Lihat sumber Integral Fresnel

{{Short description|Special function defined by an integral}}
{{Kalkulus|Integral}}{{Cleanup|2=masih terdapat kalimat yang belum diterjemahkan; dan juga penggunaan huruf kapital masih salah pada subjudul}}{{Periksa terjemahan|en|Fresnel integral}}[[Gambar:Fresnel Integrals (Unnormalised).svg|250px|thumb|
Plot dari nilai {{math|{{color|#b30000|''S''(''x'')}}}} dan {{math|{{color|#00b300|''C''(''x'')}}}}. Maksimum {{math|''C''(''x'')}} di sekitar nilai {{math|0.977451424}}. Jika nilai {{mvar|S}} di integral kan dan nilai {{mvar|C}} didefinisikan {{math|&pi;''t''<sup>2</sup>/2}} bukan nilai {{math|''t''<sup>2</sup>}}, maka gambar akan diperkecil secara vertikal dan horizontal (lihat di bawah).]]

'''Integral Fresnel''' pada nilai ''S''(''x'') dan ''C''(''x'') adalah dua fungsi transendental yang ditemukan oleh [[Augustin-Jean Fresnel]] yang digunakan dalam optik dan terkait erat dengan fungsi kesalahan (erf). Ketika muncul dalam deskripsi fenomena [[difraksi Fresnel]] pada medan terdekat dan dapat didefinisikan melalui representasi integral, sebagai berikut:

: <math>S(x) = \int_0^x \sin(t^2)\,dt, \quad C(x) = \int_0^x \cos(t^2)\,dt.</math>

Dari rumus di atas [[plot parametrik]] simulasi dari nilai ''S''(''x'') dan nilai ''C''(''x'') adalah hasil nilai [[spiral Euler]] atau juga dikenal sebagai spiral Cornu atau clothoid. Baru-baru ini, mereka telah digunakan dalam desain jalan raya dan proyek teknik lainnya.<ref name=Stewart>{{harvnb|Stewart|2008|page=383}}.</ref>

== Definisi ==
[[Gambar:Fresnel Integrals (Normalised).svg|250px|thumb|
Integral Fresnel dengan nilai argumen {{pi}}''t''<sup>2</sup>/2 bukan nilai ''t''<sup>2</sup> konvorgumen 0.5.]]
Integral Fresnel menerima ekspansi [[deret pangkat]] berikut yang menyatu untuk semua yaitu nilai ''x'':

:<math>
\begin{align}
S(x) & =\int_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}. \\
C(x) & =\int_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}.
\end{align}
</math>

Beberapa tabel yang banyak digunakan adalah<ref>{{ref|7, eqn 7.3.1 – 7.3.2}}</ref><ref>{{dlmf|id=7.2.iii|title=Error Functions, Dawson’s and Fresnel Integrals: Properties|first=N. M.|last=Temme}}.</ref> nila <math>\pi t^2 / 2</math> saat digantikan oleh nilai <math>t^2</math> untuk argumen integral yang merumuskan nilai ''S''(''x'') dan ''C''(''x'').  Hal tersebut dapat mengubah [[limit tak hingga]] dari nilai <math>\textstyle (1/2) \cdot \sqrt{\pi/2}</math> untuk nilai <math>1/2</math> dan panjang busur yang digunakan untuk putaran spiral pertama <math>(2\pi)</math> to 2 (at <math>t=2</math>). Fungsi alternatif saat ini biasanya dikenal sebagai '''Integral Fresnel yang Dinormalisasi'''.

== Spiral Euler ==
{{Artikel|Spiral Euler}}
[[Gambar:Cornu Spiral.svg|250px|thumb|
Spiral euler <math>(x,y) = (C(t), S(t))</math>. Spiral menyatu ke tengah lubang pada gambar karena <math>t</math> cenderung positif atau negatif tak terhingga.]]
'''[[Spiral]] Euler''', atau dikenal juga sebagai '''Cornu spiral''' atau '''clothoid''', adalah kurva yang dihasilkan oleh [[plot parametrik]] dari <math>S(t)</math> melawan <math>C(t)</math>. Spiral Cornu diciptakan oleh [[Marie Alfred Cornu]] sebagai [[nomogram]] untuk komputasi difraksi dalam sains dan teknik.

