Mittenpunkt

Mittenpunkt $M$ dari segitiga berwarna hitam berada di pusat elips dalam Mandart (berwarna merah). Garis berwarna biru yang melalui titik middenpunkt, melewati segitiga pusat singgung luar dan masing-masing titik tengah di sisi segitiga.

Dalam geometri, mittenpunkt dari segitiga adalah sebuah titik yang terdefinisi dari segitiga yang invarian terhadap transformasi Euklides segitiga. Titik ini ditemukan Christian Heinrich von Nagel pada tahun 1836 sebagai titik simmedian dari segitiga pusat singgung luar.

Koordinat

Mittenpunkt memiliki koordinat trilinear:

$$(b+c-a):(c+a-b):(a+b-c)$$

dengan $a$, $b$, dan $c$ adalah panjang sisi dari segitiga. Koordinat trilinear ini juga ditulis dalam bentuk sudut $A$, $B$, dan $C$, yang ditulis sebagai:

$$\cot {\frac {A}{2}}:\cot {\frac {B}{2}}:\cot {\frac {C}{2}}=(\csc A+\cot A):(\csc B+\cot B):(\csc C+\cot C)$$

Selain itu, mittenpunkt juga mempunyai koordinat barisentrik, yaitu:

$$a(b+c-a):b(c+a-b):c(a+b-c)=(1+\cos A):(1+\cos B):(1+\cos C)$$

Kolinearitas

Mittenpunkt adalah sebuah titik yang terletak di perpotongan dari garis. Perpotongan tersebut menghubungkan titik sentroid dan titik Gergonne, serta garis tersebut menghubungkan pusat lingkaran dalam dan titik simmedian, sehingga mengakibatkan kedua titik tersebut kolinear dan bertemu dengan titik mittenpunkt.

Gambar yang terkait

Mittenpunkt adalah sebuah titik yang pada saat terdapat tiga garis yang menghubungkan pusat lingkaran singgung luar dari segitiga ke masing-masing titik tengah di sisi segitiga. Jadi, mittenpunkt adalah pusat perspektif dari segitiga pusat lingkaran singgung luar dan segitiga garis berat, dengan masing-masing sumbu perspektif merupakan kutub trilinear dari titik Gergonne. Selain itu, mittenpunkt merupakan sentroid dari elips dalam Mandart dari segitiga.

Pranala luar

• Weisstein, Eric W. "Mittenpunkt". MathWorld.