Teorema Gauss–Bonnet

An example of a complex region where Gauss–Bonnet theorem can apply. Shows the sign of geodesic curvature.

Teorema Gauss–Bonnet atau formula Gauss–Bonnet dalam geometri diferensial adalah pernyataan penting tentang permukaan yang menghubungkan geometri mereka (dalam arti lengkungan) ke topologi mereka (dalam arti karakteristik Euler). Teorema ini dinamai sesuai dengan Carl Friedrich Gauss yang mengetahui versi teorema tersebut namun tidak pernah menerbitkannya, dan Pierre Ossian Bonnet yang menerbitkan sebuah argumen khusus pada tahun 1848.

Pernyataan

Seharusnya nilai $M$ adalah kekompakan antara dua dimensi berjenis Riemannian dengan batas $\partial M$ . Jika nilai $K$ menjadi kelengkungan Gaussian pada nilai $M$, dan membiarkan nilai $k_{g}$ menjadi kelengkungan geodesik $\partial M$ . Setelah itu

$\int _{M}K\;dA+\int _{\partial M}k_{g}\;ds=2\pi \chi (M),\,$

Darimana nilai dA adalah elemen luas pada permukaan dan nilai ds adalah elemen garis di sepanjang batas M. Nilai $\chi (M)$ adalah karakteristik Euler dari $M$.

Jika batas pada nilai $\partial M$ adalah rumus sedikit halus, setelah itu kami akan menafsirkan nilai pada integral $\int _{\partial M}k_{g}\;ds$ sebagai jumlah dari integral terkait sepanjang bagian mulus dari batas, ditambah jumlah sudut dimana bagian halus berputar di sudut batas.

Interpretasi dan signifikansi

Teorema tersebut diterapkan khususnya pada permukaan kompak tanpa batas, dalam hal ini:

$\int _{\partial M}k_{g}\;ds$

dapat dihilangkan. Ini menyatakan bahwa kelengkungan Gaussian total dari permukaan tertutup tersebut sama dengan 2π kali karakteristik Euler dari permukaan tersebut. Perhatikan bahwa untuk permukaan kompak yang dapat diorientasikan tanpa batas, karakteristik Euler sama $2-2g$, dimana $g$ adalah genus permukaan: Setiap permukaan padat yang dapat diorientasikan tanpa batas secara topologis setara dengan bola dengan beberapa pegangan terpasang, dan $g$ menghitung jumlah pegangan.

Referensi

Sumber

• P.Grinfeld (2014). Introduction to Tensor Analysis and the Calculus of Moving Surfaces. Springer. ISBN 1-4614-7866-9. 

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Gauss–Bonnet theorem", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Gauss–Bonnet Theorem di Wolfram Mathworld