Dari definisi integral Fresnel, [[infinitesimal]] <math>dx</math> dan <math>dy</math> demikian:
:<math>\begin{align}
dx &= C'(t)\,dt = \cos(t^2)\,dt, \\
dy &= S'(t)\,dt = \sin(t^2)\,dt.
\end{align}</math>

Dengan demikian panjang spiral yang diukur dari [[Asal (matematika)|asal]] dapat dinyatakan sebagai

: <math>L = \int_0^{t_0} \sqrt {dx^2 + dy^2} = \int_0^{t_0} dt = t_0. </math>

Artinya, parameter <math>t</math> adalah panjang kurva yang diukur dari titik asal <math>(0,0)</math>, dan spiral Euler memiliki panjang [[tak hingga|tak terbatas]]. The vector <math>(\cos(t^2), \sin(t^2))</math> juga mengekspresikan [[vektor satuan|satuan]] [[vektor tangen]] di sepanjang spiral, memberi <math>\theta = t^2</math>. Karena ''t'' adalah panjang kurva, maka kelengkungan tersebut <math>\kappa</math> dapat dinyatakan sebagai
: <math> \kappa = \frac{1}{R} = \frac{d\theta}{dt} = 2t. </math>

Dengan demikian laju perubahan kelengkungan terhadap panjang kurva adalah
: <math>\frac{d\kappa}{dt} = \frac {d^2\theta}{dt^2} = 2. </math>

Spiral Euler memiliki sifat bahwa [[kelengkungan]] pada titik mana pun sebanding dengan jarak sepanjang spiral, diukur dari titik awalnya.  Properti ini membuatnya berguna sebagai [[kurva transisi lintasan|kurva transisi]] dalam teknik jalan raya dan perkeretaapian: Jika kendaraan mengikuti spiral dengan kecepatan satuan, parameter <math>t</math> di turunan di atas juga mewakili waktu. Akibatnya, kendaraan yang mengikuti spiral dengan kecepatan konstan akan memiliki laju konstan [[percepatan sudut]].

Bagian dari spiral Euler biasanya digabungkan ke dalam bentuk loop roller coaster untuk membuat apa yang dikenal sebagai [[lingkaran clothoid]].

== Properti ==
* ''C''(''x'') dan  ''S''(''x'') adalah [[fungsi ganjil]] dari ''x''.
* Asimtot integral Fresnel sebagai <math>x \to \infty</math> diberikan oleh rumus:

:: <math>
\begin{align}
S(x) & =\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\mbox{sign}{(x)}}{2} - \left[1+O(x^{-4}) \right] \left( \frac{\cos{(x^{2})}}{x \sqrt{2 \pi}} + \frac{\sin{(x^2)}}{ x^3 \sqrt{8 \pi}} \right) \right), \\
C(x) & =\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\mbox{sign}{(x)}}{2} + \left[1+O(x^{-4}) \right] \left( \frac{\sin{(x^2)}}{x \sqrt{2 \pi}} - \frac{\cos{(x^{2})}}{ x^3 \sqrt{8 \pi}} \right) \right).
\end{align}
</math>

[[Berkas:Fresnel-sin.png|right|thumb|300px|Integral Fresnel yang kompleks S(z)]]
* Dengan menggunakan ekspansi deret pangkat di atas, integral Fresnel dapat diperpanjang ke domain [[bilangan kompleks]] s, di mana mereka menjadi [[fungsi analitik]] dari variabel kompleks.
* ''C(z)'' dan  ''S(z)'' adalah [[seluruh fungsi]] dari variabel kompleks ''z''.
* Integral Fresnel dapat diekspresikan menggunakan [[fungsi kesalahan]] sebagai berikut:<ref>functions.wolfram.com, [http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/FresnelS/27/01/ Fresnel integral S: Representations through equivalent functions] and [http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/FresnelC/27/01/ Fresnel integral C: Representations through equivalent functions].  Note: Wolfram uses the Abramowitz & Stegun convention, which differs from the one in this article by factors of <math>\sqrt{\pi/2}</math>.</ref>

[[Berkas:Fresnel-cos.png|right|thumb|300px|Integral Fresnel yang kompleks ''C''(''z'')]]

:: <math>
\begin{align}
S(z) & =\sqrt{\frac{\pi}{2}} \frac{1+i}{4} \left[ \operatorname{erf}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}z\right) -i \operatorname{erf}\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}z\right) \right], \\
C(z) & =\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1-i}{4} \left[ \operatorname{erf}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}z\right) + i \operatorname{erf}\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}z\right) \right].
\end{align}
</math>

