Sistem reaksi-difusi

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari

Sistem reaksi-difusi adalah model matematika yang mendeskripsikan bagaimana konsentrasi dari satu atau lebih substansi terdistribusi dalam ruang berubah karena pengaruh dua proses: reaksi kimia lokal dimana substansi diubah menjadi yang lain, dan difusi yang menyebabkan substansi menyebar dalam ruang.

Sebagaimana deskripsi ini mengimplikasikan, sistem reaksi-difusi secara alami diterapkan di kimia. Akan tetapi, persamaan reaksi-difusi dapat juga mendeskripsikan proses dinamis non-kimiawi. Contoh-contoh ditemukan di biologi, geologi dan fisika serta ekologi. Secara matematis, sistem reaksi-difusi memiliki bentuk semi-linier persamaan diferensial parsial parabola. Persamaan tersebut dapat direpresentasi dalam bentuk umum


\partial_t \boldsymbol{q} = \underline{\boldsymbol{D}} \Delta \boldsymbol{q}
+ \boldsymbol{R}(\boldsymbol{q}),

dimana masing-masing komponen vektor q(x,t) mewakili konsentrasi dari satu substansi \underline{\boldsymbol{D}} adalah matriks diagonal koefisien difusi dan R memperhitungkan seluruh reaksi lokal. Solusi persamaan reaksi-difusi menunjukkan jangkauan yang luas perilaku, mencangkup pembentukan gelombang menjalar dan fenomena seperti-gelombang sebagaimana pembentukan pola organisasi diri yang lain seperti strip, heksagonal atau lebih banyak struktur ruwet seperti soliton disipatif.

Persamaan reaksi-difusi satu komponen[sunting | sunting sumber]

Persamaan reaksi-difusi yang paling sederhana memperlakukan konsentrasi u substansi tunggal dalam satu dimensi ruang,


\partial_t u = D \partial^2_x u + R(u),

juga dirujuk sebagai persamaan KPP (Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov). [1] Jika suku reaksi hilang, maka persamaan menunjukkan proses difusi murni. Persamaan terkait adalah persamaan panas. Pilihan R(u)=u(1-u) menghasilkan persamaan Fisher yang pada awalnya digunakan untuk mendeskripsikan penyebaran populasi biologi, [2] persamaan Newell-Whitehead-Segel dengan R(u) = u(1-u²) mendeskripsikan konveksi Rayleigh-Benard, [3][4] persamaan Zeldovich yang lebih umum dengan R(u) = u(1-u)(u-α) dan 0<α<1 yang muncul dalam teori pembakaran, [5] dan kasus degenerasi khususnya dengan R(u) = - yang kadang-kadang dirujuk sebagai persamaan Zeldovich. [6]

Dinamika sistem satu komponen adalah subjek terhadap pembatas tertentu sebagaimana persamaan evolusi dapat juga ditulis dalam bentuk variasional


\partial_t u=-\frac{\delta\mathfrak L}{\delta u}

dan oleh karenanya mendeskripsikan penurunan permanen "energi bebas" \mathfrak L diberikan oleh fungsional

 \mathfrak L=\int\limits_{-\infty}^\infty\left[\frac
D2(\partial_xu)^2+V(u)\right]\text{d}x

dengan potensial V(u) sehingga R(u)=dV(u)/du.

A travelling wave front solution for Fisher's equation.

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ A. Kolmogorov et al, Moscow Univ. Bull. Math. A 1 (1937): 1
  2. ^ R. A. Fisher, Ann. Eug. 7 (1937): 355
  3. ^ A. C. Newell and J. A. Whitehead, J. Fluid Mech. 38 (1969): 279
  4. ^ L. A. Segel, J. Fluid Mech. 38 (1969): 203
  5. ^ Y. B. Zeldovich and D. A. Frank-Kamenetsky, Acta Physicochim. 9 (1938): 341
  6. ^ B. H. Gilding and R. Kersner, Travelling Waves in Nonlinear Diffusion Convection Reaction, Birkhäuser (2004)