Teorema Schinzel

Dalam geometri bilangan, teorema Schinzel berbunyi bahwa, untuk sebarang bilangan bulat positif yang diketahui $n$, terdapat sebuah lingkaran di dalam ruang Euklides yang melalui tepatnya $n$ titik bilangan bulat. Teorema ini dibuktikan oleh dan dinamai dari Andrzej Schinzel.

Pembuktian

Lingkaran yang melalui tepatnya empat titik melalui konstruksi Schinzel

Schinzel membuktikan teorema ini melalui konstruksi berikut. Jika $n$ adalah bilangan genap, dengan $n=2k$, maka lingkaran tersebut melalui $n$ titik menurut persamaan berikut:

$$\left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {1}{4}}5^{k-1}.$$

Lingkaran ini memiliki jari-jari $5^{(k-1)/2}/2$, dan pusatnya terletak di titik $({\tfrac {1}{2}},0)$. Sebagai contoh, pada ilustrasi gambar menunjukkan sebuah lingkaran dengan jari-jari ${\sqrt {5}}/2$ yang melalui empat titik bilangan bulat.

Mengalikan kedua ruas persamaan Schinzel oleh empat, menghasilkan persamaan yang ekuivalen dalam bentuk bilangan bulat,

$$\left(2x-1\right)^{2}+(2y)^{2}=5^{k-1}.$$

Ini menuliskan $5^{k-1}$ sebagai penjumlahan dari dua bilangan kuadrat, dengan bilangan yang pertama adalah ganjil dan bilangan kedua adalah genap. Tepatnya, ada $4k$ cara untuk menulis $5^{k-1}$ sebagai penjumlahan dari dua bilangan kuadrat, dan sebagiannya ditulis sesuai urutan (ganjil, genap) berdasarkan simetri. Sebagai contoh, $5^{1}=(\pm 1)^{2}+(\pm 2)^{2}$, sehingga didapatkan $2x-1=1$ atau $2x-1=-1$, dan $2y=2$ atau $2y=-2$, yang menghasilkan empat titik seperti pada ilustrasi gambar.

Di sisi lain, jika $n$ adalah ganjil, dengan $n=2k+1$, maka lingkaran tersebut, menurut persamaan, melalui tepatnya $n$ titik:

$$\left(x-{\frac {1}{3}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {1}{9}}5^{2k}.$$

Lingkaran ini memiliki jari-jari $5^{k}/3$, dan pusatnya terletak pada titik $({\tfrac {1}{3}},0)$.