:atau

:: <math>
\begin{align}
C(z) + i S(z) & = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1+i}{2} \operatorname{erf}\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}z\right), \\
S(z) + i C(z) & = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1+i}{2} \operatorname{erf}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}z\right).
\end{align}
</math>

<!--==Batas ''x'' saat mendekati tak terhingga==
The integrals defining ''C''(''x'') and ''S''(''x'') cannot be evaluated in the [[closed-form expression|closed form]] in terms of [[elementary function]]s, except in special cases. The [[limit of a function|limits]] of these functions as ''x'' goes to infinity are known:

::<math>\int_0^\infty \cos t^2\,dt = \int_0^\infty \sin t^2 \, dt = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} = \sqrt{\frac{\pi}{8}} \approx 0.6267.</math>

[[Image:Fresnel Integral Contour.svg|right|250px|thumb|The sector contour used to calculate the limits of the Fresnel integrals]]
The limits of {{math|''C(x)''}} and {{math|''S(x)''}} as the argument ''x'' tends to infinity can be found by using several methods. One of them<ref>Another method based on [[Integration using parametric derivatives|parametric integration]] is described for example in {{harvnb|Zajta|Goel|1989}}.</ref> uses a [[contour integral]] of the function

:<math>e^{-t^2}</math>

around the boundary of the [[Circular sector|sector]]-shaped region in the [[complex plane]] formed by the positive {{math|''x''}}-axis, the bisector of the first quadrant {{math|''y'' {{=}} ''x''}} with {{math|''x'' ≥ 0}}, and a circular arc of radius {{math|''R''}} centered at the origin.

As {{math|''R''}} goes to infinity, the integral along the circular arc <math>\gamma_2</math> tends to {{math|0}}

<math>\left|\int_{\gamma_2}e^{-t^2}dt\right| \leq \int_{\gamma_2}|e^{-t^2}|dt = 
R\int_0^{\pi/4}e^{-R^2\cos2t}dt \leq R\int_0^{\pi/4}e^{-R^2(1-\frac{4}{\pi}t)}dt =
\frac{\pi}{4R}\left(1-e^{-R^2}\right),</math>

where polar coordinates <math>z=Re^{it}</math> were used and [[Jordan's inequality]] was utilised for the second inequality. The integral along the real axis <math>\gamma_1</math> tends to the half [[Gaussian integral]]

:<math>\int_0^\infty e^{-t^2} \, dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}.</math>

Note too that because the integrand is an [[entire function]] on the complex plane, its integral along the whole contour is zero. Overall, we must have

:<math>\int_0^\infty e^{-t^2} \, dt = \int_{\gamma_3} e^{-t^2} \, dt,</math>

where <math>\gamma_3</math> denotes the bisector of the first quadrant, as in the diagram. To evaluate the right hand side, parametrize the bisector as
:<math>t = re^{\pi i /4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)r</math>
where r ranges from 0 to <math>+\infty</math>. Note that the square of this expression is just <math>+ir^2</math>. Therefore, substitution gives the right hand side as

:<math>\int_0^\infty e^{-ir^2}\frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i) \, dr.</math>

Using [[Euler's formula]] to take real and imaginary parts of <math>e^{-ir^2}</math> gives this as

:<math>
\begin{align}
& \int_0^\infty (\cos(r^2) - i\sin(r^2))\frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i) \, dr \\
= {} & \frac{\sqrt{2}}{2} \int_0^\infty \left[\cos(r^2) + \sin(r^2) + i \left(\cos(r^2) - \sin(r^2)\right) \right] \, dr = \frac{\sqrt{\pi}}{2} + 0i,
\end{align}
</math>

where we have written <math>0i</math> to emphasize that the original Gaussian integral's value is completely real with zero imaginary part. Letting <math>I_C = \int_0^\infty \cos(r^2) \, dr, I_S = \int_0^\infty \sin(r^2) \, dr</math> and then equating real and imaginary parts produces the following system of two equations in the two unknowns <math>I_C, I_S</math>:

: <math>
\begin{align}
I_C + I_S & = \sqrt{\frac{\pi}{2}}, \\
I_C - I_S & = 0.
\end{align}
</math>

Solving this for <math>I_C</math> and <math>I_S</math> gives the desired result.-->

== Generalisasi ==
Integral
: <math>\int x^m \exp(ix^n)\,dx = \int\sum_{l=0}^\infty\frac{i^lx^{m+nl}}{l!}\,dx
 = \sum_{l=0}^\infty \frac{i^l}{(m+nl+1)}\frac{x^{m+nl+1}}{l!}</math>

Integral adalah [[fungsi hipergeometrik konfluen]] dan juga [[fungsi gamma tidak lengkap]]<ref>{{harvnb|Mathar|2012}}.</ref>.

: <math>
\begin{align}
\int x^m \exp(ix^n)\,dx & =\frac{x^{m+1}}{m+1}\,_1F_1\left(\begin{array}{c} \frac{m+1}{n}\\1+\frac{m+1}{n}\end{array}\mid ix^n\right) \\
& =\frac{1}{n} i^{(m+1)/n}\gamma\left(\frac{m+1}{n},-ix^n\right),
\end{align}
</math>

Integral direduksi menjadi integral Fresnel jika bagian nyata atau imajiner diambil:

: <math>\int x^m\sin(x^n)\,dx = \frac{x^{m+n+1}}{m+n+1}
\,_1F_2\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}+\frac{m+1}{2n}\\
\frac{3}{2}+\frac{m+1}{2n},\frac{3}{2}\end{array}\mid -\frac{x^{2n}}{4}\right)</math>.

Istilah utama dalam ekspansi asimtotik adalah:

: <math> _1F_1 \left(\begin{array}{c}\frac{m+1}{n}\\1+\frac{m+1}{n} \end{array}\mid ix^n\right)\sim \frac{m+1}{n}\,\Gamma\left(\frac{m+1}{n}\right) e^{i\pi(m+1)/(2n)} x^{-m-1},</math>

Oleh karena itu, dapat diberikan kesimpulan bahwa:
: <math>\int_0^\infty x^m \exp(ix^n)\,dx = \frac{1}{n} \,\Gamma\left(\frac{m+1}{n}\right)e^{i\pi(m+1)/(2n)}.</math>

Untuk ''m''&nbsp;=&nbsp;0, bagian imajiner dari persamaan ini secara khusus adalah:

: <math>\int_0^\infty\sin(x^a)\,dx = \Gamma\left(1+\frac{1}{a} \right) \sin\left(\frac{\pi}{2a}\right),</math>

Dengan sisi kiri menyatu untuk ''a''> 1 dan sisi kanan menjadi ekstensi analitiknya ke seluruh bidang kurang di mana letak kutub <math>\Gamma(a^{-1})</math>.

Transformasi Kummer dari fungsi hipergeometrik konfluen adalah

: <math> \int x^m \exp(ix^n)\,dx = V_{n,m}(x)e^{ix^n},</math>

Dengan
: <math>V_{n,m} := \frac{x^{m+1}}{m+1}\,_1F_1\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 + \frac{m+1}{n} \end{array}\mid -ix^n\right).</math>

== Penggunaan Integral Fresnel ==

Penggunaan Integral Fresnel pada awalnya digunakan dalam perhitungan intensitas medan elektromagnetik di lingkungan di mana cahaya membelok di sekitar objek buram.<ref>{{dlmf|id=7.12.ii|title=Error Functions, Dawson’s and Fresnel Integrals: Asymptotic expansions|first=N. M.|last=Temme}}.</ref><ref>{{harvnb|Press|Teukolsky|Vetterling|Flannery|2007}}.</ref>

Baru-baru ini, mereka telah menggunakan perhitungan ini sebagai desain jalan raya dan rel kereta api, khususnya zona transisi kelengkungannya, lihat kurva transisi lintasan.<ref>{{harvnb|Cody|1968}}.</ref> developed a set of efficient approximations based on rational functions that give relative errors down to {{val|2|e=-19}}. atau menghitung transisi pada trek velodrome untuk memungkinkan masuknya cepat ke tikungan dan keluar secara bertahap.<ref>{{harvnb|van Snyder|1993}}.</ref> {{val|1.6|e=-9}}.<ref>{{harvnb|Boersma|1960}}.</ref>

== Lihat pula ==
* [[Integral Böhmer]]
* [[Zona Fresnel]]
* [[Lacak kurva transisi]]
* [[Spiral euler]]
* [[Pelat zona]]
* [[Integral Dirichlet]]
* [[Fungsi Kerucut dan Parabola]]
* [[Fungsi Bessel]]
* [[Rumus Vieta]]

== Referensi ==
{{Reflist}}{{Daftar fungsi matematika}}
[[Kategori:Integral]]